建构数学模型 感悟数学思想

摘 要：高品位的数学教学应该使学生体会到数学思想和方法. 从一道代数式求值测试题入手，基于理解教材的视角分析试题、诊断归因、改进教学，引导学生建构数学模型分析和求解试题，感悟数学思想方法，提高学生的数学思维品质.

关键词：数学模型；数学思想方法；代数式求值；试题评析

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）08-0033-04

引用格式：孙凯. 建构数学模型 感悟数学思想：一道测试题的评析、求解及教学启示［J］. 中国数学教育（初中版），2024（8）：33-36.

一节数学课若能够使学生体会到其中的数学思想和方法，则属于高品位的数学教学.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）指出，教学活动应促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验.《标准》在“教学建议”中指出，通过丰富的教学方式，让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验. 因此，教师在数学教学中不仅要关注基础知识和基本技能的落实，更要关注基本思想和方法的教学，以帮助学生学会数学地思考，掌握基本的数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.

一、问题呈现

在七年级上学期数学学科的一次调研测试中，学生普遍反映有一道代数式求值问题的求解比较困难，批阅后发现，答题正确率仅为35.6%. 该题有什么特点？与教材内容有什么联系？学生的困惑点在哪里？教师的教学是否存在问题？带着这些问题，笔者从题目、教师、学生三个维度分析和诊断成因，基于建构模型的视角呈现题目求解的方法，并给出教学建议. 题目如下.

题目 若[a+b=3]，则代数式[a2+ab+3b]的值为 .

二、题目评析

1. 基于理解教材的题目分析

该题属于“数与代数”领域中代数式的求值问题.苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级上册的第3章“代数式”中给出“代数式的值”的定义为：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值. 而求代数式的值是指用具体的数值代替代数式中的字母，把代数式变成数式，转化为我们熟悉的有理数运算.

教材七年级上册出现直接涉及求代数式的值的例题或习题共计42道. 从代数式的呈现形式来看，有39道题是先给出代数式再给出字母的取值，只有3道题是先给出字母或代数式的值再求一个代数式的值. 从代数式的特征来看，有19道题中的代数式无需计算或化简，只需要将字母的取值直接代入求值；有23道题中的代数式需要先计算或化简后，再将具体的数值代入求值. 从代数式涉及的知识来看，有12道题属于有理数运算，有30道题涉及整式的加减、整式的乘法与因式分解等. 从代数式涉及的数学思想方法来看，涉及整体思想的有3道题，涉及函数思想、对应思想的有40道题，涉及数形结合思想、转化思想、方程思想的有2道题.

这些例题或习题中与题目最接近的是教材七年级上册第3章复习题的第17题（以下统称“题1”）. 题1为：如果代数式[5a+3b]的值为-4，那么代数式[2a+b+42a+b]的值是多少？题目与题1分别以符号、文字叙述的形式呈现. 本质上都是给出一个代数式的值，求另一个代数式的值. 能否建立已知代数式和要求代数式之间的关联是学生分析求解的关键.

2. 基于教学取向的诊断归因

作为一道常规的代数式求值问题，题目反映出的正确率偏低是不正常的. 分析发现，造成答题正确率异常的原因涉及三个方面：试题特点、教师教学和学生思维.

从试题特点来看，题目主要考查学生运用整体思想求代数式的值. 由于条件中并没有直接给出字母a，b的具体数值，而是给出了a，b两个字母之间存在的数量关系[a+b=3]，需要将代数式[a2+ab+3b]变形后，整体代入求值. 学生能否将代数式[a2+ab+3b]正确变形是求解的关键. 从教师教学来看，教师在代数式的求值教学中，受教材中例题或习题内容特点的影响，只聚焦于代数式的计算或化简，往往忽略对条件的分析引导，尤其是对数学思想方法的渗透. 学生一旦无法将要求的代数式进行正确的恒等变形，就会陷入解题困境. 从学生思维来看，学生之前经历了一定数量的直接代入求值和化简后代入求值的过程，积累了代数式求值的经验，而这种经验仅仅是浅显的计算层面的. 这些求值过程对代数式的变形要求不高，简化运算是求值的主要目的. 当学生遇到给定条件为数量关系时，与之前的求值经验形成认知冲突，短时间内无法破解，思维陷入困境.

基于以上分析，导致题目得分异常的根本原因是教师的教学站位不高，对数学思想方法和数学活动经验的积累重视程度不够，缺乏发掘数学思想方法的意识和策略，导致教学“失位”现象的出现. 学生在遇到新的问题情境时，思维容易受阻，陷入困顿. 数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括. 因此，教师在数学教学中要注重引导学生感悟数学思想，使学生学会数学思考，提高学生的数学思维品质.

三、题目求解

1. 代数式模型视角下的转化思想

对于什么是代数式，教材中没有给出规范的定义，而是采用了“像……这样的式子都是代数式”的定义方式. 一般认为，用基本的运算符号把数、表示数的字母连接起来的式子叫作代数式，单独一个数或一个字母也是代数式. 因此，已知条件[a+b=3]中的[a+b]是一个代数式模型，表达的是a与b的和. 题目可以理解为当代数式[a+b]取值为3时，求代数式[a2+ab+3b]的值. 未知的代数式[a2+ab+3b]也是一个代数式模型，表达的是字母a，b之间相对复杂的数量关系. 显然，运用基本的数学思想方法探寻两个代数式模型之间的关系是求解问题的关键.

转化是分析和解决数学问题的基本策略之一，也是求代数式的值的基本思想方法之一. 用转化思想求代数式的值是指运用数学概念、性质、公式、原理等，把未知代数式转化为可知或已知代数式（分析法），或把已知代数式转化为未知代数式（综合法），最终在未知代数式和已知代数式之间建立联系，从而求得未知代数式的值. 思路如下.

思路1（分析法）：先把[a2+ab+3b]恒等变形为[aa+b+3b]，代入代数式[a+b]的值，得到[3a+3b]. 再次变形为[3a+b]，再代入[a+b]的值计算即可.

思路2（综合法）：由已知代数式[a+b]的值为3，可得[aa+b=3a]，即[a2+ab=3a]. 用[3a]代替要求代数式中的[a2+ab]，得到代数式[3a+3b]，再次变形为[3a+b]，代入[a+b]的值计算即可.

2. 方程模型视角下的消元思想

方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 已知条件[a+b=3]表达的是含未知数的相等关系，可以看成方程模型，也就是关于a，b的二元一次方程模型. 代入消元法是求解二元一次方程组的基本思想方法，具体是指将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程的方法.

用消元的方法求代数式的值，就是用方程模型的观点来审视已知条件，将其中某个字母用含有另一个字母的代数式表示，再代入代数式，消去一个字母，从而实现求代数式的值的方法. 思路如下.

思路3（消元法）：由[a+b=3]，得[b=3-a]. 把[b=3-a]代入所要求值的代数式，得[a2+ab+3b=][a2+a3-a+33-a]. 进一步化简计算即可求得结果.

3. 图形模型视角下的数形结合思想

某些代数式可以用几何图形的方式表达出来. 也就是说，代数式的求值问题可以转化为几何图形的相关计算问题. 由数想形，是一种数形结合意识，是基于数形结合思想的良好思维习惯和行为表征. 数形结合思想是在数学研究的两个基本对象“数”和“形”之间建立联系的基本方法. 数形结合是将数的抽象性、精确性与形的形象性、直观性有效结合，实现“以数解形”和“以形助数”的目的. 用数形结合思想求代数式的值，就是对有关的数或式（已知或未知）进行几何直观解释，用图形表征其几何意义，从而将数式的问题转化为图形的问题，然后再根据图形的性质或直观性求解. 思路如下.

思路4（图形法）：如图1，把代数式[a2+ab+3b]先用图形表示出来，并将图1补成如图2所示的长方形，再用图形面积表示代数式. 如图2，[a2+ab+3b=][3a+3-3a][=3a+9-3a][=9].

四、教学启示

1. 立足概念，在求值体验中感悟数学思想方法

数学思想方法是解决数学问题的核心. 教材中求代数式的值的内容中蕴含丰富的数学思想方法. 教师在教学中应该注意挖掘和渗透. 例如，在学习将字母的取值直接代入代数式求值时，教师要引导学生在计算中体验不同的字母取值会使代数式的值发生哪些变化，当字母取值确定时代数式的值唯一确定，使学生在计算过程中感受数量的变化规律和对应关系，感悟函数模型、函数思想、对应思想. 又如，在题1的教学中，如果教师在引导学生分析条件[5a+3b=-4]时，回顾基本的数学概念，将其看成二元一次方程，那么无法确定字母a，b的取值，这与学生已有的认知经历和计算经验形成冲突，会激发学生积极投入到问题探究活动中；如果看成是“代数式[5a+3b]的值”，就要基于学生固有的思维方式，引发学生思考怎么使用这个代数式的值，探寻求解策略. 最终指向先将要求的代数式化简，再将已知代数式的值整体代入求值，或者运用等式的性质，先对代数式进行恒等变形，整理成可代入的形式，实现求值的目的，让学生感悟整体思想.

2. 精设问题，在模型建构中感悟数学思想方法

求代数式的值是感悟函数思想的良好载体. 在求值中感受数量的变化关系、对应关系，帮助学生体悟函数模型，能为后续函数概念的学习打下坚实基础. 但是这种体验大多源于直接代入的求值运算，一旦条件发生变化，给出的条件无法直接代入或整体代入实现求值目的时，就会陷入困境，此时建构数学模型就显得尤为重要了. 下面从教材七年级下册第九章复习题中撷取一例，谈一谈指向数学思想方法的教学设计与实施.

案例1：已知[a+b2=7]，[a-b2=3]. 求[a2+b2]，[ab]的值.

问题1：已知条件是什么？由已知可以知道什么？未知是什么？你能想到什么？

问题2：两个已知条件之间有什么关系？

问题3：已知条件与所求代数式之间有什么关系？

这道代数式求值问题给出了两个复杂的条件，条件与待求代数式之间的关系不明朗，需要深入思考挖掘已知与未知之间的内在关联. 学生具备的认知和经验仅仅停留在将已知条件直接代入求值，或者将要求的代数式恒等变形后整体代入求值的水平上. 对于一部分学生来说，该问题的求解具有一定的挑战性. 问题1旨在引导学生先弄清题意，分析已知和可知，挖掘已知条件中的潜在信息，尝试将已知与未知建立联系；问题2旨在引导学生尝试在已知条件之间搭建桥梁，同时发挥两个条件的作用；问题3旨在引导学生探究所求代数式与已知条件之间的关系，明确求解路径，制订求解计划.

此题的求解方法具有多样性. 在教学时，教师应该引导学生从代数式模型、方程模型的视角解析题目，建构方程求解，使学生感悟方程思想、整体思想、模型思想，帮助学生学会数学地思考. 从整体上看，两个条件、两个未知，类似于二元一次方程组的求解问题，从方程模型的视角来看条件，可得[a2+2ab+b2=7，a2-2ab+b2=3.] 此时将[a2+b2]，[ab]分别看成一个整体，采用加减消元法求值. 也可以将已知条件变形为[a2+b2=7-2ab]，[a2+b2=][3+][2ab]，以此建立方程模型[7-2ab=3+2ab]，再运用整体思想求得[ab]的值，接下来再求[a2+b2]的值就比较容易了. 当然，也可以引导学生根据两个条件的形式特征建构乘法公式模型，将两个已知条件直接用平方差公式求值，建立方程模型，则有[a+b2-a-b2=][a+b+a-b][a+b-a+b=4]，即[4ab=4]，求得[ab]的值后再完成其他求值即可.

3. 精准选题，在讲题教学中习得数学思想方法

数学思想方法由于其隐形化的特质而不同于一般意义上的数学知识，因此有其特定的教学方法. 教材注重科学性、整体性、过程性、可读性、基础性，尤为注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握. 因此，教材上呈现的代数式求值问题比较简单，占比约为95.2%，其中蕴含的数学思想方法有一定局限性. 这就要求教师适当拓展教学内容，引入一些具有潜在价值的代数式求值类试题，在教学中引导学生经历分析、抽象、建构、感悟、显化等思维活动过程，促使学生习得基本的数学思想方法.

案例2：若[a+1a=3]，则代数式[a2+1a2]的值为 .

此题中蕴含由已知到未知的升幂思想. 把已知条件的左右两边同时平方（升幂），可以将已知条件与未知代数式建立关联，再整体代入求值. 问题的本质是已知代数式[a+b]的值，求代数式[a2+b2]的值. 特殊性在于这里的a与b互为倒数，旨在帮助学生从更高视角审视问题，明晰相应的解题策略和思想方法.

案例3：若[2a-3b=-1]，则代数式[4a2-6ab+3b]的值为（ ）.

（A）[-1] （B）[1]

（C）[2] （D）[3]

由已知条件出发，把[2a-3b=-1]两边都乘[2a]，将已知条件变形为[4a2-6ab=-2a]，整体代入得到[-2a+][3b]，再次变形为[-2a-3b]求值. 意在引导学生感悟方程思想、整体思想、升幂思想、消元思想等. 或者从未知代数式出发，将其恒等变形后，再整体代入求值，让学生感悟降幂思想、整体思想等.

总之，教师在数学教学中应该注重引导学生在数学知识的学习中感悟数学思想方法，增强以数学思想方法指导运算的意识，以数学模型建构的视角审视实际问题，在数学模型生成、生长、应用的过程中感悟数学思想，帮助学生掌握分析和解决问题的方法，提高数学思维品质.

参考文献：

［1］张奠宙，宋乃庆. 数学教育概论（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社，2009.

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［3］张琳. 初中数学思想方法在教学中的渗透［J］. 中学数学教学参考（下旬），2019（6）：19-20.

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