为什么启而不发？

摘 要：为了帮助教师正确理解和使用启发式教学，分析了“多边形的定义”一课导入设计失败的原因，并给出改进的建议. 教师实施启发式教学时，只有充分理解数学才能恰当地确定启发处，充分了解学生才可以确定启发时，数学化地思考问题是启发的方向.

关键词：引导；启发；理解；数学化

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）08-0047-04

引用格式：林胜威. 为什么启而不发？：以“多边形的定义”的教学为例［J］. 中国数学教育（初中版），2024（8）：47-50.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）在“教学建议”中指出，选择能引发学生思考的教学方式，改变单一讲授式教学方式，注重启发式、探究式、参与式、互动式等. 启发式教学是常用的教学方式，但如果教师没能处理好“在何处启发、在何时启发、往何方向启发”三个问题，会出现启而不发的现象. 下面以一节新授课的导入设计为例，探究其启而不发的原因，并提出解决启而不发问题的建议与策略.

一、课堂教学片断

一位新聘教师在执教北师大版《义务教育教科书·数学》七年级上册第四章第5节“多边形和圆的初步认识”一课时，以展示生活中熟悉的平面图形作为引入，目的是让学生观察图形，然后通过教师的启发引导，让学生自主归纳得到多边形的定义. 下面是该教师启发引导过程的对话片断.

师：如图1，这些图形是如何画的？

生（部分）：用手画的.

师：老师想问的是这些图形是如何画成的？

生1：用直尺一条线段、一条线段地画成的.

生2：用三角板画的.

师：数学有数学的方式，语文有语文的方式，大家要用数学的方式去思考这些图形是如何画成的.

二、现象成因分析

“启发”一词源于孔子的“不愤不启，不悱不发”. 当学生处于“心求通而未得之意”“口欲言而未能之貌”的“愤”“悱”状态时，教师应该采取适当的教学方式进行点拨，从而使学生“开其意”“达其辞”. 这里的“启发”是将教学作为教师为学生解惑的过程，是在学生有问题之后的分析问题和解决问题. 但是随着时代的变迁和育人目标的变化，当前的教学中还要引导学生发现问题和提出问题，培养学生自主探究、自主学习和创新的能力. 因此，启发式教学是区别于传统的灌输式教学、注入式教学的重要教学方式和教学原则. 启发式教学最主要的特点是利用具有启发性的教学方式刺激学生的思维，使学生在合理的引导下自主学习、自主探索，从而提升学生的学习积极性，促使学生形成良好的创新能力.

上述课例中，教师的本意是设置具有启发性的教学情境，引导学生自主学习，探索并归纳多边形的定义，但展示的图形未能启示学生思考和探索的方向，浅表化的提问也未能引导学生回归到数学化思考. 课堂上出现尴尬的启而不发现象，响应者寥寥无几. 现分析其原因，并提出如下改进建议.

1. 图形展示需要静态与动态相结合

基于概念的形成过程和表达方式，数学概念可以分为描述性定义、形式化定义、发生式定义、关系性定义等几种. 其中，发生式定义概念有很强的操作性，教师在教学时要重视其发生发展的过程. 多边形的定义属于发生式定义，定义描述的是多边形动态形成的过程，即由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形. 但是本节课从新课导入展示的图片到学生观察的几何图形，都是已经画好的静态图形，学生并未观察到作图的过程. 因此，学生更多地关注图形的结果和特征，如形状、边数等，从而下意识地忽略了图形的组成过程及构成方式. 当教师提问“这些图形是如何画的？”时，学生也只能从语义表面进行理解，难以概括出来与教材中相近的定义. 当前启发式教学中，学生“愤”“悱”状态的形成需要教师主动地引导，“愤”“悱”也是“启”的目标. 在本节课的引入阶段，学生未能从教师创设的情境中得到启发而进入到“愤”“悱”状态，也未能从图形的结构特征角度进行思考与探索，出现答非所问的现象就不足为奇了. 若教师在学生观察静态图形的同时，辅以多媒体展示图形的动态构成过程，或者动手画某个图形并提示学生注意观察，让学生从多角度、多情境去观察，使学生先明确探索问题的方向，然后从思考问题而进入“愤”“悱”状态，进而适时介入进行启发，则能够实现学生在教师引导下的自主学习.

2. 感性材料需要概念图形与非概念图形相结合

概念的形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程. 文献［6］中提出，概念的形成基本上需要两个条件：一是学习者必须能从许多事物、事件或情境中认识或抽象出它们的共有特征，以便进行概括；二是学习者能够辨别与概念相关或不相关的标志，以便进行区别归类. 因此，为了直观地理解概念的本质属性，除了提供适量的概念外延之内的概念图形让学生进行感知外，还需要同时呈现在概念外延之外的非概念图形. 通过对比非概念图形与概念图形，让学生更好地区分概念的本质属性与非本质属性. 本节课所呈现的图形是学生比较熟悉且常见的多边形，属于标准的概念图形. 但是由于缺乏非概念图形（非多边形图形）的对比，导致学生难以从组成与结构特征的角度对这些概念图形进行抽象与概括，也就未能进入教师想要启发和引导的方向或状态. 因此，为了突显多边形组成与结构的特征，教师可以在呈现如图1所示的概念图形的同时，呈现如图2所示的非概念图形让学生进行对比，从而突出多边形结构的本质特征. 通过对比，学生会发现图形结构上的异同，为发现问题、提出问题作铺垫和准备，因思考问题而进入“愤”“悱”状态，使教师进一步启发学生分析问题、解决问题成为可能.

3. 导向语言需要从宽泛笼统走向精准聚焦

教师想引导的方向是“这些图形是由什么样的线段、以什么样的方式构成的？”这也是图形的构成要素及构成方式. 但是语言表达出来的是“这些图形是如何画的？”由于缺乏具体语境，学生只能根据字义表面的意思进行解读，如何画出这些图形的，即画出图形的工具及方式. 由此可见，教师的教学语言过于宽泛笼统，未能精准聚焦问题的关键，从而将学生导向了与教师期望的不同方向. 若将教师的提问改为“这些图形是由什么样的线段、按照怎样的方式组成的？”或者改为指向性更明确的问题串“组成这些图形的线段是否在同一条直线上？各条线段之间是怎样连接的？这些线段围成的图形是封闭的还是不封闭的？”那么学生就不会给出“用手画”的回答了.

三、问题解决策略

综上所述，实施启发式教学，既要求教师适时地、合理地点拨，使学生“开其意”“达其辞”，更应该创设具有启发性的情境进行问题设计，引导学生自主探索，启发学生思考. 因此，实施启发式教学，不能仅停留在教师个人主观上的想启发，更要把握好启发的要求和要领，即要把握好“在何处启发、在何时启发、往何方向启发”.

1. 理解数学以确定“启发处”

卓有成效的数学教学一定是基于对数学本质的深刻理解的，而数学教学低效的主要原因是教师不知道理解数学要理解什么，也不清楚到底要教会学生什么. 要实施富有成效的启发式教学，教师既要厘清教学的难点和学生的困惑点，也要透过知识表面感悟更深层次的数学思想方法.

（1）知识发生曲折处.

从某种意义上来说，数学教学是在重演其发生的历史. 因为生物学上个体发展的历史就是群体发展历史的重演，这一规律对于认知的发展也是大体适用的. 例如，人类对负数的认识经历了漫长而曲折的过程，欧洲的数学家迟迟不承认负数，认为0是最小的数，而比0还小的数是不可思议的. 直到19世纪，负数的存在才获得普遍认可. 对学生个体而言，对负数意义的理解是学习的难点，此时教师要给予学生必要的启发与引导. 因此，教师要基于知识的发展脉络理解知识之间的内在联系，基于知识的整体架构理解知识的形成过程，基于数学知识发展的曲折历程理解学生认识上存在的困难，从而更好地把握学生的困惑点和难点，明确何处需要启发.

（2）思想方法显化处.

《标准》在“课程理念”中指出，课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验. 因此，数学基本思想的重要性和必要性无需多言. 文献［9］中提出，数学思想方法的学习需要经历模仿体验、明朗化、运用巩固、联系发展四个基本阶段. 模仿体验阶段就是在问题解决的过程中对数学思想方法的模仿、应用和体会，处于默会阶段. 数学教学中，教师需要给予学生适时的启发和引导，使学生对数学思想方法的学习从默会阶段进入到明朗化阶段. 例如，引导学生根据实际问题建立方程，并通过解方程解决实际问题，使学生具有列方程解应用题的经验，但很多学生停留在就题解题的水平，不能自觉地从中提炼解方程的通性通法，更不能体会到其中蕴含的数学思想方法. 此时，教师就要适时介入，启发、引导学生不断总结解决问题的步骤和方法，并将解决问题过程中的步骤和方法一般化、程序化和模式化，从而将默会的思想方法显性化、明朗化.

2. 了解学生以确定“启发时”

《标准》在“课程理念”中指出，教学活动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题. 了解学生是实施有效教学的前提，这就要求教师利用各种方法了解学生当前的知识储备和认知发展水平，以便适时地实施启发式教学，引导学生从已知探索未知，从现有水平跨越到潜在水平.

（1）由“已知”向“未知”探索.

从一般的意义来说，现代学习观就是人们用已经知道的和相信的知识去构建新知识和理解新知识. 例如，关于多边形定义的学习，已知的是多边形的形状（边与角）特征，未知的是多边形的组成结构形式，那么教师就要在已知与未知之间进行启发，引导学生从对多边形的静态结果的认识转到对多边形的动态组成过程的分析. 如果学生已知FN94FzCenV70r94Mm4VrVOLEXB9vFClqyGrB37t5rfU=的是进行启发的基础和起点，那么未知的就是进行启发的方向和终点. 学生由已知向未知思考、探索之时，就是实施启发的关键时机.

（2）由“现有水平”向“潜在水平”跨越.

维果茨基的最近发展区理论认为学生的发展有两种水平：一种是学生已经达到的发展水平，指学生独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学使学生所获得的潜力. 两者之间的差异就是学生的最近发展区. 教学应该着眼于学生的最近发展区，调动学生的积极性，发挥其潜能，促使学生的思维从现有水平向潜在水平跨越. 而当思维跨度过大时，就要辅以中间性的启发性问题，以降低思维的难度，使思考得以继续. 例如，本节课中，七年级学生虽然在小学阶段已经接触过多边形，也能直观地区分多边形与非多边形，但对于多边形的认识是基于直观的图象模式识别，并未达到用数学语言或者数学符号予以表征的数学化描述水平. 要实现从图象模式识别到数学化描述的转化与跨越，教师可以及时抛出启发性问题：“这些图形是由什么样的线段、按照怎样的方式组成的？”学生也许能更好地认识所提问题的本质并明晰所要思考的方向.

3. 数学化思考是“启发方向”

《标准》在“课程总目标”中指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界. 当学生面对现实情境中的问题时，教师需要引导学生从数学的角度去分析和思考，从现实情境中析取数量关系和空间形式，并用数学的方法解决问题.

当前的数学教学中有“去数学化”的倾向，即数学课堂中有许多丰富多彩的活动，但学生关注更多的是活动本身，而不是活动所蕴含的数学思考. 本节课中，“启而不发”的主要原因是教师没有引导学生从数学的角度进行观察与思考，使得学生更多地关注图形的画法. 例如，对函数图象单调性的观察，通过多媒体的动画演示，学生都能直观地观察到图象的升与降，但还不能从变量与变量之间的关系的角度分析图象的升与降，那么教师就要进行启发性引导. 例如，从图象来看，当变量[x]变化（增大或减小）时，变量[y]如何变化（增大或减小）？

世界上并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛；现实生活中处处有数学，缺少的是发现数学的眼睛. 要想实现学生从现实世界到数学世界的跨越，就需要教师从数学的角度去启发引导，为学生指引前行的方向.

参考文献：

［1］曹才翰，章建跃. 数学教育心理学：第3版［M］. 北京：北京师范大学出版社，2017.

［2］梁宇. 启发式教学在数学教学中应用的问题及对策［J］. 教学与管理，2016（15）：101-103.

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［4］周曙. 基于定义方式的初中数学概念分类及其教学建议［J］. 中学数学教学参考（中旬），2019（4）：2-4.

［5］韩龙淑，王新兵. 数学启发式教学的基本特征［J］. 数学教育学报，2009，18（6）：6-9.

［6］鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［7］张奠宙，巩子坤，任敏龙，等. 小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现［M］. 上海：上海教育出版社，2018.

［8］吴增生. 数学思想方法及其教学策略初探［J］. 数学教育学报，2014，23（3）：11-15.