融合多策略改进的灰狼优化算法

摘 "要：求解复杂优化问题时，灰狼优化算法存在收敛速度慢、容易陷入局部极值的缺点。针对此问题，提出了一种融合多策略改进的灰狼优化算法。首先采用混沌序列产生在解空间均匀分布的初始种群；然后结合精英反向学习机制进行最优解的搜索，引入收敛停滞监测策略，提升算法整体抗停滞能力，保持种群多样性；最后提出一种收敛因子非线性动态调整策略，提高算法的全局收敛速度和稳定性。对10个经典高维测试函数进行仿真实验，结果表明，改进算法能有效摆脱局部极值点，其全局优化性能优于标准灰狼优化算法。

关键词：灰狼优化算法；单纯形法；优化；收敛因子

中图分类号：TP391.9 " " " " " " " " " " " " " 文献标识码：A 文章编号：1008-5483（2024）02-0064-07

Grey Wolf Optimization Algorithm with Multiple Strategy Improvements

Zhang Rongxin， Li Xuetao

（School of Economics and Management， Hubei University of Automotive Technology， Shiyan 442002， China）

Abstract： When solving complex optimization problems， the grey wolf optimization algorithm has the disadvantages of slow convergence speed and easy falling into local extremes. To address these issues， a grey wolf optimization algorithm that integrated multiple strategy improvements was proposed. Firstly， a chaotic sequence was used to generate an initial population that was uniformly distributed in the solution space. Then， combined with the elite reverse learning mechanism， the optimal solution was searched， and a convergence stagnation monitoring strategy was introduced to improve the overall anti-stagnation ability of the algorithm and maintain population diversity. Finally， a non-linear dynamic adjustment strategy for convergence factors was proposed to improve the global convergence speed and stability of the algorithm， and simulation experiments were conducted on 10 classic high-dimensional test functions. The experimental results show that the improved algorithm can effectively eliminate local extreme points， and its global optimization performance is better than the standard grey wolf optimization algorithm.

Key words： grey wolf optimization algorithm; simplex method; optimization; convergence factor

GWO（grey wolf optimization）算法通过狼群跟踪、包围、追捕、攻击猎物等过程实现优化搜索目的［1］，具有原理简单、易于实现、调整参数少等优点，己成功应用到车间调度、参数优化、图像分类、K-均值聚类优化等领域中［2］。GWO算法和其他智能优化算法一样，求解高维和复杂的优化问题时，存在着探索和开发能力难以协调、后期收敛速度慢、求解精度低等缺点。针对GWO算法存在的不足，文献［3］引入佳点集方法初始化灰狼种群、设计基于正切三角函数描述的非线性控制参数策略和修改的位置更新方程，提出一种协调探索和开发能力的GWO算法；文献［4］将动态进化种群技术嵌入到标准GWO算法中，以加强全局探索能力；龙文等人利用混沌方法产生初始个体，对当前最优个体使用Powell算法进行局部搜索，提升了全局搜索能力［5］；周蓉等人利用反向学习来初始化种群，并结合变异算子对灰狼算法进行了改进［6］；Zhu等人利用DE算法的全局搜索能力，在一定程度上增强了灰狼算法的全局搜索能力；文献［7］结合混沌初始化、精英反向学习和混沌扰动，提出了一种混合GWO算法，用于处理高维优化问题；文献［8］提出了一种用对数函数描述收敛因子的GWO算法，平衡了算法的局部开发和全局搜索能力。上述改进算法在求解函数优化方面取得了一定的效果，但仍有改进空间。为进一步提升GWO算法求解能力，避免出现早熟收敛缺陷，文中通过协调全局探索和局部开发能力，设计了融合多种策略IGWO算法。

1 GWO算法

GWO算法是模拟灰狼群体的等级行为和捕猎行为而设计的一种新型群体智能优化算法。每个灰狼表示一个潜在解，狼群分4个等级：领导狼群的[α]是当前最好解，次优解为[β]，第三解为[δ]，第四等级的灰狼用[ω]表示。按照上述等级的划分，灰狼[α]对[β]、[δ]和[ω]有绝对的支配权，[δ]服从[α]和[β]，灰狼[ω]等级最低，灰狼群的猎食行为主要由灰狼[α]、[β]和[δ]进行引导和指示，灰狼狩猎主要分为追踪、接近猎物、包围猎物、攻击猎物。

设灰狼种群大小为[N]，在[d]维空间，灰狼[i]当前位置为[Xi（xi，1，xi，2，…，xi，d）]，则灰狼[i]在灰狼[α]引导下的下一个位置[Xαi（xαi，1，xαi，2，…，xαi，d）]计算公式为

[xαi，k=xα，k-A1Dα，k， " A1=2ar1-αDα，k=C1xα，k-xi，k， " C1=2r2] （1）

式中：[Xαi，k]为[Xαi]的第[k]个分量；[a]为收敛因子，从2递减至0；[r1]和[r2]均为（0，1）间的随机数。

灰狼[i]在灰狼[β]或[δ]引导下的下一个位置计算公式同上。综上所述，灰狼[i]在灰狼[α]、[β]、[δ]同时引导下的下一个位置计算公式为

[xi，k=xαi，k+xβi，k+xδi，k3] （2）

2 IGWO算法

GWO算法存在如下缺陷：1）种群多样性差，这是因为随机初始化生成初始种群的方式无法保证较好的种群多样性；2）后期收敛速度慢，主要是由搜索机制造成；3）易陷入局部最优，这是因为头狼不一定是全局最优点，在迭代中不断逼近前3匹狼，导致陷入局部最优解。当前对GWO算法的改进主要体现在全局和局部搜索性能的优化上，如增加灰狼种群的多样性、改进搜索机制、改进控制参数、开发高效的混合算法。

IGWO算法从3个方面进行改进：1）采用混沌映射的种群初始化方法，提升初始种群的质量和多样性，加快算法的全局收敛速度；2）为进一步使算法跳出局部最优，引入收敛停滞监测，对种群中较差个体执行趋优反向学习操作，扩大搜索区域，或者借助随机扰动机制对全局最优位置进行调整，以保持种群的多样性；3）控制参数线性递减策略很难适应搜索实际情况，通过参数非线性动态调整策略，合理调控算法的全局搜索和局部开发能力。

2.1 混沌映射初始化种群

种群初始化方式对种群多样性及算法稳定性有一定影响，GWO算法的随机初始化只能保证初始种群位置有一定的分散度，不能保证分布均匀。混沌序列具有较好的遍历性和随机性，混沌映射能够产生［0，1］分布较均匀的随机数，使初始种群尽可能地利用解空间的信息。采用Skew Tent映射产生混沌序列来进行种群初始化：

[xt+1=xt φ-1， " 0lt;xtlt;φ（1-xt）（1-φ）-1， " φlt;xtlt;10≤t≤tmax] （3）

式中：t为迭代次数。[φ∈（0，1）]且[x∈[0，1]]时，处于混沌状态。具体步骤如下：1）令t为0，随机初始化产生种群[（X1，X2，…，XN）]：

[Xi=（x1，x2，…，xd）， " i=1，2，…，N] （4）

2）产生随机数[φ∈（0，1）]，按照式（3）更新种群中个体变量[xij]。3）如果[t小于tmax]，重复2）。4）如果[t等于tmax]，则

[xi， j=xmin， j+xk， j（xmax， j-xmin， j）] （5）

将个体变量映射到解空间，得到初始化种群，如图1所示，可以看出，经过一定迭代次数的混沌映射计算后，种群分布更加均匀，当迭代次数为100左右时，种群分布最好。种群初始位置的分散程度决定种群的多样性，在一定程度上影响算法的搜索速度和寻优精度，好的初始种群能有效避免在进化初期就陷入局部解。

2.2 非线性收敛因子策略

GWO算法在进化过程中存在全局和局部搜索，较强的全局搜索能力能保证种群的多样性，而较强的局部搜索能力可保证算法进行精确搜索，只有将二者协调好，才能降低算法陷入局部最优的概率，提高收敛性能。由式（1）可知，当[A大于1]时，灰狼群体会扩大搜索范围寻找猎物，对应全局搜索；当[A小于1]时，灰狼群体倾向于收缩搜索范围攻击猎物，即进行局部搜索。因此[A]决定算法的全局和局部搜索能力，而[A]随着[a]的变化而变化。在GWO算法中，[a]随着迭代次数的增加从2线性递减到0，但灰狼群体的变化在算法收敛过程中不是线性的，线性递减的收敛因子不能完全体现实际的优化搜索过程，[a]在迭代过程中以相同的速率减小，无法较好地兼顾全局搜索和局部搜索，因此设计一种非线性递减的收敛因子。在迭代初期，[a]以较小速率减小，保持[A]有较大值，利于算法大范围搜索；在后期[a]减小较快，使[A]有较长时间保持较小的值，保证算法进行更加精细的搜索，提升收敛精度。非线性递减收敛因子的计算公式为

[a（t）=ainitial+（afinal-ainitial）×1-ttmaxk1k2] （6）

式中：[ainitial]和[afinal]为[a]初始值和最终值，[ainitial]取2，[afinal]取0。以[tmax]=500为例，[k1]和[k2]分别取不同值时，[a]的变化曲线如图2所示，可以看出，迭代开始时，[a]下降缓慢，到进化中期[a]下降速度较快，然后在末期平缓下降。通过这种方式能更好地控制优化搜索过程，在全局和局部搜索能力之间进行有力协调，调整[k1]和[k2]可以控制曲线变化趋势。

2.3 反向学习策略

将混合最佳和最差个体的反向学习策略引入到GWO算法。为进一步降低变异策略中由于最佳个体的引导导致算法陷入局部最优解的可能性，在每次迭代生成的新种群中选择部分较差个体并执行趋优反向学习策略，提高种群质量的同时扩大算法的搜索区域，弥补算法全局勘探能力的不足。

考虑到仍有部分个体在反向学习之后质量有所降低，通过综合评价当前解和反向解以选择一个更优解，反向解的计算公式为

[xi， j=（xlj+xuj）-xi， j] （7）

式中：[xlj]和[xuj]分别为第[j]维分量的下界和上界。文中只针对迭代过程中收敛停滞的个体进行反向学习，灰狼个体收敛停滞的判断的方法如下：1）当个体极值连续若干代没有改进，则认为个体已经处于暂时停滞状态；2）若狼群的全局极值连续若干代没有变化，则认为算法已陷入局部最优，出现了早熟。当个体进化停滞或种群陷入局部最优后，通过反向学习的方式进行干扰，增加个体多样性，跳出局部最优解。为了使算法能继续寻优并且跳出局部极值的约束，提出的收敛停滞监测方案。设[fc]为算法[t]次与（[t-3]）次迭代的适应度差值：

[fc（t）=fxt-fxt-3t=4，5，…，tmax] （8）

然后设置适应度监测因子[gmin]：

[gmin（t）=0.05exp-10（t-3）tmax] （9）

最后比较[fc（t）]与[gmin（t）]的大小，如果[fct]小于[gmin（t）]，视为算法收敛停滞，利用式（7）对停滞个体进行反向学习。

2.4 IGWO算法及复杂度分析

IGWO算法流程如图3所示。1）设置算法的主要参数[N]、[d]、[tmax]、[ainitial]、[afinal]、[k1]、[k2]，确定决策变量的上限和下限：

[u=（u1，u2，…，ud）， " l=（l1，l2，…，ld）] （10）

随机生成初始[a]、[A]和[C]等参数。2）在搜索空间中按照混沌映射方法初始化种群，令[t为0]。3）计算种群[Pt]中所有灰狼个体适应度并排序，选择前3个适应度最高的灰狼个体[Xα]，[Xβ]，[Xδ]，利用式（1）和式（5）更新其他灰狼个体的位置。4）根据式（6）计算[a]，再利用式（1）更新A和C。5）计算所有灰狼个体适应度并排序，按照反向学习策略进行个体更新和搜索，若新解更优，将更优解保存到种群中，以一定概率排除原种群中较差的解，保持[N]不变。6）判断算法终止条件，若[t小于tmax]，令[t等于（t+1）]，返回3），否则算法终止，输出最优个体[Xα]，即最优解。

初始化种群的时间复杂度为[O（N·d）]，算法的时间复杂度为[O（N·d·tmax）]。进化过程中需要2次计算适应度，计算的时间复杂度为[O（2N·lgN·tmax）]，考虑到最差情况，所有个体均需反向学习，总时间复杂度为［[O（N·d·（2tmax+1））+O（2N·lgN·tmax）]］，和其他智能优化算法相比，计算开销有所增加。

3 实验仿真

3.1 测试函数与参数设置

选取10个标准测试函数，分别是Sphere（f1）、Schwefel2.22（f2）、Schwefel2.21（f3）、Penalized1（f4）、Rosenbrock（f5）、Step（f6）、Quartic（f7）、Rastrigin（f8）、Ackley（f9）、Griewank（f10），理论最优解均为0，这些函数既有单峰函数也有多峰函数，在不同搜索空间有不同特性，能充分测试算法性能。将IGWO算法与CS算法、PSO算法、DE算法、基本GWO算法进行性能对比，设置函数的变量维度为30，取值范围为［-100，100］，N为40，[tmax]为500，[a]初始值为2，[k1]和[k2]分别取0.5和1.5，其他参数设置见表1。

3.2 实验结果与分析

采用Python进行仿真实验，对同一测试函数，每种算法独立运行20次，对比结果如表2所示。从表2可以看出：IGWO算法表现良好，具有更高的收敛精度，其中对函数f1和f5均收敛到了0，对其他函数的求解结果也接近于0，证明了IGWO算法良好的优化求解能力；而且标准差也非常小，说明具有较强的鲁棒性。CS算法与PSO算法在求解高维函数优化时的寻优成功率较低，且求解精度也差一些，DE算法和GWO算法相对较高，但和IGWO算法总体比较起来，成功率和稳定性略差一些。函数f1～f4仿真结果的收敛曲线如图4所示，可以看出，CS算法与PSO算法进化后期收敛曲线不再下降，很快陷入局部解，而IGWO算法的收敛速度更快，能较好地跳出局部最优值，收敛精度也明显提高。从上述仿真结果可以看出：IGWO算法能快速收敛于全局最优解或近似最优解，收敛也比较稳定，能很好地跳出局部最优，说明了真有效性。

3.3 Wilcoxon秩和检验

使用Wilcoxon秩和检验方法来检验IGWO算法和其他算法的运行结果是否有显著性差别，结果如表3所示。设显著性水平[为0.05]，当[p大于0.05]时，算法的运行结果没有显著差异，否则认为差异显著。检验结果表明，IGWO算法在收敛速度、求解精度和鲁棒性上都有明显提升。

3.4 工程实际应用

工程实际问题为压力容器设计，优化目的是使生产成本最小化，涉及4个需要优化的变量，分别具有线性或非线性不等式约束，数学模型如下：

[minf（x）=0.6624x1x3x4+1.7781x1x23+ " " " " " " " " " " "3.1661x21x4+19.84x21x3s.t. g1（x）=0.0193x2-x1≤0 " " " g2（x）=0.00954x3-x2≤0 " " " g3（x）=-πx23x4-4πx33 "3+1 296 000≤0 " " " g4（x）=x4-240≤0 " " " x1， x2∈0，100; x3， x4∈10，200] （11）

式中：[x1]为壳体厚度；[x2]为半球形部分的厚度；[x3]和[x4]分别为内半径和圆柱零件的长度。

参考实验仿真参数设置，与其他算法的求解结果进行对比。种群规模为40，进化代数设为80，每种算法独立运行30次后，记录相应的最优解，结果如表4所示。由表4可知，针对低维度优化问题，各算法在寻优结果上较相似，但IGWO算法能在寻优精度上更进一步。从图5也可以看出，在其他算法接近收敛的时候，IGWO算法曲线仍然在下降，表现出局部搜索的优势。

3.5 消融实验

对上述10个标准测试函数进行消融实验，设计了6种不同的组合方式。组合1～3采用单独的改进策略，分别为混沌映射、非线性收敛因子、反向学习；组合4～5采用2种改进策略，分别是混沌映射+非线性收敛因子、混沌映射+反向学习；组合6采用3种改进策略，即文中算法。实验结果如表5所示，大多数情况下算法的求解精度保持不变或略有提升，组合3的效果较好，求解精度有显著提升，证明了IGWO算法的有效性。

4 结论

GWO算法在求解复杂优化问题时，会陷入局部最优，算法收敛性降低。文中IGWO算法在迭代进化计算的过程中引入收敛停滞的监测机制，检测到陷入局部最优时，对陷入停滞的个体进行位置重新更新，采用反向学习策略替代传统变异方式，同时设置了邻域大小和缩放因子的动态更新机制，合理调控算法的全局搜索和局部开发能力，增加了种群多样性，有利于种群跳出局部最优解，提高了算法的收敛精度。在种群初始化时引入混沌映射，使个体分布更加均匀，利于进化过程的进行，在计算代价增加不大的情况下，较大程度提升了算法全局优化能力，仿真对比实验也表明IGWO算法的求解质量更好。

参考文献：

［1］ "王秋萍，王梦娜，王晓峰. 改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法［J］. 计算机工程与应用，2019，55（21）：60-65.

［2］ "张晓凤，王秀英. 灰狼优化算法研究综述［J］. 计算机科学，2019，46（3）：30-38.

［3］ "郭振洲，刘然，拱长青，等. 基于灰狼算法的改进研究［J］. 计算机应用研究，2017，34（12）：3603-3606.

［4］ "魏政磊，赵辉，韩邦杰，等. 具有自适应搜索策略的灰狼优化算法［J］. 计算机科学，2017，44（3）：259-263.

［5］ "龙文，伍铁斌. 协调探索和开发能力的改进灰狼优化算法［J］. 控制与决策，2017，32（10）：1749-1757.

［6］ "周蓉，李俊，王浩. 基于灰狼优化的反向学习粒子群算法［J］. 计算机工程与应用，2020，56（7）：48-56.

［7］ "魏政磊，赵辉，李牧东，等. 控制参数值非线性调整策略的灰狼优化算法［J］. 空军工程大学学报（自然科学版），2016，17（3）：68-72.

［8］ "Daniel E. Optimum Wavelet-based Homomorphic Medical Image Fusion Using Hybrid Genetic–Grey Wolf Optimization Algorithm［J］. IEEE Sensors Journal，2018，18（16）：6804-6811.

［9］ "龙文，蔡绍洪，焦建军，等. 求解高维优化问题的混合灰狼优化算法［J］. 控制与决策，2016，31（11）：1991-1997.

［10］ "龙文，赵东泉，徐松金. 求解约束优化问题的改进灰狼优化算法［J］. 计算机应用，2015，35（9）：2590-2595.

［11］ "李雅丽，王淑琴，陈倩茹，等. 若干新型群智能优化算法的对比研究［J］. 计算机工程与应用，2020，56（22）：1-12.

［12］ "刘成汉，何庆，杜逆索，等. 基于双权重因子的改进鲶鱼效应灰狼优化算法［J］. 小型微型计算机系统，2022，43（2）：320-327.

［13］ "Jeyabalan I. Grey Wolf Optimization Algorithm Based Weight Selection for Tuning H-Infinity Loop Shaping Controller in Application to A Benchmark Multivariable System with Transmission Zero［J］.2021，23（1）：103-114

［14］ "李真，王帆，王冉珺. 一种结合灰狼算法的粒子群优化算法［J］. 计算机测量与控制，2021，29（10）：217-222.

［15］ "王敏，唐明珠. 一种新型非线性收敛因子的灰狼优化算法［J］. 计算机应用研究，2016，33（12）：3648-3653.