单元整体视角下小结课的设计与反思

摘 要：单元整体视角下的小结课教学设计应立足数学知识之间的逻辑关系和学生的认知规律. 兼顾基础性和拓展性的前测能提高单元小结课的预见性和针对性. 利用问题链和典型例题串联起单元的核心概念、基本思想和基本方法，实现知识体系的再建构，在问题的探究中培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，在综合问题的解决中发展学生的数学核心素养.

关键词：单元整体；问题链；核心素养；一元二次方程

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）08-0014-05

引用格式：郭旭彬，陈晓妹，伍晓焰. 单元整体视角下小结课的设计与反思：以“一元二次方程单元小结”为例［J］. 中国数学教育（初中版），2024（8）：14-18.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“教学建议”中指出，在教学中要推进单元整体教学设计，要整体分析数学内容的本质和学生的认知规律，合理整合教学内容，体现数学知识之间的内在逻辑关系，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握. 相较于概念课、定理课和技能课，一线教师对小结课缺乏必要的重视. 单元整体视角下的小结课在优化学生认知结构、提高学生解决问题能力、发展数学核心素养方面有着不可替代的作用. 本文以“一元二次方程单元小结”为例探讨小结课的设计与反思.

一、理解数学：知识再建构，突出数学的整体性和关联性

在现阶段的教学实践中，单元小结课容易被简化为“知识点罗列 + 题型训练”的模式，学生的学习以机械记忆和简单模仿为主，很难从整体上理解数学知识的结构和体系. 改变这一教学现状需要我们在“理解数学”上下功夫.

从“数与代数”领域的知识体系来看，一元二次方程既是一元一次方程、二元一次方程组的延续和深化，又是学生后续学习二次函数和二次不等式的基础. 一元二次方程的研究路径和其他方程的研究路径保持高度一致，即“问题情境—方程的概念—方程的解法—方程的应用”. 特别地，从运算的角度来分析，方程、不等式和函数相关内容的学习均以数和字母的运算为基础. 一元二次方程的解法有两个认知起点：一是平方根的定义，涉及开方运算；二是因式分解，涉及整式的乘法运算. 在研究一元二次方程的时候，需要加强它和一元一次方程、二元一次方程组的类比，要利用好开方运算和整式乘法运算的工具，梳理方程知识体系中各模块内容之间的关系，把“数与代数”领域各个主题之间的内在联系显性化，引导学生将“局部”和“整体”有机地结合起来，从整体的角度理解和把握数学知识的逻辑关联性. 从数学思想方法的角度来分析，解一元一次方程即是依据等式的基本性质把其他形式的一元一次方程化为[x=m]的形式，而解二元一次方程组或一元二次方程则是通过消元或降次把方程（组）转化为一元一次方程进行求解. 由此可知，转化思想是初中阶段解方程时应用的基本思想，转化的过程即为解方程，转化的结果即为方程（组）的解. 进而言之，由一元一次方程出发，可以从未知数的个数及含有未知数的项的次数进行推广得到多元方程和高次方程；反之，可以通过消元或降次的方法分别将多元方程和高次方程转化为一元一次方程. 上述过程分别体现了从特殊到一般、从一般到特殊的思想，而根据每一类方程的具体结构特征对方程的解法和应用的研究则渗透了分类的思想，这是研究数学问题的基本思路.

作为初中阶段方程内容的终结篇，在一元二次方程的单元小结课中，我们可以把一元二次方程置于方程的知识体系中，同时联系已学的函数和不等式，建立更大的数式关系知识系统，实现知识体系的再建构，并注重一般观念的引领，在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中培养学生的抽象能力、运算能力、推理能力和模型观念.

二、理解学生：以学定教，提高教学的预见性和针对性

小结课是在学生学习单元课时的基础上进行的知识体系再建构，以期帮助学生把本单元所学的概念和方法以更加简练和结构化的形式纳入已有的认知结构. 理解数学解决的是数学知识体系的逻辑关系问题，而理解学生解决的则是数学学习的认知规律问题. 为了更好地了解学生在小结课之前对核心概念和基本方法的掌握情况，可以在上课之前对学生进行前测. 例如，一元二次方程解法是本章的核心内容，在一元二次方程具体解法的课时学习中，学生能在教师的引导下应用课堂所学的方法解方程，但这并不意味学生已经能够灵活选择合适的方法求解形式多样的一元二次方程. 为了检测学生对解法的理解水平，笔者在前测中设置了一道解方程的练习题，具体如下.

练习题：解下列方程.

（1）[x2-2x-8=0]；

（2）[yy-1=2y-1]；

（3）[x+32=4x-22]；

（4）[5x2-8x=-5].

从学生对上述练习题的具体解答情况来看，以下问题值得注意.

一方面，学生未能根据方程的结构和系数特征选择合适的解法. 对于第（2）（3）小题，仍然有相当比例的学生先把原方程化成一般形式，再用公式法进行求解；对于第（4）小题，有部分学生采用配方法得到[x-452=][-925]，进而确定原方程无实数根.

另一方面，学生对恒等变形的掌握停留在机械套用的水平. 部分学生在解第（2）小题时，容易出现在方程左右两边同时约去[y-1]的情况，从而错误地得到原方程只有一个实数解[y=2]；在解第（3）小题时，学生容易对方程左右两边进行开方运算，直接得到[x+3=2x-2]，从而错误地得到原方程只有一个实数解[x=7].

对于解法选择不当的问题，需要教师在课堂上预留足够的时间让学生进行观察和思考，切勿为了增加题型和技巧的训练而忽略了对学生数学思维的训练，切勿在选择合适解法的思维活动中代替学生思考. 学生只有经历对比不同解法的过程，明确不同解法的利弊和适用范围，才能灵活应用不同解法求解问题. 在功利的观念下，学生容易把公式法当成解一元二次方程的最优选择，任何情况下都首选公式法解方程. 实际上，第（2）（3）小题中的方程具有特殊的结构，求解时应当采用与之匹配的思想和方法. 开平方和因式分解既是实现降次的工具和方法，也是使用配方法和公式法的基础，蕴含着更加一般化的数学思想.

对于机械套用恒等变形这一问题，既有学生对算理和算法理解不够深入的原因，也有数学思维策略缺失的原因. 运算属于程序性知识. 文献［2］中指出，程序性知识在人的头脑中以“产生式”（一种“条件—行动”的规则）这种动态的表征形式来表示. 数学领域的程序性知识中，除了包含解决问题所需的操作手段或工具（即数学基本技能）外，还包含对怎样使用这些手段或工具作规划与组织时所需要的知识. 数学思维策略的教学容易被大量重复训练所替代. 学生能灵活使用一定的数学方法和思维策略解决问题的前提是学生已经构建了相当熟练的概念性知识体系. 由此可知，仅通过加强训练无法解决学生在数学运算上出现的问题. 解决上述问题的关键在于强化学生对概念的理解，并从概念出发理解算理的逻辑关系和算法的完备性.

三、理解教学：典例精讲，增强问题的串通性和生长性

学生在小结课之前已经对本单元所学习的概念、方法和思想有了一定的理解和掌握，但它们在学生大脑中主要以离散、孤立的状态存在，尚未融入到已有的认知结构中. 下面结合一元二次方程单元小结课的设计，探索解决上述问题的一些尝试和思考.

环节1：知识梳理，构建网络.

问题1：在初中阶段，你学过哪些类型的整式方程？

追问1：这些整式方程中未知数的个数与次数分别是多少？你能写出这些方程的一般形式吗？

追问2：研究方程的一般路径是什么？

【设计意图】作为初中阶段最后一种方程模型的单元小结，学者在本节课需要对方程的研究路径和内容进行梳理和总结. 此处采用从整体到局部的思路，把一元二次方程放到整式方程的知识体系中来小结. 课堂上，教师引导学生借助思维导图对相关内容进行梳理，如图1所示. 通过对问题1的分析，使学生感受研究各类方程的思路和方法具有一致性，引导学生从系统的角度认识方程知识结构的逻辑关系.

问题2：解一元二次方程的关键是什么？一元二次方程有哪些常见解法？

追问1：我们可以从哪些不同的角度推导求根公式？

追问2：如何根据方程的结构特征选择合适的解法？

问题3：一元二次方程的实数解有几种情况？如何判断？

追问：“一元二次方程无解”和“一元二次方程无实数解”的含义相同吗？

问题4：方程[ax2+bx+c=0 a≠0]的两个根[x1，x2]与系数a，b，c之间有什么关系？我们是如何得到这种关系的？

【设计意图】通过问题1引导学生从宏观的层面理解不同类型的方程在研究内容和方法上的一致性，通过问题2、问题3和问题4引导学生从微观的层面深化对本章内容的理解. 在问题2的研究中，重点让学生在梳理解法的过程中体会解一元二次方程的核心思想是降次，基本工具是开平方和因式分解，进而利用追问1让学生体会开平方和因式分解的作用，即在[Δ≥0]的前提下，除了使用教材中给出的推导方式，还可以把方程的一般式化为[ax+b22=][b2-4ac4]，从而得到求根公式[x=][-b±b2-4ac2a]. 最后利用追问2引导学生对比前测练习题中同一个方程的不同解法，进一步理解不同解法之间的逻辑关系及适用范围.

环节2：典例精讲，变式训练.

例1 已知[k]为实数，观察关于[x]的方程[k-2x2+][kx+2=0].

（1）你能得出什么结论？写出你的结论，并说明理由.

（2）若添加一个条件，你还能得出什么结论？写出你的结论，并说明理由.

【设计意图】在第（1）小题的探究中，学生可以从一元二次方程的概念、根的判别式、求根公式、根与系数的关系等角度出发进行探究，不难发现很多有用的结论. 例如，① 当[k=2]时，原方程可以化为[2x+2=0]，方程的解为[x=-1]；当[k≠2]时，通过求解含参数方程，发现方程也有一个实数解为[x=-1]. ② 当[k≠2]时，不难发现方程的两个实数根[x1]，[x2]满足[x1+x2+][x1x2=-1]. ③ 利用“参变分离”的方法，原方程可以化为[x+1k-2x+2=0]，即可以证明原方程必有一个实数根为[x=-1]. 对于第（2）小题，通过添加不同的条件，可以得到多样化的结论. 在本节课的设计初稿中，例1的表述为“已知关于[x]的方程[k-2x2+kx+]

[2=0]. 求证：无论[k]为何值，方程总有实数根.”这样的设计使得答案唯一，学生可以按照套路解答，而修改后的例1属于开放性问题，具有很强的探究性和生长性，对学生思维品质和问题解决能力的提升大有裨益. 第（1）小题帮助学生串联起本章的核心概念和方法，第（2）小题为学生提供了发现问题和提出问题的载体.

例2 如图2，某农场要围成一个矩形南瓜育苗场，一边利用足够长的墙，另外三边用总长为32米的栅栏恰好围成.

（1）试问能围成面积是96平方米的矩形育苗场吗？如果能，说明围的方法；如果不能，说明理由.

（2）如图3，若农场主想给育苗场边[BC]开一个宽为[4]米的门，求育苗场的最大面积.

【设计意图】例2以育苗场面积的计算和面积最值的求解作为载体命制，通过设置递进式的问题情境，促进学生的学习从“练习—再练习”的方式向“思考—再思考”的方式转变. 例2既考查了配方法的应用，又渗透了二次函数求最值的方法，进一步发展了学生的模型观念.

练习1：解下列方程.

（1）[x2=2x+4]；（2）[x+32=2x+6].

练习2：如果关于[x]的一元二次方程[kx2-2k+1x+]

[1=0]有两个不相等的实数根，那么[k]的取值范围是 .

【设计意图】变式1检测学生能否依据具体方程的结构和特点选择合适的解法；变式2检测学生是否掌握了根的判别式的应用，考查参数取值范围的求解，综合性较强，有利于培养学生的代数运算能力和推理能力.

单元小结课选用的典型例题和练习题需要体现本章核心知识的本质，需要在认知操作水平上具有层次性，也需要增加问题情境的开放性和探究性，提高学生对数学知识的灵活运用能力和迁移水平，提高学生对问题结构信息的识别能力. 典型例题和变式练习题可以依据具体章节内容的结构特征和实际教学需要采取多种灵活的处理方式，如一题串通式、变式串通式、分块串通式等.

环节3：方法提炼，归纳总结.

问题5：回顾本节课及本章的学习内容，回答下列问题.

（1）结合整式方程的学习过程，研究一类具体方程的一般思路是什么？

（2）研究方程（组）的解法时常用的数学思想方法是什么？

（3）你觉得我们还可以从哪些方面进一步研究一元二次方程？

【设计意图】对方程研究的一般思路和方法进行系统地梳理和总结，帮助学生从数学整体性的角度构建结构化的知识体系. 学生在本章学习中需要掌握的概念、方法和思想较多. 教师在课堂上可以鼓励学生自己动手画出相关的知识结构图，借助知识结构图进行梳理和总结. 结构化的归纳总结是小结课的点睛之笔. 问题5中的三个小问题既包含了回顾性问题，也包含了反思性问题. 回顾性问题帮助学生在教师的引导下对本单元所学习的基础知识、方法、经验进行梳理，有利于学生认知结构的形成和完善，而反思性问题则帮助学生反思已经学会了什么，还有哪些地方没有学会，以及想要进一步研究的数学问题是什么，有利于提高学生发现问题和提出问题的能力．

环节4：布置作业，应用迁移.

1. 必做题：教材习题.

2. 选做题：已知关于[x]的一元二次方程[mx2-]

[m+2x+2=0].

（1）求证：无论[m]为何值，方程总有实数根；

（2）当[m]为何整数时，方程有两个不相等的正整数解.

【设计意图】必做题较为基础，选自教材章末习题，旨在让学生巩固一元二次方程的解法和应用；选做题较为综合，旨在考查学生对一元二次方程的解法、根的判别式，以及配方法的灵活应用.

四、理解技术：技术加持，提升教学的可视化和个性化

随着大数据和人工智能技术的快速发展，信息技术在提高教学质量上的作用不容忽视. 现阶段数学课堂上使用的信息技术已不再拘泥于PPT、几何画板等传统软件，希沃平台、问卷星、思维导图等智能化平台能够为课堂教学的各个环节提供强大的支撑. 例如，以下是本节课前测中的两道练习题.（前测练习题均由学生在问卷星平台上在线完成.）

练习1：下列方程是一元二次方程的是（ ）.

（A）[x2+2xy=5] （B）[x2+1x=2]

（C）[x2+y2=6] （D）[x2=5]

练习2：在本章的学习中，你还有哪些疑惑或可以提出哪些问题？

图4是系统根据学生对练习1的答题情况自动生成的扇形图，图5是根据学生对练习2的答题情况自动生成的词云图. 系统还提供了表格、圆环图、折线图等统计图表供使用者参考. 由图4的统计数据可以推断大部分学生能够准确理解一元二次方程的概念，而图5则反映出学生比较关注方程解法的选择，以及含参方程的综合问题，学生在课堂上的表现也可以印证这一点.

实际上，我们不仅可以利用信息技术解决一些纯机械的体力劳动，还可以利用现有题库基于大数据分析的互动技术为不同层次的学生提供个性化的检测，帮助教师快速掌握学生在数学学习中存在的共性问题和个别问题. 借助信息技术的力量，我们可以把抽象的内容显性化，引导学生从动态、发展、整体的角度理解概念之间和方法之间的逻辑联系，掌握知识发生发展的脉络，实现知识体系的优化和再建构，实现覆盖面更广的个性化教学和优质资源共享.

五、结束语

在小结课中，学生是把知识作为结果来认识的，需要在相互联系的网络中重新认识知识，使本单元的知识之间、本单元知识与其他单元的知识之间、本单元知识与不同学科的知识之间、本单元知识与现实生活之间建立起简约、多触点、结构化的系统. 在单元小结课中设计的典型例题和练习题需要充分体现习题的针对性、层次性、生长性和评价性. 学生在数学学习方面的个体性差异较大，可以利用多样化的信息技术为学生的数学学习提供更加丰富的学习资源和个性化学习方案，在问题解决中培养学生的数学思维能力，发展学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］章建跃. 从知识分类看数学“双基”的内涵：数学“双基”教学的心理学基础研究之一［J］. 数学通报，2003（8）：0-2.

［3］章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续1）：《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写［J］. 中学数学教学参考（上旬），2019（7）：6-11.

［4］何睦. 数学课堂小结的现状与思考［J］. 数学通讯，2015（4）：9-12.

［5］向立政，周远方. 把握课型特点 改变建构方式 促进认知升华：探寻小结课教学的有效价值取向［J］. 中国数学教育（高中版），2012（11）：2-4，8.