幂级数收敛半径的求解探讨

摘要：本文通过三个例子表明比式审敛法或根式审敛法是幂级数收敛半径计算的一个充分性条件，但非必要条件，在应用上有很大的局限性.综合使用比较判别法、逐项求导逐项积分不改变幂级数的敛散性、上极限计算以及柯西-阿达马定理等结论，可处理任意幂级数收敛半径的计算.

关键词：幂级数；收敛半径；上极限

高等数学作为大学数学的一门基础性学科，其有着高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，因此我们要通过对高等数学的学习，不断培养学生的创新思维、数学素养、独立思考问题和解决问题的能力［1］.

在高等数学中，有一类结构相对简单、应用非常广泛的函数项级数——幂级数［2］.对于幂级数的研究主要讨论其和函数的分析性质，以及将函数展成幂级数的条件和展开式，而本文主要讨论求幂级数的收敛半径和收敛域问题.在教材和教学活动中，侧重于介绍利用各种公式求解幂级数的收敛半径.无论是缺项的幂级数还是不缺项的幂级数，求收敛半径的本质主要是基于阿贝尔定理和正项级数的根式审敛法或者比式审敛法.本文从精选的几道例题出发，阐述常用的审敛法的局限性以及对应的解决思路.

1 求幂级数收敛半径的主要方法

2 应用举例

3 问题的延伸

结语

本文探讨的几个幂级数收敛半径的计算，是对常规计算方法（比式审敛法或根式审敛法）的一个有益补充，希望可以帮助工科学生更好地掌握这部分知识，培养同学们数学思维的严谨性，激发学生学习数学的兴趣。

参考文献：

［1］刘洋.幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨——如何培养学生的创新思维［J］.数理化解题研究，2020，6：12-13.

［2］杨婷梅，龙能.“数学分析”课程中幂级数收敛性问题求解的探讨［J］.理科爱好者，2021，28：9-10.

［3］华东师范大学数学科学学院.数学分析［M］.第5版.北京：高等教育出版社，2019.

［4］同济大学数学系．高等数学［M］．第7版．北京：高等教育出版社，2018.

［5］谢惠民，恽自求，易法槐，等.数学分析习题课讲义［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2018.

［6］寇冰煜，毛磊，张燕，等.幂级数收敛半径的计算［J］.高师理科学刊，2021，41（3）：71-73.

［7］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.第3版.北京：高等教育出版社，2018.

［8］彭娟，范周田，杨蓉.关于幂级数收敛半径求法的注记［J］.大学数学，2019，35（2）：106-109.

［9］李占勇.Cauchy-Hadamard定理中关于“幂级数收敛半径确定”充分性的分析［J］.喀什大学学报，2020，41（6）：17-20.

项目资助：山西省高等学校教学改革创新项目（J20220617，J20230715）；中北大学2023年课程思政专项研究项目

作者简介：赵东霞（1981—），女，汉族，山西晋城人，博士，副教授，硕士生导师，研究方向：分布参数系统控制理论及应用。