具有双线性发生率的SEIR模型的Hopf分支分析

摘 要：讨论具有双线性发生率的SEIR模型的Hopf分支，首先通过计算得到模型的基本再生数和疾病持续存在的地方病平衡点；将系统线性化，选取适当的参数，利用中心流形定理和规范型证明在地方病平衡点处存在生Hopf分支，并得到相应Hopf分支产生的充分条件；当第一Lyapunov系数时，在地方病平衡点附近有超临界的Hopf分支产生。

关键词：基本再生数 Hopf分支 中心流形定理 双线性发生率

中图分类号：O175.13 文献标识码：A

Analysis of the Hopf Bifurcation of the SEIR Model with the Bilinear Incidence Rate

DOU Zhongli

Chongqing Finance and Economics College， Chongqing， 401320 China

Abstract： This paper discusses the Hopf bifurcation of the SEIR model with the bilinear incidence rate. Firstly， it obtains the basic reproductive number of the model and an endemic equilibrium point of disease persistence by calculating. Then， it linearizes the system， selects appropriate parameters， proves the existence of the Hopf bifurcation at the endemic equilibrium point by the central manifold theorem and the normal form， and obtains sufficient conditions for the generation of the corresponding Hopf bifurcation. When the first Lyapunov coefficient ， there is the supercritical Hopf bifurcation near the endemic equilibrium point.

Key Words： Basic reproductive number; Hopf bifurcation; Central manifold theorem; Bilinear incidence rate

传染病严重威胁着人类的生存与健康，如2019年爆发的新冠肺炎不仅影响人类的生命健康安全而且对国民经济造成不可估计的损失，因此建立传染病模型分析传染病的发病机理和流行规律已成为研究重要问题[1]。周会娟、兰曼[2]从总人口变化的角度，研究具有标准发生率的传染病模型，讨论模型无病和地方病平衡点的稳定性；王鑫雨[3]、梁桂珍和郝林莉等人[4]分别讨论种群在染病期和潜伏期均具有传染性的模型平衡点的稳定性。上述文献是在标准发生率和非线性发生率下讨论模型的稳定性，对双线性发生率的模型稳定性很少讨论，并且大多数文献都只是讨论模型在平衡点处的稳定性，很少讨论模型的Hopf分支问题。本文在上述文献研究的基础上，讨论具有双线性发生率且在潜伏期和传染期均传染的传染病模型

式（1）中：，，和分别表示时刻易感者、潜伏者、染病者和恢复者；表示总量；表示双线性传染率；表示自然死亡率；表示转化率；表示潜伏者的恢复率；表示恢复率；表示因病死亡率；参数为非负。由于式（1）中前三个方程都不含恢复者，本文仅研究由前三个方程所构成的传染病模型的动力学性态。

我们仅在式（2）的正向不变集内，本文主要讨论地方病平衡点处的动力学性态。

1 Hopf分支

计算得到模型的基本再生数为，令，则式（2）可以转换为：

通过式（3）计算，当时，可得到疾病持续存在的地方病平衡点，

其中

对式（3）做如下变换

则式（3）可化为

其中，

的各分量如下：

若矩阵A的特征方程有一对纯虚根，假设为特征方程的一个复根，代入特征方程可得到

对式（5）两边关于求导，利用，可得到

若，则满足Hopf分支产生的横截性条件。

取满足条件的，使得，可得

为了必要的标准化，可取

其中

其中

式（5）的非线性项以及参考ARENAS ， González等人[5]的观点，取

和的对称多重线性向量函数

通过计算可得

其中

其中

计算第一Lyapunov系数可得

由于带有参数具体表达式太长，不易讨论其正负。但是当时，在地方病平衡点附近有超临界的hopf分支产生，在地方病平衡点附近存在稳定的极限环。

2 结论

由上述结论可知，当时，染病者的数量将会趋于稳定，传染病不会消失而形成地方病；通过选取适当的参数，利用中心流形定理证明在地方病平衡点处的产生Hopf分支，当时，在地方病平衡点附近有超临界的Hopf分支产生，在地方病平衡点附近存在稳定的极限环。本文构建的双线性发生率的SEIR传染病模型不仅丰富传染病动力学的研究方法，而且也为实现传染病的预防和控制提供理论依据。

参考文献

[1] 马知恩，周义仓，李承治.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京：科学出版社，2015.

[2] 周会娟，兰曼.一类具有标准发生率和总人口变化的SIRS模型的全局稳定性分析[J].信阳师范学院学报（自然科学版），2020，33（3）：351-353，364.

[3] 王鑫雨.一类潜伏期和染病期均具有传染力的年龄结构SEIQR传染病模型及其稳定性 [J].内江师范学院学报，2022，37（10）：46-52.

[4] 梁桂珍，郝林莉.一类潜伏期和染病期均传染的SEIQR流行病模型的稳定性[J].西南师范大学学报（自然科学版），2020，45（3）：1-9.

[5] ARENAS A J ， González-Parra G. Nonlinear Dynamics of a new seasonal epidemiologi model with age structure and nonlinear incidence rate[J].Computetional and Applied Mayhematics，2021，40（2）：1-27.