用导数法求解三次函数零点问题的步骤

形如 f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d （ a ， b ， c ， d∈R 且 a≠0 ）的函数通常被称为三次函数.相较于二次函数的零点问题，三次函数的零点问题较为复杂.解答三次函数的零点问题，往往需运用导数法，通过研究导函数来判断出三次函数的单调性，以根据函数的单调性、极值、最值以及图象的变化趋势，来求零点的个数或取值范围.

求解三次函数的零点问题的步骤为：

（1）对三次函数进行求导，其导函数为二次函数；

（2）令导函数为0，据此构造出一元二次方程，并讨论方程的判别式与0的关系.若方程的判别式小于或等于0，则函数单调递增（递减）；若方程的判别式大于0，则需根据求根公式或通过因式分解求得导函数的零点；

（3）用导函数的零点将函数的定义域划分为几个子区间，并在每个子区间内讨论导函数的符号.由导函数与函数单调性之间的关系可知，当导函数小于0时，函数在该区间上单调递减；当导函数大于0时，函数在该区间上单调递增；

（4）根据极值的定义求得函数的极值，并画出函数的图象；

（5）研究函数图象与 x 轴的交点的个数和位置，据此建立关系式，判断出函数零点的个数，并求得其取值范围.

在解答三次函数的零点问题时，我们往往要结合三次函数的图象来确定零点的取值范围或个数.这就要求我们根据三次函数的导数构造一元二次方程，讨论方程的根的判别式、根的取值，进而判断出函数的单调性，求得函数的极值，明确函数图象的大致变化趋势.

一般地，对于三次函数，只有当其中的一个极值为0时，函数才有2个零点.我们需先对函数进行求导，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性；然后确定函数的极值，并画出函数的图象；再结合函数的图象找到使函数的图象与 x 轴只有2个交点的情形，据此建立关系式，即可求得 a 的值.总之，在解答三次函数的零点问题时，要注意：

（1）掌握并熟练运用函数零点的定义；（2）根据函数与方程、不等式之间的关系，将问题转化为方程问题、不等式问题，通过讨论方程的根的分布情况解不等式，明确导函数零点的取值，判断出函数的单调性；（3）灵活运用分类讨论思想、数形结合思想来辅助解题；（4）熟悉三次函数的求导法则和极值的定义.这样才能确保快速获得正确的答案.

（作者单位：江苏省无锡市立人高级中学）