三角形中位线定理的应用策略

策略一：已知两个中点，应用三角形中位线.

在同一个三角形中有两个中点，若两个中点已连接，可直接考虑运用三角形中位线定理；若两个中点未连接，则考虑先连接中点，再运用三角形中位线定理. 当题目中没有出现三角形，但是又出现了两个中点时，可考虑利用辅助线将两个中点放到同一个三角形中，进而使用三角形的中位线定理去求相关线段之间的数量关系或位置关系.

例1 如图1，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别是AC，AD，CE的中点，求证：PM = PN.

思路点拨：如图2，连接CD，AE.

由三角形中位线定理可得PM = [12]CD，PN = [12]AE.

∵△ABD和△BCE是等边三角形，

∴AB = DB，BE = BC，∠ABD = ∠CBE = 60°，

∴∠ABE = ∠DBC，

∴△ABE ≌ △DBC，∴AE = DC，∴PM = PN.

策略二：已知一个中点，利用“角平分线 + 垂直”找另一中点，应用三角形中位线.

利用“角平分线 + 垂直”，可以构造等腰三角形，根据“三线合一”可得中点，通过三角形的中位线定理易求得相关线段的长度.

例2 点M为△ABC的边BC的中点，AB = 12，AC = 18，BD⊥AD于点D，连接DM. （1）如图3，若AD为∠BAC的平分线，则MD = ；（2）如图4，若AD为∠BAC的外角平分线，则MD = .

思路点拨：（1）如图5，延长BD交AC于点E，由BD⊥AD，且AD为∠BAC的平分线，易证△ABE是等腰三角形，则AE = AB = 12，所以EC = AC - AE = 6. 因为MD是△BCE的中位线，所以MD = [12]CE = 3. 故填3.

" " " 图3 图4 图5

（2）如图6，延长BD，CA，交于点E.

由BD⊥AD，AD为∠BAE的平分线，易证△ABE是等腰三角形，则AE = AB = 12，则EC = AC + AE = 30.

由MD是△BCE的中位线，可得MD = [12]CE = 15. 故填15.

变式 如图7，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D为△ABC外一点，使∠DAC = ∠BAC，E为BD的中点. 若∠ABC = 60°，则∠ACE = .

思路点拨：如图8，延长AD，BC，交点为F.

由∠ACB = 90°，∠DAC = ∠BAC，∠ABC = 60°，易证△ABF为等边三角形. 因为EC是△BDF的中位线，所以EC[⫽]DF，所以∠ACE = ∠FAC = 30°." 故填30°.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：10分钟

1. 如图9，在△ABC中，∠ABC = 90°，BA = BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF = 90°，M为AF的中点，求证：[ME=12CF]. （答案见第33页）

难度系数：★★★★ 解题时间：15分钟

2. 如图10，在△ABC中，∠C = 90°，CA = CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE = CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE = 2MN. （答案见第33页）

图9" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "图10

（作者单位：锦州市第四中学）