二次型化标准形的方法探究

摘要：二次型是线性代数的重要组成部分，为了方便计算我们通常会把二次型转化成标准形.本文主要讲述了化二次型为标准型的几种方法：正交变换法、合同变换法、雅可比法、配方法.

关键词：二次型；标准形；正交变换法；合同变换法；配方法

1化二次型为标准形的基本方法

本文主要分析了将二次型化为标准形的四种方法：正交变换法、合同变换法、雅可比法以及配方法.

1.1正交变换法

分析：运用正交变换X=CY，首先要注意C必须是一个正交矩阵，CTAC=B当中对称矩阵A与对角阵B是合同的，并且CT=C-1，这是因为不能直接合同对角化，需要利用相似对角化C-1AC=B来进行，这就要求C为正交矩阵，否则无法进行CTAC=C-1AC=B这一步骤.

具体步骤：第一步先将二次型表示成矩阵表达式f=XTAX，求出矩阵A；接着根据公式λE-A=0求出A所有的特征值λ1，λ2，…，λn；然后求出对应于特征值的线性无关的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn，并将这组特征向量正交化、单位化，就可以得到向量组η1，η2，…，ηn，记C=（η1，η2，…，ηn）；最后做正交变换X=CY，就可以得到要求的二次型的标准形。

1.2合同变换法

分析：首先了解什么是合同变换，若对方阵A做一次初等行变换，接着对所得矩阵做一次同种的初等列变换，就称对A进行一次合同变换.初等变换法要求对初等变换的知识有深刻的了解而且能够熟练运用，对初等变换和初等阵之间的关系也需要掌握好，在进行初等变换时首先会进行非退化线性替换即X=CY，然后需要有可逆矩阵C，使得CTAC=B，A每进行一次列的初等变换就要同时进行行的初等变换，直到能把A变换成一个对角阵B。但是要注意对矩阵E只做与A同样的列变换，行不变换，EC=C，然后就能直接得到标准形的系数矩阵B以及非退化线性变换的系数矩阵C.

具体步骤：利用可逆的线性变换X=CY，把f=XTAX化为标准形，即f=XTAX=（CY）TACY=YTCTACY=YTBY.

只需CTAC=B，又因C=（p1，p2，…，ps），其中p1，p2，…，ps均为初等方阵，所以（p1p2…ps）TAp1p2…ps=B，即psT…p2Tp1TAp1p2…ps=B.而psT…p2Tp1T=psT…p2Tp1TE=CT，结合这两个式子可将A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩阵C.

A做合同变换（A|E）E做行变换（B|CT），求出CT，做可逆线性变换X=CY，则该变换将f化为标准形：

f=k1y21+k2y22+…+kry2r

1.3雅可比法

分析：雅可比法是借助对称双线性函数将二次型化为标准形，运用雅克比方法将二次型转化为标准形的前提条件是n元二次型的矩阵的前（nm+ZH7Oc7afkcncjMdoUWow==-1）阶顺序主子式都不为零，那么这个二次型一定能化为标准形.雅可比法化二次型为标准形的实质是找到满足条件的一组基η1，η2，…，ηn即可.

具体步骤：首先讨论能否构造一组基η1，η2，…，ηn

其中η1=ε1，

η2=c12ε1+ε2，

…

ηn=c1nε1+c2nε2+…+cn-1，nεn-1+εn，使得f（ηi，…，ηj）=0，i≠j.

接着可以用施密特正交法构造正交基η1，η2，…，ηn

根据对称双线性函数有：b11=f（η1，η1）=f（ε1，ε1）=a11=Δ1b22=f（η2，η2）

=f（c12ε1+ε2，η2）=c12f（ε1，η2）+f（ε2，η2）.

接着又知道其中有b12=f（η1，η2）=f（ε1，c12ε1+ε2）=c12f（ε1，ε1）+f（ε1，ε2）=c12a11+a12=0.

所以求得c12=-a12a11，并且b12=f（ε1，η2）=0.

将上述结果代入b22中可以得到：

b22=f（ε2，η2）=f（ε2，c12ε1+ε2）=c12a12+a22=a11a22-a212a11=Δ2Δ1.

照这种方法计算可以得到bii，i=1，2，…，n.

由于bji=f（ηj，ηi）=f（εj，ηi）=0，其中j小于i，所以能够得到线性方程组：

c1ia11+c2ia12+…+ci-1，ia1，i-1+a1i=0，

c1ia21+c2ia22+…+ci-1，ia2，i-1+a2i=0，

…

c1iai-1，1+c2iai-1，2+…+ci-1，iai-1，i-1+ai-1，i=0.

即c1i=Ai1Δi-1，c2i=Ai2Δi-1，

…

ci-1，i=Ai，i-1Δi-1.

其中Aij是元素aij的代数余子式，j小于i.则有

bii=f（ηi，ηi）=f（εi，ηi）

=f（εi，c1iε1+c2iε2+…+ci-1，iεi-1+εi）

=c1iai1+c2iai2+…+ci-1，iai，i-1+aii

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ai，i-1Ai，i-1+aiiAiiΔi-1

=ΔiΔi-1

最后令C=（cij）n×n=1…c1n

0…1

然后可求得向量ηi，使它能够满足

bij=f（ηi，ηj）=0，i≠j

则对称双线性函数f（α，β）关于基η1，η2，…，ηn的矩阵为B=CTAC=b11…0

0…bnn

即二次型XTAX经过非退化线性替换X=CZ转化为标准形ZTBZ=b11z21+…+bnnz2n.

1.4配方法

我们知道不是所有的二次型都含平方项，所以在运用配方法之前首先要构造平方项，即通过非退化线性替换化二次型为含平方项的二次型，通常采用Lagrange配方法.

具体步骤：如果二次型中含有xi的平方项，就先把含有xi的乘积项集中，然后进行配方，再对剩下的变量进行同样操作，直到把它们都配成平方项的形式，再经过非退化线性变换就可以得到标准形.当二次型不含有平方项的时候，且aij≠0（i≠j），则需先做可逆的线性变换

xm=ym-yn

xn=ym+yn

xr=yr（r=1，2，…，n且k≠m，n）

化二次型为含有平方项的二次型，然后进行与含平方项的二次型同样的操作即可得标准形.

2化二次型为标准形的方法应用

2.1正交变换法解决问题

正交变换得到的标准形是以二次型对应矩阵的特征值为系数的，且通过该种方法所得到的标准形是唯一的，此时X=DY中的矩阵D是正交矩阵.

例：求正交变换法X=DY，将二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3化为标准形.

解：二次型矩阵A=12-2

2-10

-20-1，A的特征多项式为：

λE-A=λ-1-22

-2λ+10

20λ+1=λ-1-22

-2λ+10

0λ+1λ+1

=λ-1-42

-2λ+10

0λ+1λ+1

按第三行展开可得λE-A=λ2-9λ+1，即得A的特征值为λ=3，-3，-1，当λ1=3时，可得（3E-A）x=0，即：

2-42

-240

004→2-42

002

004→2-42

002

000

可得基础解系α1=（2，1，0）T，即为λ1=3的特征向量。

当λ2=-3时，可得（-3E-A）x=0，即：

-4-42

-2-20

00-2→002

-2-20

00-2→-2-20

00-2

000

可得基础解系α2=（-1，1，0）T，即为λ2=-3的特征向量.

当λ3=-1时，可得（-E-A）x=0，即-2-42

-200

000

可得基础解系α3=（0，1，2）T，即为λ3=-1的特征向量。

由于实对称矩阵特征值不同特征向量以正交，所以只需将特征向量单位化.

即有：

β1=152

1

0β2=12-1

1

0β3=150

1

2

令D=β1，β2，β3T=25-120

151215

0025

经正交变换X=DY，将二次型化为标准型XTAX=3x21-3x22-x23.

2.2合同变换法解决问题

合同变换法需要运用矩阵的行列变换，对行做一次变换就要对列做相同的变换.其实质是利用可逆线性变换把二次型化为标准形.

例：用非退化线性替换X=CY化二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3为标准形.

解：由题可知，二次型矩阵A=12-2

2.3雅可比法解决问题

雅可比法需要利用二次型矩阵的顺序主子式去确定标准形当中的各个平方项的系数，那么就要求二次型矩阵当中的所有的顺序主子式均不为零.

例：用雅可比法化二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3为标准形.

解：二次型矩阵为A=12-2

2-10

-20-1

实二次型的矩阵A的顺序主子式

Δ1=1＞0，Δ2=12

2-1=-5＜0，Δ3=12-2

2-10

-20-1=9＞0

Δ1，Δ2，Δ3都不等于零，则有该二次型的标准形f（x1，x2，x3）=Δ1y21+Δ2Δ1y22+Δ3Δ2y23=y21-5y22-95y23

所做初等变换如下：

12-2

2-10

-20-1→10-2

0-54

-24-1→1-225

0145

001

即C=1-225

0145

001，令y1=x1-2x2+25x3

y2=x2+45x3

y3=x3

可得x1=y1+2y2-2y3

x2=y2-45y3

x3=y3

2.4配方法解决问题

配方法一般可以用来将二次型化为规范形，并且在规范形唯一的情况下，使用配方法是较为简便的.

例：用配方法化上述二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3为标准形.

解：首先将二次型中含有x1的项集中起来进行配方，具体步骤如下：

f（x1，x2，x3）=f（x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3）

=x21+4x1x2-4x1x3-x22-x23

=x21+4x1（x2-x3）-x22-x23

=（x1+x2-x3）2-（x2-x3）2-x22-x23

=（x1+x2-x3）2-（2x2-2x3）2-2x2x3

可看到式中既含有根式又不易配方，显然相比于上面三种方法来说利用配方法做此题是不太简便的，所以下面的步骤不再多加陈述.

结语

二次型在线性代数中占据很重要的地位，并且其相关理论在几何、物理、力学以及工程技术中也有涉及，可见二次型及其理论的重要意义.化二次型为标准型的方法还有许多，但文中只介绍了四种，而其余的也需要我们去学习，去探索其中的联系，并总结方法以便对该部分知识有一个更好的掌握.

参考文献：

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［2］胡明琼.把二次型化为标准形的方法［J］.工科数学，1998（01）：162164.

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［5］张明.利用初等变换化二次型为标准形［J］.才智，2012（02）：140.

作者简介：韩建邦（1984—），男，河南安阳人，硕士，讲师，研究方向：微分方程。