基于UbD理论的单元教学设计与实践

摘 要：UbD理论强调有效理解、合理评估和有意义学习. 它以预期结果为起点，评价设计先于学习活动设计，指向目标的达成. 以“平面直角坐标系”单元教学设计为例，阐述如何运用UbD理论明确预期的学习结果、确定合适的评估证据、设计有效的学习活动，凸显单元教学的整体意义，助力教学目标清晰化、评估方式可视化、素材选取多元化和核心素养操作化.

关键词：UbD理论；教学设计；平面直角坐标系

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）08-0022-06

引用格式：王勤，余庆纯. 基于UbD理论的单元教学设计与实践：以“平面直角坐标系”单元为例［J］. 中国数学教育（初中版），2024（8）：22-27.

一、引言

“Understanding by Design”（以下简称“UbD”）是由美国课程专家格兰特·威金斯和杰伊·麦克泰于1998年创立的，逐渐形成了完善的教学设计方法. 其主要观点为理解才是教学的真正目的，基于理解的课程设计才能帮助学生习得各个学科的关键概念和要素. 同时，提出了理解有解释、阐明、应用、洞察、神入和自知六个侧面. UbD理论提供了清晰的“逆向设计”框架，即从教学目标出发，先设置相应的评估方式，再安排相关的教学设计. 这样的先后顺序有效确保了整个教学环节始终围绕学科的教学重点进行，有利于学生对知识的理解和迁移.

本研究旨在探讨如何IdlEyKqwDocWby9Ec7qP1g==在初中数学教学中有效融入UbD理论. 以“平面直角坐标系”单元为例，通过呈现具体的教学设计，展示如何明确预期的学习结果、制定合适的评估证据、设计有效的学习活动，验证UbD理论的有效性，并探索其在实际教学中的应用价值. 希望通过引导学生经历概念的提炼过程，结合弗赖登塔尔所言的数学知识的“再创造”，在具体问题情境中，通过让学生开展动手操作、实践、参与、体验式学习，落实“理解”的教学目标.

二、基于UbD理论的教学设计框架

UbD理论提供了一个设计框架，分为三个阶段（如图1）. 第一阶段为明确预期的学习结果或教学目标，提炼学生应该思考的基本问题，厘清学生应该掌握的知识和技能，以及获得什么样的长期迁移目标. 第二阶段为评估学生是否理解了核心概念和学习迁移，以什么样的证据来检验第一阶段的预期学习结果，以什么样的方式让学生进行自我评价与有效反馈. 第三阶段为解读教学内容，找准学生的认知起点，设计有效的学习活动. 基于UbD理论的教学设计，可以将课程标准与单元教学目标、基本问题和期望掌握的知识技能迁移相挂钩，并且将目标转变第二阶段的基本评估要求. 基于UbD理论的教学设计比通常的教学设计目的性更强、目标更清晰，同时提出了更恰当的评估方法，对达成教育的首要目的（学习迁移）更为有效.

三、研究设计

下面以“平面直角坐标系”单元的教学设计为例，回答如何评、学、教，达成理解为先、评价为先的设计.

1. 明确预期的学习结果

这一环节具有导向性作用. 教师要确定预期的知识和技能，核心概念和基本问题，以及理解和迁移.

（1）预期的知识和技能.

为保证学习结果的科学性与严谨性，依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）确定预期的知识目标和技能目标.

预期的知识：平面上物体位置的表示方法和步骤，平面直角坐标系及横、纵轴的概念，坐标平面内的点的位置表示方法和步骤，四个象限及各个象限内的点的横、纵坐标的符号特征，坐标平面内的点与坐标之间的一一对应关系，数学家笛卡儿的生平及其在数学方面的贡献.

预期的技能：用适当的方法表示平面上物体的位置；会画平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，由点的位置写出点的坐标，根据坐标画出点的位置；根据平面直角坐标系的长度单位、原点的实际意义解决简单的实际问题；根据所要表示的简单几何图形，建立合适的平面直角坐标系，写出几何图形各顶点的坐标，会用坐标刻画一个简单的几何图形；会用坐标、描点、连线的方法在平面直角坐标系中作出简单的几何图形.

（2）确定核心概念和基本问题.

结合《标准》的要求对学习内容进行进一步筛选，确定最核心、最需要持久理解的核心概念和基本问题. 本单元需要学生理解的核心概念是“位置”，即在平面直角坐标系内，如何通过代数特征刻画和体现点的“位置”.“位置”是数学研究的重要内容. 平面上的点与坐标之间的一一对应关系是抽象的、非直观的，需要我们去揭示. 研究“位置”有助于激发学生的学习兴趣和潜能. 由此可以确立本单元研究的基本问题是：如何描述平面上的点的位置？在一个平面直角坐标系内，点的坐标与位置是否唯一确定呢？如何表示特殊位置的点？通过让学生持续思考和探究基本问题，寻找答案加以论证，加深学生对“位置”的理解，促进理解性学习的发生.

（3）预期的理解和迁移.

迁移是指学习者能够高效地、独立地从知识库中提取需要的经验，再加以运用，从而应对新的困境. 检测学习者是否真正获得理解，主要观察其能否成功迁移所学.

预期的理解：确定平面上物体位置的方法，平面直角坐标系的相关概念，平面直角坐标系中点的坐标和位置之间的一一对应关系.

预期的迁移：学生能将生活中表示物体的位置的方法迁移到平面内点的位置的表示；能将数轴上用数表示点的位置的方法迁移到平面内通过建立平面直角坐标系，用有序数对表示平面内点的位置；能将数轴上的点与实数的一一对应关系迁移到平面上的点与有序数对的一一对应关系；能将一维直线上用一个数表示的点迁移到二维平面上用一对有序数对表示的点，甚至能推导出对三维乃至多维空间上的点用三个乃至多个有序数组表示.

在此阶段，掌握知识和技能是实现理解目标的手段，核心问题是达到理解意义和迁移知识和技能的关键.

2. 确定合适的评估证据

设计有效的学习活动之前，教师要先确定能够证明学生已经获得了知识理解的有效证据，利用这些评估反馈了解学生的学习情况，进一步指导自身的教学. 这与布卢姆强调要将课程目标和课程评价标准相结合的要求一致，且更具操作性. 在此阶段，教师需要完成以下两项任务：选择合适的评估方式，开发理解所需的评估证据.

除了传统的纸笔测试外，评估方式还包括表现性任务和理解“六侧面”的证据.

（1）表现性任务.

表现性任务包括以下几点.

① 描述出实际物体的位置：在城市中某区域的局部示意图中，借助刻度尺、量角器，测量、计算后表示出某一地点相对于参照点的位置.

② 梳理坐标系发展的时间线：梳理平面直角坐标系的发展史，并将重要研究成果和人物表示在相应的时间轴上.

③ 画平面直角坐标系：给简单几何图形建立适当的平面直角坐标系，会根据所要表示的图形建立适合的平面直角坐标系，并用坐标表示图形上的点.

④ 解决实际问题：会利用坐标预测某城市是否在台风移动的主要路径上；会根据藏宝图提供的线索探究原点的位置，找到宝藏地点.

（2）理解“六侧面”.

确定理解性目标的有效证据，就是运用理解的六个维度来开发评估证据，即解释、阐明、应用、洞察、神入和自知.

① 解释.

学生能够通过归纳或推理，系统、合理地解释现象、事实和数据. 例如，对于“如图2，你能描述黑板上（图2中的边框）点A的位置吗？”之类的引导性问题，至少能够用一种方法表示出点A的位置，并且能够解释这种表示的方法和步骤. 对于“若图2中的点A并非正好落在格点上，又该如何表示？”之类的追问，至少能够创造出一种方法，如区域定位法、量出点A距离黑板相邻两边的距离、经纬度法等，能解释“有序”的含义，结合图象指出点[4，3]和点[3，4]表示不同的位置.

② 阐明.

学生能够用自己的语言从客观或自己的角度来揭示事物的含义. 例如，在教师提出的问题串的引导下，使学生想到再引入一条数轴，使两条数轴互相垂直且有公共原点，类比表示物体的位置的行列式法建立平面直角坐标系，使学生能清晰地阐明以下观点：当一维数轴上的实数无法表示二维平面上的点的位置时，需要重新建立一个表示平面上的点的位置的方法和规则.

③ 应用.

学生能够将知识迁移到实际情境中. 在确定物体位置的方法时，学生能找出生活中确定物体位置方法的实例，如电影院中座位的寻找、某景点的GPS定位、雷达定位某飞行物、棋谱记录方式等，体会表示平面上物体的位置时需要两个数据. 学生能够独立且正确地完成相关的课内练习；能根据点的坐标描出点的位置，根据点的位置写出该点的坐标；会根据图象判定点在某个区域的内部还是外部；能根据某个点的坐标推导出原点的位置，从而推得其他点的位置. 例如，如图3，根据藏宝地图中两块巨石A，B在平面直角坐标系中的坐标分别是[2，4]和[8，1]，探究原点的位置，找到宝藏[6，5]所在地点. 又如，给出某个零件的图纸，建立适当的平面直角坐标系等.

④ 洞察.

学TAuhhVE8d3HJgtr/rq6rsr/ev56yOQ1z5y2xnifY3NU=生能够批判性地看待或听取想法和观点，能够从整体上认识并理解事物的本质，能够运用多种不同的方式来分析问题，并从多个角度用不同的方法加以解决. 例如，理解位置一定是指两个元素之间的相互关系，平面上的点的位置表示方法的共同特点是都找了一个基准点，都需要用两个数据来表示. 上述这些表示方法的一般步骤为：找基准点—选方法—测量—表示点. 理解抽象的意义，知道生活中物体位置的表示即可抽象为平面上点的位置的表示，可以用一对有序数对或方位距离来表示. 其中，有序数对法对应平面直角坐标系，方位距离法对应后面将要学习的极坐标系. 理解在同一平面区域内点的坐标具有共同的代数特征，在两个不同区域内的点的坐标的代数特征具有差异. 例如，四个象限内的点的坐标的符号特征，x轴、y轴上的点的坐标特征，平面上的点到x轴、y轴的距离与坐标的关系特征，发现给平面图形建立平面直角坐标系时原点放在适当的位置可以让图形顶点的表示相对简洁.

⑤ 神入.

学生能够从他人的角度看待问题，既能够深切体会他人的情感，又能够很好地控制自身的情绪. 例如，阅读笛卡儿的生平介绍材料，聆听笛卡儿的故事，体会笛卡儿创立的坐标思想对数学的巨大贡献；尝试在几何画板软件中操作心形线画法，体会数形结合思想；在了解平面直角坐标系的发展史后，体会平面直角坐标系曲折的发展历程，与古代数学家的思想产生共鸣，从而体会数学抽象的意义，领悟坐标思想及数形结合思想.

⑥ 自知.

学生能够准确地进行自我评估，并能够意识到个人的探究风格、思维习惯和未经检验的想法对理解可能带来的影响. 例如，学生通过交流共享学习成果，练习纠错，填写学习目标自主评定表，了解自己在理解平面直角坐标系相关知识的过程中所出现的思维困惑.

上述评价证据不是孤立存在的，而是渗透在教学设计的全过程中. 评价证据可以指向学习结果并引导教学活动，是一种在教学过程中查找存在的问题、提供反馈信息、及时修改及提高实践质量的评价. 同时，帮助教师利用评价的结果改善尚未成功但有补救机会的教学.

3. 设计有效的学习活动

本阶段从找准学生的认知起点、分析相关史料为出发点，强调关键性思考，组织有效的学习活动.

（1）把握认知起点.

学生在小学阶段已经会描述物体的相对位置，初步感悟到坐标思想. 学生在七年级学习了数系扩充和数轴，知道实数与数轴上的点一一对应. 但学生在认知从一维数轴过渡到二维平面直角坐标系，以及在理解平面直角坐标系的必要性和平面内点和有序实数对一一对应方面，均有一定困难. 因此，在知识层面上，虽然学生知道确定物体位置的两种基本方法，但其坐标意识模糊，对两类确定物体位置的方法（有序数对法、方位角度法）的认识浅显，定位步骤（设参、选法、测量、描述）模糊. 在能力层面上，虽然学生能用有序数对来表示位置，能在方格纸上用有序数对确定位置，但对这两种方法的形成体验不深刻，数形结合的意识尚浅，坐标思想尚未形成.

（2）探寻知识源流.

平面直角坐标系源于轨迹问题的研究，与解析几何的产生密切相关. 公元3世纪末，古希腊数学家们在研究轨迹问题时常用两条参照线，类似于今天所说的坐标轴（如图4），其中一条参照线是长轴AB，另一条参照线是圆锥曲线在长轴一个端点处的切线（AC或BC）. 在17世纪前叶，费马结合韦达的代数方法继续研究古希腊数学家们尚未解决的轨迹问题，提出并使用了坐标系的概念，建立了只含一条轴（射线OZ）的坐标系（如图5），并指出对于任意一条曲线，曲线上的点J在平面上的位置可以由a，e来确定. 其中，a为点O到点Z的距离，e为点Z到点J的距离，该坐标相当于后来所说的斜坐标. 虽然费马提出的坐标系中并未明确出现y轴，也没有使用负数，但他将二元代数方程与几何曲线对应起来，成为解析几何的发明者之一. 1637年，笛卡儿在研究古希腊圆锥曲线问题时，选定一条线AG作为基线，以点A为原点，AP的长为x，记PC的长为y（如图6）. 笛卡儿解决了包含两个未知长度的图形轨迹问题. 这个坐标系，我们现在叫作斜坐标系. 18世纪时，数学家逐渐开始使用双轴，但普遍采用斜坐标系，后又经过漫长的过程，才采用直角坐标系. 坐标、纵坐标是由德国数学家莱布尼茨首先使用的，“横坐标”一词则一直到18世纪才由德国数学家沃尔夫首次引进. 到19世纪中叶，数学家们普遍采用了直角坐标系的说法.

坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁. 它使得几何问题可以用代数方法来描述，代数问题可以借助几何图形来解决，由此形成了数形结合思想方法.

（3）学习活动设计.

学习活动设计建立在学习目标和评估证据的基础上，需要整体构思学习内容、活动、作业和学习体验. 按照以下顺序进行.

① 情境引入.

以科幻视频《三体》中的“坐标”概念作为引入情境，激发学生探究表示物体位置的兴趣，帮助他们体会生活中有确定位置的实际需求.

② 合作探究.

对于图2中点A的位置，通过小组合作探究的形式，让学生理解平面上物体位置的表示方法及“有序数对”的概念.

③ 史海泛舟.

了解古巴比伦人和古代中国人用“黄道坐标系”来确定夜空中星座的位置，了解亚历山大的纬度法，克罗狄斯 · 托勒密的经纬度法，以及费马、笛卡儿、牛顿和伯努利分别将有序数对法和方位距离法进一步深入研究和应用，创立了平面直角坐标系和极坐标系. 通过以上史料，使学生理解平面上确定物体的位置常用的两种方法及共同特征，体验古代数学家的智慧，激发学生对数学的探究兴趣和信心，让学生由模糊到精确地切身体验确定物体位置的方法的过程.

④ 新知建构.

学生通过类比平面上确定物体位置的方法，感悟建立平面直角坐标系的必要性，经历平面直角坐标系产生的过程，理解有序数对法与方位距离法的联系和区别. 通过了解平面直角坐标系的发展历史、坐标系的种类、象限译名与《易经》的联系，丰富相关的数学史知识，了解数学概念发展的艰辛历程，增强学生学好数学的信心和兴趣.

⑤ 新知应用.

通过课堂练习让学生先练后评，先独立思考后小组交流，再运用新知，让学生掌握用坐标表示点的位置的方法，根据点的位置写出坐标，探究特殊点的坐标与位置之间的关系，归纳四个象限及横、纵轴上的点的坐标的符号特征. 通过让学生给简单的几何图形建立适当的平面直角坐标系，使其体会“以数解形”，通过坐标、描点、连线的方法在平面直角坐标系中作出简单的几何图形，让学生体会“以形助数”. 因此，数形结合思想是平面直角坐标系的根本意义所在.

⑥ 归纳提升.

引导学生体会坐标与点的一一对应的思想方法，归纳特殊位置的点的坐标的特征，以及点到坐标轴的距离的概念.

⑦ 课外拓展.

通过复习巩固并且呈现与平面直角坐标系相关的数学史中的问题，让学生进一步了解关于平面直角坐标系的数学史. 通过藏宝图中宝藏位置的揭秘，让学生学会建构平面直角坐标系的方法，领悟数形结合思想. 从笛卡儿的生平故事中感悟数学家伟大的数学精神，再次体验数形结合思想，从实际问题的解决中发展学生的坐标意识.

四、结语

一方面，UbD理论强调“以终为始”，即从学生的预期学习结果出发，设计教学活动和评估方法，使单元教学目标更明确，有助于教师提前判断学生的理解水平，并据此调整教学活动，以提高教学效率. 评估的优先性既使预期结果和教学体验之间产生一致性，也使教学内容与学生能力之间的差距能够及时弥补.

另一方面，UbD理论强调关注课程标准和多元素材的结合. 教学设计不仅要基于教材，还需结合数学史和实际问题，使教学内容更具深度. 通过挖掘数学史料中的核心概念及其演变过程，教师能够为学生设计更真实的问题情境，促进学生对数学核心素养的理解和应用.

总体而言，基于UbD理论的教学设计不仅提升了学生对数学概念的理解，也增强了学生解决实际问题的能力. 通过精心设计的教学活动，学生能够在不同的情境中灵活应用所学知识，实现知识的有效迁移. 这一过程不仅是学生对数学知识的学习，更是对学生数学思维和素养的全面提升.

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