在“联·通·变”中提升模型意识

【摘" "要】我国古代趣味数学题“鸡兔同笼”是培养学生模型意识的典型内容。北师大版教材五年级上册《尝试与猜测》一课，以“鸡兔同笼”问题为载体，引导学生经历“假设—验证—调整—解决”的问题解决过程，使学生从中体会解决问题的一般策略——假设，并理解列表、画图与列式计算间的内在联系。教师通过前后两次教学实践的深入对比，认识到数学模型具有很强的生长性，这种生长性源于新旧知识和思维方法之间的关“联”，源于不同方法和不同表现形式之间的本质沟“通”，源于以不“变”的数学模型应对万变的数学问题的灵活应用。这种“联·通·变”的教学实践，能够有效提升学生的模型意识，促进他们核心素养的全面发展。

【关键词】鸡兔同笼；模型意识；解决问题

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。”到第三学段（5～6年级），学生模型意识的表现水平应达到能通过现实生活或具体情境抽象出一类数学问题的程度。我国古代趣味数学题“鸡兔同笼”是培养学生模型意识的典型内容。北师大版教材五年级上册《尝试与猜测》一课，以“鸡兔同笼”问题为载体，引导学生经历“假设—验证—调整—解决”的问题解决过程，使学生从中体会解决问题的一般策略——假设，并理解列表、画图与列式计算间的内在联系。学生通过这一课的学习，能理解列式的“渊源”，掌握解决问题的思路与技能，培养建模的关键能力与必备品格，进而感受中华传统数学文化的深远影响。基于此，笔者对《尝试与猜测》一课的教学进行了研磨。下面将展示具体的磨课经历以及这一过程中产生的思考。

一、首次试教

（一）情境导入

教师课件出示题目：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉（鸡）兔各几何？

接着，把题目中的35个头调整为10个头，94条腿调整为28条腿，引导学生从简单的情况入手进行探究。

（二）自主探究

1.任务研究：学会使用假设策略解决问题，采用列表、画图、计算或个人喜欢的方法进行探究。

2.方法反馈与呈现。

（1）画图法。结合图式解读假设策略。

（2）列表法，包括有序列表、跳跃列表、取中列表。引导学生利用列表法讨论假设策略，并对比这三种列表法有什么不同。

（3）列式计算法。

在反馈上述三种方法的基础上，引导学生探讨方法间的联系，得出：解题过程中需要不断进行假设和调整。但无论采用哪种方法，都是在验证过程中逐步确定答案的。

（三）巩固练习（略）

（四）课堂总结（略）

二、对首次试教的思考

经过首次试教，笔者发现部分学生在解决“鸡兔同笼”问题时，数学思维停留在零散、无序状态。那么，教师是否可以引导学生从已有的知识经验出发，逐步将实际问题抽象化，构建相应的数学模型，并对其进行解释和应用呢？基于此，可以从以下两方面深入思考。

思考1：如何构建数学模型进行探究活动

数学模型是用数学符号（数字、字母、图表、符号等）来刻画客观世界中物体间的数量关系和空间形式的模型。构建数学模型是帮助学生深入理解数学与外部世界联系的基本途径。教学过程中，教师应从学生已有的知识经验出发，以任务为导向，对列表法、假设法进行调整与优化，并揭示这些方法的共同原理。

思考2：如何借助模型意识解决“鸡兔同笼”问题

对学生来说，具备有效建构并运用模型意识解决现实问题的能力是非常重要的。因此，在学生初步构建数学模型后，教师要不断将其与现实情境进行结合，让学生通过解决结构相似的实际问题，完善模型结构，强化数学与外部世界的联系，实现从解决单一问题到解决一类问题的转变。

基于以上思考，笔者对本课的教学目标进行了调整。调整后的教学目标如下。

1.通过实践操作活动，理解、掌握并运用列表法、画图法等解决“鸡兔同笼”问题。

2.经历用列表等不同方法解决“鸡兔同笼”问题的全过程，体会运用假设策略解题时方法的多样性，积累数学活动经验。

3.感受古代数学问题的趣味性，体会“鸡兔同笼”问题的数学价值，发展模型意识和推理意识，提高解决问题的能力。

三、改进后的教学

（一）情境导入，理解题意

1.情境导入。

教师利用多媒体课件出示《孙子算经》中的经典题目：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉（鸡）兔各几何。

2.理解题意。

师：你们读懂题目了吗？

生：我读懂了。题目告诉我们鸡和兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94条腿，问鸡和兔各有几只。

3.化繁为简。

为便于探究，可以先从简单的情况入手，故把题目中的35个头调整为10个头，94条腿调整为28条腿。

教师出示探究例题：今有鸡兔同笼，从上面数有10个头，从下面数有28条腿，问鸡有几只，兔有几只。

（二）多元表征，厘清关系

1.自主探究。

教师出示学习任务一：请你们用填一填、画一画、算一算或其他自己喜欢的方法进行自主探究（如图1）。引导学生采用列表、画图、列式计算等多种表征方式进行探究活动。

2.交流讨论。

（1）交流列表法。

师：请大家一起来看看，这几个同学是如何运用列表法来解决问题的。

生：我先假设鸡有1只，兔有9只，发现腿数过多，于是逐步调整。每次增加1只鸡，减少1只兔，直至得到鸡有6只，兔有4只。

生：我采用的方法调整的次数较少。我先假设鸡有9只，兔有1只，发现腿数远少于实际。于是每次增加2只兔，减少2只鸡。当发现总腿数只比实际少2条时，我再增加1只兔，减少1只鸡，从而得到正确答案。

生：我采用了一种更为简洁的方法。我先假设鸡和兔各有5只，发现腿数比实际多了2条，由此想到兔子多了1只，鸡少了1只。因此我将鸡和兔的数量分别调整为6只和4只，验证后发现答案正确。

生：我直接假设全部是鸡，验证后发现腿数比实际少了8条，说明有4只兔被误认成了鸡。而如果把1只兔看成1只鸡，腿数会少2条。所以，需要将实际少的8条腿换到兔身上，得到兔有4只，鸡有6只。

师：这几种列表法有什么相同和不同的地方？

生：他们都是先假设一种答案，然后经过验证和调整，最终得到正确答案。

（2）交流画图法和列式计算法。

师：大家还有没有其他方法来解决这个问题。

生：我先假设全是鸡。经过计算，发现腿数只有20条，与题目中给出的28条相比少了8条，说明要把4只鸡调整为4只兔。由此得到兔有4只，鸡有6只（如图2）。

生：我和他的方法刚好相反。我是先假设全部为兔，发现腿数有40条，与题目中给出的28条相比多了12条，说明要把6只兔调整为6只鸡。由此得到鸡有6只，兔有4只（如图3）。

生：他们都是从“头的数量”出发进行假设的，而我是从“腿的数量”出发进行假设的。我先假设28条腿都是鸡的腿。经过计算，发现有14个头，比题目中给出的10个头多了4个头。这是因为每把1只兔看成1只鸡，就会多出1个头。现在多了4个头，说明有4只兔被错误地看成了鸡，所以兔有4只，鸡有6只（如图4）。

（3）建立方法间的联系。

师：通过刚才的交流讨论，我们不难发现，列表法、画图法和列式计算法之间存在相通之处。

生：这些方法都是先假设，再验证、调整，最后得到正确答案的。

生：这些方法都先进行了尝试与猜测，比较假设的腿数或头数与题目中给出的腿数与头数，得出相差数，再看相差数与每只鸡或兔相差的腿数（头数）之间的关系，对鸡和兔的数量进行调整。

3.解决《孙子算经》中的经典题目。

让学生运用假设的策略解决问题，了解古人的解法。（教学过程略）

（三）变与不变，迁移应用

练习环节，教师借助日常生活中类似“鸡兔同笼”的问题，引导学生运用假设的策略解决问题。具体题目如下。

1.龟鹤共10只，脚共28只，龟有几只？鹤有几只？

2.小明的储蓄罐里有10张面值是2元和5元的人民币，共29元。2元的人民币有几张？5元的人民币有几张？

3.妈妈买了10千克水果，共花了38.8元。已知苹果每千克5元，每千克桃子比每千克苹果便宜1.4元。苹果有几千克？桃子有几千克？

四、课例研究之“感悟与体会”

深入对比前后两次教学实践，改进后的教学注重学习任务的导向作用，引导学生有序展开深入思考。

（一）通过列表法之间的比较，深化对数学模型要素的感知

模型意识的培养是一个循序渐进的过程，不同教学阶段承载的教学目标是有差异的。本节课的教学应注重对列表法的调整与优化，并引导学生深入思考“调整次数的不同是什么原因导致的”，让学生在调整方法的过程中，通过计算、观察发现规律。在纵向上，学生能够发现数量关系“鸡的只数×2+兔的只数×4=总腿数”；在横向上，他们也能发现数量变化规律“当一只鸡换成一只兔，腿数会增加2，反之则减少2”。由此，通过不断调整和优化，促进学生数学思维的发展，培养他们有序思考和择优选择方法的意识，从而深化他们对数学模型要素的感知。

（二）通过对多种方法的比较，体会数学模型的原理

在解决“鸡兔同笼”问题时，除了列表法，学生还尝试采用了画图、列式计算等多种方法。教师要引导学生对这些方法进行对比探究，发现这些方法的共同原理，即“假设—验证—调整—解决”。通过这一过程，学生能够深刻体会虽然解决问题的形式可能多种多样，但解决问题的思路和技能却是相同的。这种对比有助于学生从解决单一问题向解决一类问题转变，初步建立模型意识和推理意识，实现思维的结构化发展。

（三）通过不同情境的比较，感悟数学模型的应用价值

在教学过程中，教师应有序推进建模活动，促进学生思维的进阶和模型意识的提升。在建立模型阶段，让学生亲身经历“尝试—猜测—验证—调整”的过程，从中发现数学规律，通过验证和调整厘清数量关系，感受并建立数学模型。在运用模型阶段，利用情境变化设计结构相似的练习，使学生从一般到特殊、从典型到变式，实现模型的迁移应用。这一过程有助于学生感悟用假设策略解决生活问题的普遍性，从而体会到数学模型的应用价值。

综上所述，数学模型具有很强的生长性，这种生长性源于新旧知识和思维方法之间的关“联”，源于不同方法和不同表现形式之间的本质沟“通”，源于以不“变”的数学模型应对万变的数学问题的灵活应用。这种“联·通·变”的教学实践，能够有效提升学生的模型意识，促进他们核心素养的全面发展。