分类思想方法的讨论及其在中学数学教学中的实践

摘要：分类思想方法是数学学习的一种重要方法，但在使用中，也必须给予高度重视。按照分类思想使用的3个原则：（1）标准统一性原则；（2）不重不漏原则；（3）层次性原则，可以保证分类思想方法的正确使用。本文从分类讨论思想方法在集合、函数、平面几何、解析几何中的应用，以期帮助人们能够更好地运用数学分类思想来处理问题，达到学习的预想效果。

关键词：中学数学；分类思想；应用

1研究背景

分类思想是数学学习的一种重要方法，通过分类讨论来实现。因而，人们也将分类思想称为“分类讨论思想”［1］。

数学思想方法的应用仍然是一个难度较大的话题。正如马宗华指出：尽管“分类思想”一词在课本中未被明确提及，怎么用以及用的步骤等方面的指导多未完全提到，但是它在中学数学中的应用非常广泛，已经渗透到中学数学教材的很多章节中，是教学的重点和难点。［2］

近几年中高考题中，毫无例外，各地区试题中均有分类讨论，由小题至大题，涵盖面广，占分极大，而缺乏数学思想和数学方法的学生对这些试题感到头疼。因此，探究数学思想和数学方法是很有必要的，也是教学中的重中之重。

2研究现状

2.1国外研究现状

20世纪以来，国外数学家对数学思想方法的研究日新月异，相关专著不断出版，产生了深远的影响。

克莱因在《古今数学思想》［2］中告诉人们如何开辟数学一个个分支，然后把它的发展联系在一起，并对数学思想发展史做了详细的阐述，从古埃及原始数学思想讲到20世纪初叶现代数学思想，对今天从事数学方面的教育工作者认识数学发展起到十分重要的作用。

乔治波利亚在《数学的发现》［3］中阐述了自己关于数学的教学、数学的学习、数学的研究、数学的应用等一些问题的看法和见解，这是一部涉及数学思想方法和数学教育的著作，其中阐述的许多数学思想方法引起数学教育研究界的广泛重视。

2.2国内研究现状

杨淑芳在《分类讨论思想在高中数学教学中的渗透策略研究》［4］中，通过分析分类讨论思想教学中存在的问题，寻找产生问题的原因，据此提出教学策略，同时利用教学实验对所提出的渗透策略进行了有效性检验并提出了问题与缺陷。

刘江华在《分类讨论思想在高一数学教学中逐步渗透的实践探究》［5］中，首先强调了这种学习方式的重要性，其次论述了分类讨论思想方法的基础概念。此外，他还从心理学的角度详细剖析了如何将这种学习理念融入教学当中，并结合高一课本，对高一数学分类讨论思想方法进行了深入的探讨，最后调查比较、教学反馈，初步总结出逐步渗透实施的效果。

3分类思想的相关理论

3.1核心概念

分类思想使用的方法是分类讨论，是一种常用的数学思想方法。在日常的学习中，许多问题的结果并不具有唯一的确定性，并且部分题目在求解时不能够采用统一的格式进行研究，另外还存在部分含参数的试题，即：题目已知量采用字母形式表达，然而字母不同的值能够影响到问题的求解结果，这时就需要将全部所研究问题根据题目特点分为几个独立的子集，也就是将其转化为多个小问题进行求解，类似于这样将问题按不同条件进行归类，之后对每一类问题进行逐个研究的数学思想，就叫做分类思想。［6］

3.2分类思想使用的原则

（1）标准统一性原则。同一个问题，选取标准不同，分类也就不同。在中学数学解题时，我们需要重视分类讨论，并且要用统一的分类解题标准来解题，切勿同时使用多种分类方法，导致分类出现混乱。比如，三角形按照角分类时可分为锐角、直角、钝角；按照边分类时，可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。每次必须按照统一的标准进行分类，不能同时采用几种不同的分类标准。［7］

（2）不重不漏原则。解题时把所讨论的对象归类，既不能重复，又不能漏掉哪个。如许多学生对整数进行分类，所给结果就是整数有负数和正数之分，通常把零给忘了。还有把平行四边形分为菱形和矩形，这也是不对的，因为菱形和矩形里边都包含正方形。［7］

（3）层次性原则。求解一个分类讨论相关问题时，碰到简单问题仅分类讨论一次就行了，当然，也会有一些复杂的问题，需要进行多次分类讨论，其主要指讨论的数学问题需实施多次分析，直至符合相关要求。［7］

3.3分类思想的使用步骤

（1）根据问题情境，明确讨论的对象和讨论的动机。遇到题目之后我们要分析是对哪一个变量或参数进行分类，这就需要同学们对教材中的概念、公式、性质等都十分熟悉。解题的思路一小部分来自做题积累的经验，多数来自对基础知识的熟练程度，基础知识熟练程度高，看到题目自然而然就想到需要讨论什么。［2］

（2）确定分类的标准。明确讨论的对象之后，要对其进行科学而合理的分类，如在讨论两个集合间关系时，如果集合具有参数，就应该考虑集合为非空集合和空集两种情况。［2］

（3）对所分的类别进行逐一讨论。对每一类问题都应该详细讨论，逐步求解，各个击破。［8］

（4）将所分情况进行总结概括。在求解分类讨论相关的问题时，最后一定要来个“综上”，对各种情况进行归纳，检查分类的完整性。［8］

4高中数学中分类思想的应用

中学数学教材包含着大量分类讨论的思想，教师应该对数学知识体系所包含的分类思想进行概括和提炼，有目的地渗透到数学知识教学过程中，引导学生领会其中所蕴涵的分类思想方法。

4.1分类思想在集合中的应用

尽管“集合”内容在高考数学中往往以一道选择题的形式出现，但其在高中数学中所占比重不可低估。由于分类思想能够将复杂问题简单化，使解题变得简单而快捷，所以也成为很多高中生学习高中数学的首选方法之一。因此，教师要注重分类思想在集合中的运用。

例1：已知集合B={-4，2b-1，b2}，C={b-4，-b，9}，若9∈（B∩C），求b的值。

分析：数学中的分类思想通俗来讲就是针对同一个问题的不同种情况需要采用不同的方法对待。某个元素属于另一个包含参数的集合，需要讨论这个元素与另一个集合中的哪个元素是相等的，要分情况列出方程来求解。在进行分类讨论时，应该特别关注集合中元素的互异性，以确保遵循不重不漏的原则。

解：因为9∈（B∩C），所以9∈B且9∈C。于是2b-1=9或b2=9。

（1）当2b-1=9，b=5。此时B={-4，9，25}，C={1，-5，9}，满足集合中元素的互异性，符合题意。

（2）当b2=9时，b=±3。

①当b=3时，B={-4，5，9}，C={-1，-3，9}，满足集合中元素的互异性，符合题意。

②当b=-3时，B={-4，-7，9}，C={-7，3，9}，满足集合中元素的互异性，符合题意。

综上，b=±3或b=5。

小结：例1是有关集合的问题，一个元素属于另一个含参数的集合，需探讨两个元素的关系，在进行分类时，先分为两大类，第二类又可分为两小类。

4.2分类思想在函数中的应用

函数是高中数学最主要的内容，分类思想是解决数学问题时经常使用到的思维方式之一，也被广泛应用于函数当中。通过实例来剖析函数中分类思想的运用，有助于学生深入了解分类思想的基本知识，强化其分类讨论意识。

例2：已知函数f（x）=x2-2ax+4，x∈［-2，2］，求函数f（x）最小值。

分析：定区间内二次函数的单调性与其对称轴及开口方向有关，该题为动轴定区间问题，其对称轴为直线x=a，且含参数，对称轴位置不定，故应分类进行探讨。

解：f（x）=x2-2ax+4=（x-a）2+4-a2的图象开口向上，且对称轴是直线x=a。

当-2＜a＜2，此时f（x）在［-2，2］上单调递减后单调递增，最小值为f（a）=4-a2；

当a＜-2，此时f（x）在［-2，2］上单调递增，函数f（x）最小值为f（-2）=8+4a；

当a＞2，此时f（x）在［-2，2］上单调递减，函数f（x）最小值为f（2）=8-4a；

综上，当a＜-2，函数f（x）最小值为f（-2）=8+4a；当-2＜a＜2，最小值为f（a）=4-a2；当a＞2，函数f（x）最小值为f（2）=8-4a。

小结：该题为对称轴变化、区间确定问题，可分为三大类，对称轴在区间里，对称轴在区间左右边。

4.3分类思想在平面几何中的应用

有些几何问题因图形的位置不能确定或形状不确定，就必须分类全面讨论。

例3：如图1所示，已知直线l1和直线l2，以及一条线段AB，两直线相交，假设两条直线上存在一点p，在什么情况下，能够使ΔPAB为等腰三角形？

分析：先分类假设AB为等腰三角形的底边，作AB的垂直平分线，分别与直线l1和直线l2相交于点P1和P2；以及假设AB为等腰三角形的腰，此时，对于后种情况还需要进行分类讨论，设∠A为顶角，再设∠B为顶角。

解：（1）设AB为等腰三角形的底边。

如图2，作线段AB的垂直平分线，分别与l1和l2相交于点P1和P2。

因为垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即AP1=BP1，AP2=BP2。所以ΔP1AB和ΔP2AB为等腰三角形。

（2）设AB为等腰三角形的腰。

如图3，设∠A为顶角，以点A为圆心，AB为半径作圆，分别与直线l1和直线l2相交于点P3，P4，P5，P6。

因为圆上任意一点到圆心的距离相等，所以AB=AP3=AP4=AP5=AP6，所以ΔP3AB，ΔP4AB，ΔP5AB，ΔP6AB为等腰三角形。

（3）设AB为等腰三角形的腰。

如图4，设∠B为顶角，以点B为圆心，AB为半径作圆，分别与直线l1和直线l2相交于点P7，P8，P9，P10。

同理，ΔP7AB，ΔP8AB，ΔP9AB，ΔP10AB为等腰三角形。

小结：该题首先可分为两大类，一类是假设AB为等腰三角形的底边，另一类是假设AB为等腰三角形的腰，第二类还可进行分类讨论，一小类为设∠A为顶角，另一小类为设∠B为顶角。

4.4分类思想在解析几何中的应用

解析几何在高中数学中涉及分类讨论也是非常多的，比如圆的位置的讨论、在直线中斜率的存在问题。

例4：以坐标轴为对称轴的椭圆，其长轴长是短轴长的2倍，且经过点A（2，0），求椭圆的标准方程。

分析：由椭圆的图象可得到分类的依据是焦点在于横轴还是纵轴，求椭圆方程的问题时需注意根据焦点的位置设不同方程，要遵循分类的不重不漏原则，千万不能把哪一种情况漏掉，否则得出的答案是不完整的。

解：（1）当椭圆的焦点在x轴上时，设它的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）。

由题意得2a=2×2b

4a2+0b2=1，解得a=2

b=1。

则椭圆的方程为x24+y2=1。

（2）当椭圆的焦点在y轴上时，设它的方程为y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）。

由题意得2a=2×2b

0a2+4b2=1，解得a=4

b=2。

则椭圆的方程为x216+y24=1。

综上，椭圆的方程为x24+y2=1或x216+y24=1。

小结：该题可分为两大类进行求解，一类是椭圆的焦点在x轴上，另一类是椭圆的焦点在y轴上。

5分类思想的反思

分类思想是针对同一个问题的不同情况需要采用不同的方法对待，但这对分类思想的认识是远远不够的。其实，数学中的许多思想可以说是哲学思想，分类思想方法就能体现这一点。

分类思想作为解决数学问题最基本的思维方式之一，对于解决数学问题起着非常重要的作用，它对于增强学生综合性、探究性、逻辑性以及条理性等思维能力起着至关重要的作用。［9］

分类思想就是根据一定的原则将问题划分成不同的情况，对每种情况下的问题进行深入的处理，分类思想不只是从学生中学阶段就要渗透的思想，而且是从数学学习生涯开始就应当去渗透的思想。

参考文献：

［1］胡琳玲.对中考复习中数学思想方法教学的探究——以分类讨论思想为例［J］.数理化解题研究，2022（29）：1416.

［2］马宗华.解析高中数学教学中的分类讨论思想［D］.山东师范大学，2017.

［3］G·波利亚.数学的发现［M］.刘远图，译.北京：科学出版社，1982.

［4］杨淑芳.分类讨论思想在高中数学教学中的渗透策略研究［D］.信阳师范学院，2016.

［5］刘江华.分类讨论思想在高一数学教学中逐步渗透的实践探究［D］.河北师范大学，2013.

［6］刘鹏.分类讨论思想在高中数学中的应用现状与研究［D］.洛阳师范学院，2022.

［7］彭恩.分类讨论思想在高中数学中的研究与应用［D］.信阳师范学院，2017.

［8］辛长红.高中常用数学思想方法的教学探究［D］.延边大学，2010.

［9］张先波.中学数学思想的培养研究［D］.华中师范大学，2019.

作者简介：史周晰（2001—），女，陕西宝鸡人，硕士研究生，研究方向：数学教育与数学应用；赵临龙（1960—），男，陕西西安人，硕士，二级教授，研究方向：数学教育。