数学习题课教学模式的建构

摘 要：数学习题课教学模式是在分析数学习题课教学中存在的问题的基础上，在教学理论的指导下，以发展学生数学核心素养，促进学生深度学习、主动发展为目的，将启发式、探究式、体验式和对话式教学融为一体并在实践中取得成效后建构的. 它是由教学目标、理论基础、教学程序、实施条件等要素构成的习题课教学结构系统，其指导思想为：使学生在对话中学会用数学的思维思考，在变式中把握数学本质，在实践中提高解题能力，在反思中积累解题经验.

关键词：习题课；教学模式；数学核心素养

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）08-0028-05

引用格式：王富英，王占娟，吴立宝，陈婷婷. 数学习题课教学模式的建构［J］. 中国数学教育（初中版），2024（8）：28-32.

一、模式的提出

数学习题课是教师以帮助学生巩固所学知识、形成技能、提高解题能力、发展数学核心素养为目的，根据学生学习内容的教学要求和学习需要，在课堂上进行的以范例的研究、讲解和变式训练为主要形态的一种课型. 习题课在培养学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力，发展学生的数学核心素养中有着重要的地位与作用.

在现实教学中，习题课的主要教学方式是教师分析、讲解例题的解题思路，其中穿插一些启发性的提问，但不等学生回答，教师就直接讲解或者只让学生回答一些简单的问题，讲解完例题后再让学生做一些同类型的习题. 从教学设计的角度来看，这种教学方式是教师以自己如何“好教”而不是学生如何“好学”的角度进行设计的，导致教与学分离；从教学方式的角度来看，采用的仍是传授式教学，即教师在课堂上独占话语权，不给学生留独立思考的时间和交流表达的机会，学生被动听讲，其主体性严重缺失，学习的积极性较低；从教学结果的角度来看，学生对数学的理解局限在工具性理解，而没有进入关系性理解和价值性理解，因而也就缺乏对数学知识内容本质的理解，导致解题能力得不到提高，面对具体问题时不能灵活运用知识分析并解决问题，只能死记硬背各种题型，模仿、套用模板进行解题. 研究发现，仅有40%的学生能跟上这样的教学进度，教学效率低下，导致学生的数学学习成为缺乏深度理解的浅层学习，这对提高学生的数学解题能力和发展学生的数学核心素养极为不利. 针对习题课中存在的问题，本研究从学生的“学”出发，以激发学生主动参与，发展学生数学核心素养，促进学生深度学习、主动发展为目的，将启发式、探究式、体验式、对话式等多元化的教学方式融为一体，建构了数学习题课教学模式，在教学实践中取得了很好的教学效果.

二、模式的构建

教学模式是为了完成特定的教学任务，并在一定教学理论的指导下，将教与学的诸多要素融为一体而形成的，以稳定的教学程序为表征的教学活动结构体系. 一个成熟的教学模式至少应该包括以下四个基本要素：教学目标、理论基础、教学程序、实施条件. 本研究正是基于对教学模式的以上理解进行的数学习题课教学模式的建构.

1. 教学目标

教学目标是完成教学任务的指南，是构成教学模式的核心要素. 数学习题课教学的总体教学目标是由巩固知识、形成技能、学会解题、发展数学核心素养四个子目标构成的. 它们之间是由低到高、逐级递进的关系. 其中，“巩固知识”和“形成技能”的目的是夯实“双基”，是习题课教学的基本目标.“学会解题”是指学会用数学知识和思想方法观察、思考、分析、解决实际问题（数学内部和现实世界），并能用准确的数学语言表达出来.“学会解题”是习题课的主要目的，即习题课教学的核心目标.“发展数学核心素养”是指在运用数学知识与思想方法解决问题的过程中逐渐形成的学生发展所需要的必备数学思维品质、关键能力，以及正确的情感、态度和价值观. 因此，发展数学核心素养是习题课教学的最高目标. 其中，基本目标是核心目标达成的基础和前提. 核心目标是基本目标的进一步发展，是习题课教学的重点. 最高目标是核心目prREJm97aTIjfFS49VAYsA==标的升华，它是在实现基本目标和核心目标的过程中逐渐达成的. 只有达成了基本目标和核心目标，才能实现最高目标.

2. 理论基础

理论基础是教学模式诸多要素赖以建立的依据与基础，决定着教学模式的方向性和独特性. 因此，它是构成教学模式诸多要素的核心. 教学模式的理论基础渗透在教学模式的各个环节中，并制约着它们之间的关系. 数学习题课教学模式的理论基础是导学讲评式教学理论. 导学讲评式教学是指在教师的指导下，学生根据学案进行自主学习、对话性讲解和学习内评价，以达到学会学习、主动发展的教与学活动方式. “导学”“讲解”“评价”是其核心要素，故取“导”“讲”“评”的汉语拼音首字母，简称“DJP教学”. DJP教学遵循的是回归自然的教育观. 它包括三个部分：回归人的自然属性，回归教育的自然规律，回归学生的自然生活. 人的自然属性包括以下三个方面：求知欲与学习是人的生存属性，交往与对话是人的社会属性，获得尊重与实现自我需求是人的生命价值属性. 回归人的自然属性要求在教学中“要把自主权还给学生，把话语权交给学生”“要高度尊重学生，充分信任学生”. 回归教育的自然规律是指教学要遵循规律，不能凭经验进行教学，这样才能提高教学的有效性. 回归学生的自然生活是指学习的内容要与学生的现实生活有密切联系. DJP教学的基本教学理念是让知识在对话中生成，让能力在活动中提升，让情感在评价中升华.

基于数学习题课的教学目标和相关理论，本研究确定习题课教学的指导思想为：在对话中学会用数学的思维思考，在变式中把握数学内容本质，在实践中提高解题能力，在反思中积累解题经验.

3. 教学程序

任何成熟的教学模式都有一套相对稳定的操作程序. 本研究建构的数学习题课教学模式的操作程序分为课前“两准备”、课中“五步骤”和课后“三行为”. 课前“两准备”是指教师准备和学生准备，课中“五步骤”为组内交流、全班讲解、回顾评析、变式练习、反思总结，课后“三行为”为巩固、反省和调整. 具体结构如图1所示.

（1）课前“两准备”.

教师和学生在课前都要做好充分的准备. 教师的准备是在研究教材和分析学情的基础上编制学案. 学生的准备是明确学习目标，在学案的引导下独立完成学案中典型例题的解答，总结解题规律. 为了提高习题课的教学质量，在学案设计中选配的例题一定要具有目的性、典型性、研究性和发展性. 例如，在学习平行线的性质的习题课中，教师可以在学案中设计以下典型例题.

例 如图2，AB∥CD，∠PAB，∠APC和∠PCD之间有什么数量关系？试用不同的方法证明你的结论.

此例题可以运用平行线的性质定理解答，解法很多，并且可以进行引申、推广，具有目的性、典型性、研究性和发展性.

（2）课中“五步骤”.

在课堂教学中，教学过程按“组内交流—全班讲解—回顾评析—变式练习—反思总结”五个步骤进行.

步骤1：组内交流.

组内交流是指在学生根据学案自主学习后，上课时先让学生在小组内交流，分享自己对典型例题的解题思路与求解方法，对于不能解答的问题寻求组内同伴的帮助，力求在组内解决存在的问题. 组内交流为学生提供了交流、分享的机会与平台，让学生充分展示并与他人分享自己的思想观点及解题智慧. 对于组内讨论不能解决的问题，小组代表在全班讲解时提出以寻求他人帮助. 这时，教师要深入参与到学生的交流讨论之中，进行巡视指导. 教师的巡视指导既可以帮助学生解决一些学习中的困难，也可以掌握学生的学习情况，便于在讲解和点评时更有针对性.

步骤2：全班讲解.

全班讲解是指在小组交流、讨论后由小组推荐的代表在全班进行的交流讲解. 具体讲解内容为：我是如何想到的？我有哪些新发现？我还有哪些不能解决的问题. 学生的讲解对学习者分享他人解题智慧、学习他人经验、建构知识意义具有重要的价值和作用. 这里的讲解是对话性讲解，是指学生个体或学习小组围绕某个学习主题，面向全班展示、表达、解释自己或小组讨论的观点、想法与发现，教师与其他学生通过倾听、提问、质疑、评价等与之互动对话的学习活动过程. 以下是针对例题的师生对话讲解的实录.

师：同学们已经独立完成了学案上例题的解答，刚才各小组也进行了交流，现在请各小组代表与大家分享你们解决此题的思路与方法.

生1：我们小组的解题思路是过点P向左边作直线AB的平行线构造内错角，利用平行线的性质定理，将∠A与∠C集中在一起，与∠APC一起构成一个周角（如图3）. 可得∠PAB + ∠APC + ∠PCD = 360°.

生2：我们小组由AB∥CD联想到平行线的性质定理. 为了使∠PAB，∠APC和∠PCD之间产生关联，我们过点P向右作PE∥AB（如图4），利用平行线的性质定理可以得到∠PAB + ∠APC + ∠PCD = 360°.

生3：我们小组的解题思路是把分散的三个角集中到两个平角中，采用的方法是延长AP与DC，交于点E（如图5）. 因为AB∥CD，所以∠PAB = ∠6. 在△EPC中，因为∠6 = ∠3 + ∠4，所以∠PAB = ∠3 + ∠4. 因为∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠4 = 180°，所以∠PAB + ∠APC + ∠PCD = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.

生4：我们小组的思路是连接AC，把∠APC，∠PAB和∠PCD的和转化为一个三角形的内角和一对同旁内角（如图6），可得这五个角的和为360°.

师：非常好！这里点A和点C分别是射线AB和射线CD的端点，比较特殊. 如果将线段AC沿AB方向移动，使点A和点C的对应点分别落在射线AB和射线CD的任意位置（如图7），还能解决这个问题吗？[A][B][C][D]

生5：可以，此时构成了一个五边形，五边形内角和为540°，然后再减去一对同旁内角的和180°，仍然是360°.

生6：我们小组认为既然是落在任意位置，还有可能构成四边形（如图8），这样就可以用内错角和四边形内角和为360°来进行转化.

这是一道没有给出结论的探究题. 学生在经过独立思考和小组交流讨论后在全班交流讲解各种解题的思路与方法. 通过师生的对话交流，充分展示了学生的解题智慧，并使学生学习了如何进行数学观察、数学思考和数学表达. 同时，激活了倾听者的思维，使之产生了新的解题方法，发展了学生的数学思维能力，促进了习题课教学目标的达成.

步骤3：回顾评析.

回顾评析是在完成典型例题的分析解答后对解题中用到的知识及解题的策略方法进行回顾、评析与总结，在此基础上对例题进行深入研究. 在评析解题策略和方法时，教师要引导学生对各种解法的优劣进行分析，揭示解决问题的核心思想和关键，总结解题的规律与方法，传播学生的解题智慧. 回顾评析可以在学案或课堂上通过以下问题引导学生进行：解决此题的关键是什么？还有其他解法吗？哪种解法具有一般性？它们之间有何内在联系？解题中用到了哪些数学思想方法？能否把此问题推广到一般？学生通过解题回顾和评析过程，总结、提炼解题规律与数学思想方法，积累解题经验，从而发展抽象能力、直观想象和推理能力等数学核心素养，提升数学解题能力，促进习题课教学目标的达成.

以下是针对例题进行回顾评析的教学实录节选.

师：刚才几个小组的同学依据不同思路解答了此题，展示了同学们的解题智慧，很好. 现在大家思考：这几种解法用到的核心思想是什么？这几种解法的内在联系是什么？

生7：我认为此题的几种解法中蕴含的核心思想是转化. 前两种解法是通过过点P作AB的平行线，利用平行线的性质定理将所求问题转化成一个周角或两对同旁内角的和；第三种解法是通过延长AP，DC，将所求的三个角之和转化为两个平角的和；第四至第六种解法是连接AC或者AB，CD上两点将问题转化为一个多边形内角和一对同旁内角的和. 因此，转化思想是这几种解法的核心.

师：讲得很好！抓住了问题的本质. 转化思想是解决此问题的精髓与灵魂. 大家认为哪种方法比较好？为什么？

生8：我觉得过点P作AB平行线的方法比较好. 因为这种方法非常容易想到，而且可以将此类问题进行推广. 例如，若把点P叫作“折点”，则当折点的个数增加到n个时有何结论？此时，就可以利用这种方法很快解决问题.

师：生8能够透过现象看到本质，抓住解决此问题的关键，找到问题与解法之间的内在联系，思维深刻，极具创新性，很了不起！

步骤4：变式练习.

变式练习是在对典型例题的解题规律和方法进行总结提炼后让学生再做一组相关的变式练习题. 变式练习题可以由教师提供，也可以让学生自己编制，做完练习题后可以组织学生相互交流评析. 通过变式练习，使学生进一步巩固此类问题的解题规律，掌握这类问题的内在联系和本质. 以下是解决例题后出示的一组变式练习题.

变式1：如图9，已知直线AB∥CD，点E，F在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE. 则∠E和∠F之间有什么数量关系？

变式2：如图10，已知直线AB∥CD，点E，F在直线BD的两侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，则∠E和∠F之间有什么数量关系？

变式3：如图11，已知直线AB∥CD，点E，F在直线AB的上方，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，则∠F和∠E之间有什么数量关系？

变式4：如图12，已知直线AB∥CD，点E，F在直线AB的上方，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，则∠F和∠E之间有什么数量关系？

步骤5：反思总结.

反思总结是整节课结束后师生共同对整节课进行全面回顾和总结. 通过反思总结提炼解题规律，积累解题经验，形成并完善解题认知结构. 一般地，可以在学案或课堂上通过以下问题引导学生进行反思总结：本节课用到了哪些知识？在问题解决中主要运用了哪些数学思想方法？这些知识方法与前面学习的哪些知识方法有联系？从本节课的学习中你有何体会与感悟？

（3）课后“三行为”.

这里的“三行为”是指巩固、反省和调整.

巩固：针对习题课上的重点和存在的问题，教师要布置适当的作业进行练习，使学生巩固解题策略方法，形成解题技能，提高解题能力.

反省：教师和学生都要反省自己在课堂教学活动中的思想与行为. 教师要反省自己的学案设计是否符合学生的认知需要和认知规律，组织的对话性讲解是否有效，对学生各种解决问题的方法是否点评到位，对隐藏在数学知识和方法背后的思想、规律是否有效揭示，等等. 学生要反省自己对解题中涉及的哪些知识有缺漏，解题的策略方法有哪些不当，学习探究的策略有何不足. 反省是学会学习的重要途径. 教师在教学中要指导学生有效反省自己的学习策略和方法，让学生在反省中逐渐积累解题活动经验，提高解题能力.

调整：教师和学生要对在反省中发现的不恰当思想和行为及时进行调整. 教师要在反省后对教学设计与教学过程中的不足及时作出调整；学生要在反省后根据存在的问题及时作出学习策略和方法的调整，以提高今后的学习效率.

4. 实施条件

任何一种教学模式都不是万能的，它都是在一定条件下才能起作用. 由于本教学模式在师生关系、教学过程、教学方式、价值追求等方面都不同于传统教学，它要求教师掌握相关理论、改变教学观念，能有效进行学案设计，具有较高的课堂组织调控能力，特别是刚实施该教学模式的教师可能会产生不适应和抵触情绪. 为了避免和消除教师在运用该教学模式过程中产生的不适应和抵触情绪，教研组要组织教师进行相关理论的学习和学案设计的培训与研讨，帮助教师转变教学观念，提高其对相关理论的认识，提高教师编制学案的能力和教学组织能力.

三、模式的价值

实践表明，该教学模式将教、学、评有机融为一体，可消除教、学、评分离的现状，有利于发展学生数学核心素养，将《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的发展学生数学核心素养的要求落到了实处. 该教学模式的运用不仅改变了教师的教学行为，而且转变了教师的教学观念，提高了教师的教学设计水平和研究能力.

参考文献：

［1］王富英. 论中学数学习题课教学［J］. 数学通报，2020，59（7）：35-39.

［2］王富英，王新民. 让知识在对话交流中生成：DJP教学中知识生成的过程与理解分析［J］. 中国数学教育（初中版），2013（11）：3-6.

［3］胡定荣.“两分析－三备－四步－两循环”教学模式的构建与实践［J］. 课程[∙]教材[∙]教法，2011，31（5）：27-32.

［4］王富英，朱远平.“导学讲评式教学”的理论与实践：王富英团队DJP教学研究［M］. 北京：北京师范大学出版社，2019.

［5］曹一鸣. 中学数学课堂教学模式及其发展研究［M］. 北京：北京师范大学出版社，2007.

［6］王富英，王新民，黄祥勇，等. 数学导学讲评式教学论［M］. 北京：科学出版社，2020.

［7］王富英，王新民. 数学学案及其设计［J］. 数学教育学报，2009，18（1）：71-74.