指向初中数学关键能力的中考特征分析与启示

摘 要 为提高命题质量，进一步发挥考试评价导向作用，深化义务教育教学改革，基于数学关键能力构建评价框架及指标体系，对东、中、西部地区六大省份2023年初中数学学业水平考试试卷进行数学关键能力指标赋能及特征分析。研究发现：六省中考命题对九大数学关键能力考核权重大小分配结构基本一致，且东部地区命题着重综合素养，中部地区命题着重创新改革，西部地区命题着重基础知识。为促进教育公平，依据评价结果从数学观察能力、数学思考能力、数学表达能力三个方面给予中考备考建议。

关 键 词 数学关键能力;初中数学;评价指标;评价体系;初中学业水平考试;中考备考

引用格式 佘诗恬，吴仁芳，夏世娇.指向初中数学关键能力的中考特征分析与启示[J].教学与管理，2024（25）：66-71.

在智能信息时代，具备数学核心素养的学生在未来将具有更强的国际竞争力。初中数学课程具有基础性、综合性、发展性等特点，对培养学生数学核心素养和综合能力至关重要。数学关键能力是数学核心素养的核心部分和外在表现，其培养是促进初中数学核心素养形成的关键。一方面，2019年教育部颁布《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》强调科学命题的重要性，《义务教育课程标准（2022版）》则提出要更新教育评价观念，强化素质导向，注重对正确价值观、必备品格和关键能力的考察，开展综合素质评价[1]，可见考察数学关键能力已成为中考改革的新趋势。另一方面，自2021年以来，为加强命题管理、提高命题质量，我国教育部加快推动中考省级统一命题步伐，中考命题关系到各地对国家教育质量标准的理解与执行，为实现教育高质量发展，推进义务教育更广泛更优质的发展，中考命题应逐步走向省级统一。本研究基于数学关键能力构建评价体系，选取北京、上海、湖南（长沙）、山西、云南、陕西六省2023年数学初中学业水平考试真题卷进行赋能整合，分析东、中、西部地区中考命题特征，以此丰富全国中考命题中数学关键能力的测评实践，并对我国初中数学关键能力培养提出建议。

一、初中数学关键能力评价体系

1.初中数学关键能力的内涵与表现

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称高中课程标准）中提出数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现[2]，初中生数学关键能力无疑也将成为数学义务教育阶段的重点培养目标。随着基础教育综合改革的推进，数学学科教育逐步向素质育人、智慧育人方向转变，其中数学关键能力相较于其他数学核心素养具有更容易量化考核的特征，也是中考命题的重要依据。因此，构建基于数学关键能力的初中生数学学业水平考试评价体系，对于规范数学关键能力考核有重要意义。

关于数学关键能力的组成要素，喻平认为高中课程标准中蕴含了高中生需具备的数学核心素养6种关键能力，从能力角度理解，检测学习质量就应当从这6个关键能力开展[3]。朱立明在构建初中生数学关键能力测评模型时，依据文献和专家咨询最终确定测评三大维度为数学观察能力、数学表达能力和数学思考能力[ 4 ]。《义务教育数学课程标准（2022 年

版）》（以下简称义务教育课程标准）中明确界定我国义务教育阶段数学学科培养的核心素养主要体现在会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界三个方面[5]，并对其中包含的学生核心素养和各个素养的内涵和体现作出具体界定（见表1）。

2.初中生数学关键能力的评价指标

为探究初中学业水平考试对数学关键能力的考察情况，还需要进一步对数学关键能力进行合理科学的层次划分。SOLO理论将学生思维能力水平从低到高，从简单到复杂分为五个水平，分别为：前结构水平、单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平、拓展抽象结构水平[6]。SOLO理论可以全面具体地判断学生答题水平情况，如判断学生能力的掌握情况。在构建数学核心素养知识评价体系框架中，喻平综合考虑布卢姆模型、PISA模型和 SOLO模型，提出以数学核心素养划分的理论概念：知识获取可分为三种形态，知识理解、知识迁移和知识创新[7]。其中知识理解指对知识本身的内涵和知识间逻辑关系的理解，在应用知识的过程中体会数学方法，进一步加深对知识的认知，并逐步形成数学基本技能;知识迁移是指学生把已经理解的知识和形成的基本技能迁移到不同情境之中，促进新知识的学习或在不同情境中解决问题;知识创新是指学生解决非常规的开放性问题，或生成超越教材规定内容的数学知识，将问题概括并转化为新问题的能力。

依据表1初中阶段数学核心素养的内涵及外延，参考喻平与朱立明等人提出的核心素养划分标准，将9大关键能力划分为27个水平等级，构建初中数学关键能力评价指标体系（见表2）。

在初中数学关键能力评价表的基础上，参照义务教育课程标准的9大核心素养，对表2中27项水平指标做详细解释。

A1：能从简单问题中抽象出数学研究对象并用数学符号表达;具备运用基础知识解决数量、几何与代数中的简单问题的能力。

A2：在新的常规化情境中，能抽象出核心概念、基本命题、重要定理、相关事实和结论 ，并有效运用这些要素解决情境问题。

A3：在新情境中能灵活运用概念、定理、命题和方法抽象出数量关系和空间规律性 ;能通过抽象思维提出和分析问题。

G1：能识别基本几何图形，如点、线、面、三角形、 四边形等，并能通过想象与构造利用已有的几何知识解决简单的空间几何问题。

G2：利用几何图形建立数形之间的关系;通过图形与量的关系洞察数学知识之间的内在联系 ;利用几何图形解决一般性的复杂问题。

G3：能利用图形对复杂情境进行深入分析并提出相应数学问题，借助几何直观解决非常规数学问题;用数形结合的思想解决现实问题。

S1：在一般情景中能实现现实实物与对应几何图形的相互转化;能认识和表述简单物体的空间位置信息与运动规律。

S2：在复杂情境中能实现现实实物与对应几何图形的相互转化;表达物体复杂的运动和变化;通过理解图形的运动和变化规律解决问题。

S3：能将感知过的空间模型或实物重现并解决现实问题;能用空间概念对现实世界的空间形式进行观察、分析、理解。

C1：在简单情境中 ，通过已学的数学法则，提出解决问题的策略;完成简单的绘图、作辅助线并解决简单的几何、测量、方案设计问题。

C2：在常规情境下，发现多个数学关系与规律并提出解决问题的多种策略;完成常规的几何、测量、方案设计问题;对设计类问题提出问题解法。

C3：在科学情境中探索并提出有价值的数学问题;能考虑现实意义（如路程最短、效率最高等）进行解题;对实际问题能提出一种以上的解决方案。

O1：掌握包括加、减、乘、除等基本运算法则;能锁定正确运算对象及对应意义;保证简单运算的准确性和熟练度。

O2：能在常规性复杂运算问题中综合运用所学知识，保持清晰的解题思路，逐步求解;根据题目特点选择合适的运算策略和方法。

O3：在掌握基本运算方法的基础上，能灵活运用运算技巧和方法解决非常规运算问题，在运算过程中发现数学规律，总结方法，形成个人解题思路。

R1：理解和应用基本的逻辑推理规则和方法;能用给定的信息证明简单的定理、命题 ;具备思考和表达简单数学问题的能力。

R2：能借助初中常见的推理方式进行探索推理，准确阐述证明过程;在常规性问题中能识别关键信息和问题之间的关联，并选择合适的策略解决问题。

R3：具有批判性思维，能在新的情境中对推理过程不断修正，用数学语言予以表达、分析和证明;能通过逻辑推理解决非常规的问题。

D1：对数据和统计有基本认识;熟悉统计中数据收集、整理、分析的过程，并利用其对数据进行分析和推断;能够使用简单统计信息解决相关问题。

D2：在新的情境下，能运用统计的方法对数据进行整理、分类、分析;运用适当的概率或统计模型来描述规律，并解决相应问题。

D3：对不同的数据结果进行解释和比较;能评估数据的可靠性和有效性，了解误差和偏差可能对结果产生的影响。

M1：能运用基础的数学工具，利用初中常见模型建模解决简单的数学问题。

M2：能在面对优化问题、概率问题、几何问题等实际问题中，运用数学基本知识建立恰当的数学模型解决常规性问题。

M3：能运用数学语言、符号和公式描述情境中的数学关系，发现或提出问题;并通过逻辑推理和数学运算求解模型，解决非常规的问题。

AC1：理解数学的概念、原理和方法，能利用自身的数学知识体系解释现实中的简单规律;能用数学的方法解决简单的现实世界的数量和图形有关的问题。

AC2：在新的现实情境中，能通过问题描述感悟其中一到两个与现实世界中的数量和图形有关的问题并加以解决。

AC3：能将现实世界和数学问题相联系，主动地利用数学知识解释现实生活中的现象和规律，解决现实世界中的复杂问题。

3.关键能力指标权重的分析方法与原则

（1）分析方法

根据中国地理地区划分，我国内地省级行政区可划分为东部地区、中部地区和西部地区，三大地区的数学基础教育水平、数学中考命题方案、考察数学关键能力的情况均有不同。本研究从东、中、西部地区分别选取两个省份（湖南省份以长沙市为代表），共六个省份2023年数学初中学业水平考试真题卷作为原始数据，根据初中生数学关键能力的评价体系表与各水平具体内涵，采用分值标记法对各关键能力水平指标赋值。基于中考命题的综合性和各省份命题特点的地域性，为保证赋值过程的科学严谨，规定赋值过程遵守一定原则。

（2）分析原则

①考核同一能力选取最高水平

数学关键能力水平划分过程中遵循由低到高的准则，各关键能力水平具备一定的包含关系，后一水平包含前一水平的内涵要求，当题目涉及同一能力的不同水平考核时，只选取最高水平作为赋值参考。

②考核同一试题限定数量和比重

初中学业水平考试需注重试题综合性，注重考查基础知识、基本技能、思维过程、创新意识和分析与解决问题的能力。因此初中学业水平考试需注重试题综合性，在试题中易出现考核多种数学关键能力的情况，为体现各能力的权重关系，也为保证赋值过程的完整性，在赋值过程中遵守从重到轻的原则，对题目中考察占比过少的数学关键能力不进行赋值，优先标记其他重点考核能力。同时为方便数据统计，赋值分数最小单位为0.5分。

③赋值过程采用“分—合”的方式

赋值由三位作者与数学教育相关的研究生共同完成，采用“分—合”的赋值方式，先由第一作者对六省试题进行第一次赋值，依据第一次赋值结果与第二第三作者逐题核对调整赋值，最后参考数学教育相关研究生的意见探讨出统一结论，得到最终赋值结果。

以下为赋值例题（2023年北京市数学中考真题卷第21题）参考：

对联是中华传统文化的瑰宝。对联装裱后，如图1所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边。一般情况下，天头长与地头长的比是6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的。某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm。若要求装裱后的长是宽的4倍，求边的宽和天头长。（书法作品选自《启功法书》）

本题考查了一元一次方程的应用，以中华传统文化为背景，需要考生依据问题描述感悟现实情境中的数量与图形关系，考查了应用意识AC2（1分）。同时需要抽象出新情境中的相关定理和方法，应用相关命题抽象出数量关系与空间规律，考查了抽象能力A3（2分），再依据抽象出的对象建立数学模型并解出具体答案，考查了模型观念M2（2分）和运算能力O2（1分）。

二、六省中考试卷关键能力特征分析

依据上述赋值方法和原则，对北京、上海、长沙、山西、陕西和云南六省2023年学业水平考试数学试卷赋值，因各省总分不一致，赋值结果按照权重=（分数/试卷总分）×100%的公式换算权重标准化赋值，为方便统计运算过程中所有数据取小数点后一位进行记录，最终得到数学关键能力权重汇总表（见表3）。

1.整体数据直观分析

由图2、表3可知，六省在中考卷命题以素养立意为核心，考察数学思维，突显数学学科特点。在考察基础知识基础技能的同时充分融合考察九大数学关键能力。图3所示，各省对抽象能力、运算能力、推理能力和几何直观的考核权重最大，运算是解决数学问题的基本工具。在2023年六省的初中学业水平考试数学科真题卷 （以下简称六省中考卷）以代数式、方程的变换、统计量、几何图形角度和边长的计算等形式考核学生运算能力;抽象能力和推理能力权重二者在数学问题的发现和探索中具有不可或缺的作用。数学抽象能力在中考卷中主要体现在数感、量感和符号意识的进一步感知;推理能力作为数学学科的本质特征，在中考卷中则主要以逻辑推理和命题证明的形式考核。

空间概念和几何直观在义务教育课程标准中是贯穿义务教育各学段的两个数学关键能力，两者与高中阶段的直观想象有内在关联，在表现特征上体现出发展性[8]。几何直观有利于帮助学生构建抽象概念的关联桥梁，推进学生发展几何推理能力，在中考卷中，各省均倾向于借助几何内容综合考核学生数学思维，此外还设置几何压轴题，综合性地考察学生对几何推理和空间想象能力。

应用意识、模型意识、数据观念在初中阶段的要求相较于其他能力比较简单，在中考卷中也仅考核简单的应用和模型意识;数据观念的考核相较于“意识”的要求更进一步，主要集中在对统计相关的统计量计算和统计图绘制考核，要求学生对统计的概念和基本特征有所掌握。

2.各地区数学关键能力考核特点

（1）东部地区

以北京、上海为代表的东部地区经济发达，教育资源丰富，学生基础普遍较好，在此基础上东部地区在中考命题上着重学生综合素质和创新能力的考察，试题中增加了一些具有挑战性和创新性和开放性的题目，从选拔“会做题的学生”到选拔“有能力的学生”。东部地区命题尤其在主观题中综合性较强，如北京卷第25题，从实际情境中抽象出用水量、总用水量等数学对象，并进一步抽象出函数关系，考查学生“用数学的眼光观察现实世界”的能力。东部地区命题关注能力导向，充分体现数学学科育人价值，强调生活化问题的解决。引导学生将数学与现实世界相连，如上海卷第22题以加油卡销售为情境背景，突破传统命题思路，整体难度中等，考查“用数学的思维思考现实世界” 的能力，该题目或成为未来中考命题趋势，即将数学对象和数学问题隐藏在现实情境之中。

（2）中部地区

以长沙（湖南）、山西为代表的中部地区水平相对均衡，教育资源相比东部地区有些许差距，近两年随着经济的发展，中部地区响应国家教育政策展开了一系列基础教育改革措施，在中考命题中逐步走向个性化和多元化发展，注重对基础知识和基础技能的考察的同时，融合对关键能力的考核，体现对学生个性化发展的关注。长沙作为第二批基础教育改革试验区，以完善基础教育综合评价体系为目标，为坚持素养育人，在中考中设立新题型，如长沙卷第25题为函数新定义题型，对学生的思维能力、创新能力、实践能力有进一步要求。山西中考命题更是提出以“一核六维四手段”为命题理论体系，意在减少机械记忆试题，提高探索性、开放性、综合性试题考核比例，从而落实“双减”政策，实现立德树人的教育改革目标。如山西卷第22题，以摆放旋转几何图形为主，考察旋转、全等三角形判定、三角函数等基础知识，通过现实情境背景和问题中蕴含的思想层层递进，给学生提供了发散思维的空间。

（3）西部地区

以陕西、云南为代表的西部地区教育资源相对东、中部地区较为匮乏，学生基础普遍较弱，因此西部地区中考命题更加注重对基础知识和技能的考察，适当降低题目难度，确保学生顺利完成考试。如云南卷第18题，针对基础几何问题考查学生对于三角形相似、线段关系等基本公理的应用能力。在西部地区的教育特点与需求下，命题也适时增加了一部分与现实生活紧密相关的题目，以考察学生对知识的实际应用能力。如陕西卷第7题，其内容结合陕西饮食文化与几何知识，贴合课程标准中对弘扬优秀传统文化的要求，并且结合学生认知水平和生活经验来设计生活情境。

三、指向初中数学关键能力的中考备考建议

中共中央、国务院印发的《关于深化教育教学改革 全面提高义务教育质量的意见》中指出：坚持全面发展，为学生终生发展奠基，从考察“一时能记住的知识”转向“一生能带走的能力”。因此在备考过程中，学生应以基础知识为本，回归课本，体悟知识的本质，教师应引导学生全方位体会数学学科的魅力，从而落实核心素养的培育。

1.培育数学观察能力，用数学眼光考量世界

数学观察是一种主动、积极的思维活动，在观察过程中，学生需要根据观察到的数学特征或现象进行分析、抽象、比较、概括，以此确认被观察事物的性质和关系。以六省命题结构为参考，通过以下途径在教学过程中培养数学观察能力。其一，培育观察意识，从熟悉生活情境中观察并感知问题，引发学生认知冲突，加强学生“用数学”的意识。其二，激发观察兴趣。教师在教学过程中有意识地向学生设计数学观察发现数学原理和概念的例子，并设置趣味性环节，使学生在一种轻松的环境下感受观察过程，对数学观察产生兴趣。其三，应用观察方法。教师在教学过程中循序渐进地引导学生提出问题，观察过程一环扣一环，既要观察到表面的、明显的特点，也要观察到隐藏的、未知的信息。

2.培育数学思考能力，用数学思维理解世界

初中数学思考能力主要集中在运算能力和推理能力的培养，初中生思维能力的高低，是推动数学教育高质量发展的关键。在教学过程中，教师需有意识地培养学生良好的运算习惯，在解题过程中应当清晰写出每一步计算步骤，确保推理严谨性。一方面，在运算过程中，学生需要不断梳理思路，运用数学概念和法则，使得运算技巧与逻辑思维、推理能力等有效整合。另一方面，教师可通过小组学习或项目式学习的方式，引导学生主动思考，合作交流。这种互动性学习可以有效弱化不同学生思维能力差距，让大部分学生都能在学习过程中进行思维碰撞，实现能力的提升。

3.培育数学表达能力，用数学语言描述世界

数学表达能力在学生培养数学关键能力的过程中占据着重要地位，课标要求初中生要会用数学语言表达现实世界。在各省中考命题卷中，考题大量结合实际生活，将数学问题隐藏在生活情境中，意在考察学生数据观念、模型观念和应用意识的能力。教师在教学过程可融入“沉浸式”教学，让学生自行感悟统计、模型的特点。例如给予学生统计图表，让学生自行观察和发现图表中蕴含的信息;同时要创设合适的生活化情境，让学生在已有的知识基础上自己提出问题、分析问题、解决问题，尝试建立数学模型。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育课程方案（2022年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：14.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2018：4.

[3] 喻平.数学关键能力测验试题编制：理论与方法[J].数学通报，2019， 58（12）：1-7.

[4] 朱立明.初中生数学关键能力测评模型构建研究 [J].唐山师范学院学报，2021，43（04）：139-145.

[5] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022 年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：5-11.

[6] JOHN B，KEVIN C.Towards a model of school-based curriculum development and assessment using the SOLO taxonomy [J].Australian Journal of Education，1989，33（02）：151-163.

[7] 喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017，26 （02）：19-23+59.

[8] 鲍建生，章建跃. 数学核心素养在初中阶段的主要表现之四：空间观念[J].中国数学教育，2022（17）：3-8.

【责任编辑 王泽华】

*该文为湖南省自然科学基金面上项目“图中单调性拓扑指数极值问题的研究”（2018JJ2249）、湖南省教育厅教改项目“新课标下数学学习力形成的机制研究”（HNJG-2024-0522）的研究成果

T：通讯作者