传承·发展·创新：数学文化教学的思考

摘 要：数学文化课不同于一般的课程，它以深浅适当的知识为载体，以明暗两线交错的形式在课堂中展开，传授数学的思想、精神和方法. 弦图是渗透数学文化的代表之一，由弦图出发，引导学生探寻弦图的历史、结构和应用，感悟数学文化对数学发展的影响，推动学生数学核心素养的发展.

关键词：复习课；数学文化；弦图

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）08-0042-05

引用格式：赵锋，黄瑞华. 传承·发展·创新：数学文化教学的思考［J］. 中国数学教育（初中版），2024（8）：42-46.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中强调数学课程内容应关注数学文化，在教材编写中建议介绍数学文化，拓宽学生视野，增强民族自豪感，且试题命制应适当引入数学文化作为试题情境. 由此可见，数学文化在教、学、评中越来越受到重视. 如何在课堂中渗透数学文化值得深思. 笔者以“弦图”为背景开设了一节中考复习课，引导学生深度探寻“弦图”的几何结构，并带领学生应用探寻的结论解决深层次的问题，使其感悟数学文化. 现将本节课整理并撰写成文，与各位同行交流.

一、备课思考与分析

1. 教学目标的思考

弦图是中国古代数学中一颗璀璨的明珠. 它利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，利用它证明勾股定理简洁而富有创意，为中国古代“形数统一”的独特风格树立了典范. 因此，本节课有必要让学生了解弦图的相关历史，感受中国古代数学发展的成就，树立学生的文化自信.

弦图的结构简洁，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的中心对称图形. 将弦图去掉一半，剩下的图形便是常用的基本图形（“三垂直”或“K字型”）. 将弦图和基本图形相关联可以有效减少学生记忆基本图形所花费的时间. 这个简单的结构背后存在着重要的面积关系. 善用图形的面积关系能帮助学生巧妙地解决与弦图相关的问题. 在一些条件不明晰（弦图结构不明显或正方形内出现以它的边长为斜边的直角三角形等）的题目中，这类问题的解决对学生来说难度较大，但是根据已知条件构造弦图后，便能快速利用其内部的几何关系转化相关图形、线段间的关系，从而快速找到解决问题的方法.

因此，将本节复习课的教学目标设置如下：知道弦图的相关历史资料，了解其几何特征；掌握弦图的面积关系，能够在合适的背景下构造弦图解决问题，发展几何直观；经历识弦图、赏弦图、用弦图、构弦图和变弦图的学习过程，感受数学文化的传承、发展和创新，树立文化自信.

2. 学情分析

笔者在课前调研中发现，九年级学生对于弦图缺少系统化的认知，主要停留在“弦图与勾股定理相关”的认识上. 学生对于弦图的认识是碎片化的，没有形成知识体系. 作为中考一轮复习课，教师不仅要帮助学生进行基础知识的查漏补缺，而且要带领学生建立知识框架，实现学习内容从碎片化向整体化的转变. 笔者所授课班级学生的数学平均水平相对较低，对数学学习的兴趣不高，因此，本节课从拼弦图的方式入手，让学生经历动手实践的过程，在完成任务的过程中增强学生学习的信心，从而激发学生学习数学的内驱力. 同时，不设置难度过大的题目，目的是让每名学生都能参与数学课堂活动，感受弦图的几何结构美.

3. 如何在课堂中渗透数学文化

随着课程改革的深入，数学文化的育人价值受到越来越多的关注. 然而，部分教师把数学文化等同于讲解数学史料、播放数学家的故事等（如在勾股定理的教学中介绍毕达哥拉斯和赵爽发现勾股定理的史料）. 在一笔带过地完成这个环节后，教师便回归到例题讲解的环节，使得数学文化的教学成为课堂的一个小插曲，对学生而言只是了解了个故事. 数学文化在课堂教学中可以呈现明暗两条主线. 明线包含数学知识的发现和起源、数学家的轶闻趣事等，有利于激发学生的数学学习兴趣，开阔学生的视野；暗线是让学生感悟数学文化、数学思想对数学发展的影响，有利于学生感悟数学的价值，促进学生科学精神、应用意识和人文素养的发展. 明暗两条线在课堂教学中交错展开，使课堂中真正有了“数学文化味”，更好地彰显了数学育人的教育目标.

二、教学过程与说明

1. 从“识”到“赏”，传承弦图背后的文化

环节1：识弦图.

问题1：你能用手中的四个全等的直角三角形纸片拼出一个正方形吗？试试看.

学生利用手中的三角形纸片动手操作拼出如图1所示的两个正方形.

追问1：你是如何思考这个问题的？为什么这样拼出来的是正方形？

追问2：你熟悉这两个图形吗？你对它们有哪些认识？

师生活动：经过师生互动，明确图1（a）是赵爽用以证明勾股定理的图形（后被称为“内弦图”），图1（b）是毕达哥拉斯用以证明勾股定理的图形（后被称为“外弦图”）. 对于弦图，学生利用它证明了勾股定理；它是由四个全等的直角三角形拼接成一个大正方形；弦图中的面积关系为S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形；它是中心对称图形；等等. 教师将学生总结的关于弦图的结论归纳为几何和代数两个领域.

【教学说明】以动手操作和开放式问题带领学生回忆弦图的相关知识，促使每名学生都能参与到课堂互动中，不至于教学伊始就出现有学生“掉队”的现象. 教师引导学生从几何和代数两个方面认识弦图，为后续的问题解决作铺垫.

环节2：赏弦图.

师：图2中的这两幅图分别是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽和2021年在上海召开的第14届国际数学教育大会的会徽. 这两次会议的会徽中都出现了弦图. 弦图到底有什么魅力能在两次会议的会徽上出现？今天就让我们了解弦图背后的故事，同学们先自行阅读关于弦图的资料.

【教学说明】两次重要的数学会议的会徽设计中都融入了弦图元素，不由得引发学生思考其中的原因，从而激发学生对弦图历史文化的兴趣，使数学文化的种子在学生心中悄然发芽. 同时，学生阅读史料了解弦图在中国古代数学中的重要地位及中国古代数学发展的高度，增强了文化自信.

2. 从“用”到“构”，感受数学文化的发展

环节3：用弦图.

题目1 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图（如图3（a）”. 图3（b）是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成. 记图3（b）中正方形ABCD、正方形EFGH和正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1 + S2 + S3 = 10，则S2的值是_______.

师生活动：学生思考交流. 教师巡视学生解答的情况，对有困难的学生加以指导，让学生展示思路和解法.

解法1：设GK = a，HK = b.

则S1 =[a+b2]，S2 = a2 + b2，S3 =[b-a2].

因为S1 + S2 + S3 = 10，

所以[a+b2]+ a2 + b2 +[b-a2]= 10.

化简，得[3a2+b2]= 10，即3S2 = 10.

所以S2 =[103].

解法2：由图3（b），可知S1 = S2 + 4SRt△AEH，S3 = S2 - 4SRt△GHK，且SRt△GHK = SRt△AEH.

将两式相加，整理，得S1 + S3 = 2S2.

因为S1 + S2 + S3 = 10，

所以3S2 = 10，即S2 =[103].

解法3：将直角三角形都特殊化为等腰直角三角形，此时S1 = 8SRt△GHK = 2S2，S3 = 0.

因为S1 + S2 + S3 = 10，

所以3S2 = 10，即S2 =[103].

【教学说明】给予学生充分的时间思考问题，引导学生从不同的角度切入问题，用批判性的眼光看待不同的解法，经历对解法的选择与优化的过程，比较它们的优劣之处. 从代数角度培养学生的符号意识，发展学生的模型思想；从几何角度让学生关注图形特征，培养学生的几何直观；用特殊化的方法解决问题实现静态问题动态化，为解答选择题、填空题带来便利. 在这个环节中，教师及时对学生的解法进行追问：“你是怎样想到的？”通过追问可以将学生的思维路径展现出来，再帮助学生总结反思，深刻了解弦图的结构特征，促进其对知识的再认识.

环节4：构弦图.

题目2 如图4，以Rt△ABC的两边AB，AC分别向外作正方形ABGF和正方形ACDE，连接EF. 若△ABC的面积等于6，则△AEF的面积为________.

学生活动：学生思考并动笔算一算.

如图5，学生容易想到过点E作FA的垂线，交FA的延长线于点M，证明△ABC ≌ △AME，进而得到EM = BC，从而计算得到△AEF的面积等于6. 也有学生构造如图6所示的结构，同样利用三角形全等得到△ABC和△AEF面积相等的关系.

问题2：你是怎么想到这样作图的呢？

问题3：从图5和图6中正方形的结构来看，你能联想到什么图形？你能把缺少的弦图补全吗？补全图形后，你能快速得到这道题的结果吗？

师生活动：如图7，学生补全弦图，然后利用弦图的结构特点快速得到了△ABC和△AEF的面积相等. 教师总结归纳弦图的基本图形（如图8），引导学生发现平时所说的“K字型”“三垂直”等基本图形都是来自弦图. 教师再让学生将图7和图3（b）作比较，引导学生发现它们都是由八个全等的直角三角形组成的图形，由于构图方式的不同（图3（b）中的直角三角形以轴对称的方式拼接，图7中的直角三角形以中心对称的方式拼接），导致出现了不同的图形内部结构.

问题4：除了可以基于大正方形构造弦图解决问题，你能在小正方形内构造弦图解决问题吗？

学生活动：学生构造的弦图如图9所示，发现利用弦图的结构也可以得到△ABC和△AEF的面积相等.

题目3 如图10，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，以正方形的边BC为斜边向内作Rt△BCE，若CE = 4，BE = 16，则OE的长度是________.

【教学说明】以上题目环环相扣，难度层层递进，符合知识螺旋式上升的趋势. 学生先分析图形的结构从而构造弦图，将构造的弦图与环节2中的图形进行联系、对比，发现将相同的图形通过不同方式的拼接可以得到不同的内部结构. 在构造弦图的过程中，带领学生重新审视“K字型”“三垂直”等基本图形，意识到它们都是由弦图衍生而来的，不仅减轻了学生记忆基本图形的负担，而且有利于建构弦图的知识框架. 在学生完成题目3的解答后，教师追问：“在什么情况下可以构造弦图来解决问题？”由于本节课的学习内容为弦图，且题目2已经为构造弦图进行了铺垫，因此，解答题目3时，学生不难想到通过构造弦图来解决问题. 但在没有弦图的情境时，恐怕很少有学生能想到用构造弦图的方法来解决问题. 因此，教师总结提炼式的追问必不可少，旨在作为解题方法论的指导和引领.

3. 创意弦图，从发展逐步迈向创新

环节5：变弦图.

师：从“用弦图”到“构弦图”，体现了弦图的发展历程. 在本节课的最后，我们试着在图形结构上对弦图进行创新. 类比以正方形为背景的弦图，创作出其他图形背景下的弦图.

学生活动：学生经过小组合作交流，纷纷将正方形变成了菱形、三角形等图形，创作出如图11所示的弦图.

【教学说明】基于学生对弦图几何结构的认知与理解，留给学生无限遐想的空间，突破其思维的局限性，促进其创作出不同形状的弦图，潜移默化地让学生感受数学文化传承、发展和创新的理念，培养学生的创新意识. 本环节不仅让学生进行创作画图，而且让学生对创作的图形从几何结构特征、图形的作用与价值、新图形的继续创新等角度进行多方面、多元化的评价，促使学生对弦图有更深层次的认识.

4. 深化反思，构建数学文化地图

环节6：课堂小结.

问题5：你对弦图有哪些认识？

师生活动：学生围绕问题5展开交流，教师辅助学生完善弦图的知识结构图（如图12）.

教师总结：本节课，我们沿着“识—赏—用—构—变”的路径再次认识了弦图. 其实，“赏”和“识”就是数学文化的传承，“用”和“构”就是数学文化的发展，“变”就是数学文化的创新.

【教学说明】通过完善弦图在几何领域和代数领域的知识框架，并对弦图在代数领域的应用进行了适当的补充和展望，让学生再次感受弦图中蕴含的数形结合思想. 在总结阶段，教师将本节课的学习路径升华为对数学文化的传承、发展和创新，起到画龙点睛的作用，达到立德树人的教育效果.

三、教学反思

1. 在教学中呈现内在逻辑，感悟文化力量

数学文化课不同于一般的课程，它以深浅适当的知识为载体，提升学生的思维品质，传授数学的思想、精神和方法，以明暗两条线交错的形式展开教学，让学生感受数学文化对数学发展的影响. 数学文化不在于教师的讲授，更多的在于渗透和感悟. 本节课以弦图的“识—赏—用—构—变”过程为明线，介绍弦图的来历、作用、结构和应用，暗线则指在这个过程背后对于数学文化的传承、发展和创新. 在“赏弦图”环节，学生通过阅读资料领略中国古代数学家的智慧，增强了民族自豪感和文化自信. 在当前的教育背景下，数学教学应充分发挥数学文化教育的优势，对学生的数学思维进行培养，充分发挥学生学习的主体作用，推进学生数学核心素养的发展. 教师要通过课堂教学向学生渗透、展示数学文化的魅力，挖掘数学的多元育人价值，让学生接触到火热的文化数学、教育数学.

2. 在真实思考中体验文化，回归知识本质

数学学习需要让学生引发真实的思考，在思考中体验，在体验中感悟，在感悟中提高认知，在认知中回归本质. 笔者尝试实践小题量的复习课. 从教和学两个角度来看，有教师为了完成大题量的教学而对题目浅尝辄止、就题论题，导致学生对题目的理解也是蜻蜓点水，缺少本质的理解. 而小题量的教学让师生都有足够的时间理解、挖掘题目的本质，提炼出核心的知识和方法. 本节课选取了三道题作为讲解重点.“识弦图”环节的设置目的是让学生经历动手操作的过程，从图形结构等方面回忆相关知识.“用弦图”环节从一题多解的角度使学生感受图形面积之间的关系，在归纳提炼中对方法进行选择与优化，实现学生高阶思维的发展.“构弦图”环节旨在让学生用整体观念补全图形结构，再进行迁移与应用，发展学生的几何直观，进一步落实教学重点和难点，加深学生对弦图本质的理解.

3. 在文化熏陶中构建知识框架，达成深度学习

郭华教授认为，深度学习具备联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用、价值与评价等特征. 深度学习中，学生所学的知识不是零散的、碎片式、杂乱无章的信息，而是有逻辑、有体系、有结构的知识；学生也并不是孤立地学习知识，而是在教师的引导下，根据当前的学习活动去联想、调动、激活以往的经验、知识，以融会贯通的方式组织学习内容，从而建构出自己的知识结构. 本节课的环节1和环节2，旨在让学生参与动手操作拼图的活动，使学生在这个过程中全身心体验弦图的结构，进一步了解面积关系和图形的对称性；环节3和环节4中，通过经历对不同解法的归纳、提炼的过程，去除非本质属性的干扰，把握题目背后最本质的核心知识；环节5中，通过改变弦图的正方形背景，形成等边三角形、平行四边形 + 矩形、平行四边形 + 平行四边形等创新弦图，将前面的知识转化为综合实践能力，培养了学生的迁移能力、应用能力和创新意识；环节6中，在师生相互的总结评价中构建弦图的知识框架，以达成深度学习.

参考文献：

［1］赵锋. 融合数学文化 彰显学科价值［J］. 中学数学教学参考（中旬），2022（8）：52-55.

［2］顾沛. 从美育的角度看南开大学的数学文化课［J］. 中国大学教学，2016（6）：12-14，30.

［3］赵士元，张国棣. 从中学的视角看数学文化观念下的数学教学［J］. 数学通讯，2010（20）：9-12.

［4］郭华. 深度学习及其意义［J］. 课程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.