大学物理教学中基于转移矩阵法的薄膜干涉探讨

摘 要： 转移矩阵法是研究介质膜或势垒中的光子或电子输运的一种理论计算方法。本文结合广泛用于光学传输的转移矩阵方法，对“大学物理”中的劈尖干涉和牛顿环现象进行了数值模拟。研究发现转移矩阵方法不仅可以解决接触面为平面的劈尖干涉，还可以解决接触面为曲面的牛顿环现象。此研究不仅可以辅助课堂教学加深学生对薄膜干涉问题的理解，还可以激发学生对于科研的热情，培养学生利用数值计算方法解决生活中的实际问题。

关键词：转移矩阵；大学物理；劈尖干涉；牛顿环

Abstract： The transfer matrix method is a theoretical calculation method used to study the transport of photons or electrons in media films or potential barriers. This paper combines the widely used transfer matrix method in optical transmission to numerically simulate the phenomenon of sharpe interference and Newton's rings in "University Physics". The study found that the transfer matrix method can not only solve sharpe interference with a flat contact surface but also solve Newton's rings with a curved contact surface. This research not only assists classroom teaching in deepening students' understanding of thin film interference problems but also inspires students' enthusiasm for scientific research and cultivates their ability to use numerical calculation methods to solve practical problems in life.

Keywords： Transfer matrix; university physics; slit interference; Newton's rings

“大学物理”是一门对于理工工科专业非常重要的公共基础课。这门课不仅可以拓展学生的知识面，而且在很多科研新型领域中具有重要的基础支撑作用，因此其学科地位是其他学科无法比拟的。作为交叉学科的理论基础，大学物理的内容通常被应用在交叉学科领域的研究与应用中。大学物理涵盖内容非常丰富，其中包括力学、热学、电磁学、光学以及原子与分子物理学等。在光学学习中，薄膜干涉现象一直是教学的重点和难点。

薄膜干涉是指光照射到透明且厚度极薄的膜上时产生的干涉现象，导致在一些物体如气泡或昆虫的翅膀上出现彩色条纹[1]。该现象广泛应用于光学器件表面的增透膜、减反膜，眼镜表面的防紫外光膜，以及宇航员头盔表面的高反射膜等[2]。在教学中，对薄膜干涉进行公式推导计算和分析相对复杂，常通过仿真技术研究，如劈尖干涉、牛顿环干涉等。然而，传统的针对薄膜干涉的仿真编程需要面对不同问题需要进行不同编程计算的困扰，显得繁琐重复。本文提出使用转移矩阵法，这是科研中常用的方法，来简化薄膜干涉的编程仿真问题，使其形成统一的解决范式。只需改变参数即可得到不同情况下的薄膜干涉解决方案，从而实现教学与科研的统一，激发本科生科研热情，进入科研的领域。首先，我们通过模拟对空气劈尖干涉进行了研究，发现当空气劈尖的斜率变化时，条纹的稠密程度也发生变化。然后，我们计算了曲面的牛顿环，发现当平凸透镜的半径变化时，条纹级数也发生了变化。这些现象与大学物理中的理论分析相符，充分证明了转移矩阵法可以完全解决大学物理中的薄膜干涉问题。

一、转移矩阵方法介绍

光学转移矩阵法（Optical Transfer Matrix Method）是光学系统中一种常用的分析方法，用于描述光在复杂光学系统中的传播和传输特性。而光子晶体是一种具有交替高介电常数和低介电常数层以及缺陷层的光学陷光结构，常常在光子带隙中出现共振特性，即缺陷谐振模式。这是科学研究中经常涉及的光学问题，其实质是多层薄膜光传播的研究。相比于平面波算法，转移矩阵法的计算量大大降低，成为科学研究和实际生产中重要的物理数值模拟计算方法。

设定转移矩阵是一个22的矩阵。由于光波是一种电磁波，它遵循麦克斯韦方程组，描述了光波在空间中的传播和相互作用方式。其在一维多层薄膜中的传播规律遵循麦克斯韦方程 [3-6]，所设计结构从上向下各个界面分别为1， 2， 3， … ， 2N+5层。其中入射角度为。由麦克斯韦方程和电场、磁场边界条件导出的多层结构的传递矩阵方程可以描述为[3，4]，

其中，B0和A0分别为多层结构顶部入射光和反射光的电场; 和分别是结构底部的输出光和输入光的电场。由于光通过多层薄膜后没有反射回来的光，根据光的反射率，透射率、吸收率的定义，可得， . 传递矩阵Ml（l= 1，2， … 2N+5）和Pl（l= 1，2， … ， 2N+5）可以描述为，

其中，（2）式中和分别为该分界面的透射系数和反射系数，用Fresnel公式推导可得，和

。其中θl和nl分别代表第l层介质的光的传播角和折射率， 这里。 光在不同层中的传播角度受Snell’s law支配，dl代表l层的厚度，λ = 2πc/ω为入射波长。

光学转移矩阵法可以应用于光子晶体的吸收问题的理论分析和设计中。在科学研究中，通过应用于光子晶体，可以实现在纳米尺寸范围内的光完美吸收，但需要额外添加陷光结构，如二维材料等损耗较大的材料来增强介质层的光吸收[5，6]。通过转移矩阵法的分析，可以研究不同光子晶体的吸收特性，并对光学系统的性能进行预测和优化设计。该方法简单易行，易于理解，并且不仅适用于科学研究领域，也可以在本科教学中普及应用。

二、利用转移矩阵法模拟薄膜干涉

根据空气劈尖干涉原理，如图1所示，空气劈尖由两块折射率为1.53的玻璃板构成，板之间有一个薄的空气层，仅有一端粘合，另一端通过细丝或纸片支撑。其中劈尖的斜率由参数 D/L =2´10-3， D 是空气劈尖的厚度， L 则表示劈尖的长度。当波长为589 nm的可见光垂直入射时，上面的玻璃板和下部的空气层会发生反射，形成两列相干光源，从而产生干涉现象。根据大学物理课堂理论分析可知：当空气层厚度为明纹，当时候为暗纹，其中为入射光的波长。

如图2所示，当光线从空气向空气劈尖中传播时，会发生反射和透射，并形成干涉现象。这种干涉现象会导致劈尖上出现明暗相间的干涉条纹，其间距和形态与劈尖的长度有关。干涉条纹的形成是由于光在空气劈尖中的路径差引起的。光在劈尖上的两个不同位置反射或透射后，其路径长度会有微小差异，导致相位差的变化。当光的相位差达到一定条件时，会出现干涉加强或干涉衰减的现象，形成明暗相间的条纹。对于空气劈尖而言，当劈尖长度较小时，形成干涉条纹的空气层厚度较小。随着劈尖长度的增加，条纹的间距也会增大。这是因为空气劈尖的长度增加会导致光传播的路径差增加，从而改变干涉条件。因此，不同长度的空气劈尖会形成不同间距的明暗相间的干涉条纹。干涉条纹可以通过观察或者使用干涉仪等光学实验装置进行检测。通过观察干涉条纹的变化，可以得到关于空气劈尖长度和干涉现象的信息。这种现象在一些光学应用中被利用，例如表征表面形貌或测量微小物体的尺寸。需要注意的是，干涉条纹的形态和特性还可能受到其他因素的影响，例如入射光的波长、入射角度和劈尖表面的光学特性等。因此，在具体的实验或应用中，需要综合考虑这些因素，并进行适当的理论分析和实验设计。与此相对应，通过转移矩阵法计算得到的反射率变化也呈现出与空气劈尖干涉条纹一致的规律。这充分证明了转移矩阵法可以解决空气劈尖干涉相关问题。

根据我们所了解的信息，劈尖的斜率会影响干涉条纹的分布。当劈尖斜率为时（如图3所示），条纹会变得稀疏，即远离劈尖的棱边。综合图2和图3的观察结果，我们可以得出结论：在玻璃板的折射率保持不变的情况下，如果劈尖斜率较大，则条纹变得更加密集；如果劈尖斜率较小，则条纹变得更加稀疏。这与大学物理学中的理论相符，说明该数值模拟方法可以清晰地反映基本物理原理，并通过图示的方式帮助学生理解物理现象，有助于解决实际生活中的问题。

三、利用转移矩阵法模拟牛顿环

除了上述内容，利用传递矩阵法还可以用来计算其他曲面。下面我们以一个牛顿环干涉实验为例，通过传递矩阵法进行计算。在这个实验中，我们使用由玻璃构成的牛顿环装置，包括一个平凸透镜和一个平板玻璃，它们彼此接触并在其间形成一层空气薄膜。由于空气薄膜的表面呈现非线性变化，因此会形成明暗相间的圆环，整体上呈现出由中心向外逐渐变得稀疏的现象。下面我们使用传递矩阵法进行验证。其中，，。通过传递矩阵法计算得出，（亮）等于0.75 μm和（暗）等于0.43 μm。而根据理论计算和得出的结论是一致的[5]。根据传递矩阵法，还可以得到条纹的最大反射率约21%。如图4所示，这个案例充分证明了传递矩阵法可以实现对曲面计算。即通过合理选择光学元件的传递矩阵，并将它们按顺序组合，可以对曲面的光学行为进行建模和分析。需要注意的是，传递矩阵法仍然是一种近似方法，并且在涉及复杂光学效应、非线性光学或散射等情况下可能不适用。

我们还可以通过改变牛顿环装置平凸透镜的半径来观察干涉条纹的变化。如图4所示，当半径增大至10μm时，牛顿环条纹向外移动，整体规律与图3保持一致，条纹呈现出由中心向外逐渐稀疏的现象。同时，由于只是改变平凸透镜的半径，它的曲率并未发生变化，因此其反射率与图4相同。

由于介质厚度相等，并且每次反射或透射引起的位相差相等，因此同一级干涉条纹的轨迹是一致的。在实际应用中，等厚干涉经常被用于测量物体的厚度、曲率半径、折射率等物理参数。此外，等厚干涉还广泛应用于光学元件的设计和制造，例如薄膜光学、波导、光纤等。如果观察到的条纹出现弯曲现象，就说明使用的材质表面存在凹凸不平的情况。因此，通过观察这些明暗相间的条纹，可以将它们应用于光学元件的加工质量检测中。

结语

本文采用转移矩阵法模拟了非平行平面干涉情况空气劈尖干涉和牛顿环干涉。研究发现转移矩阵法不仅可以模拟空气劈尖干涉的平面情况，还可以模拟牛顿环的曲面情况。得到的结论证明，使用转移矩阵法的模拟情况与大学物理课堂理论模拟结论一致，充分验证了使用该方法研究薄膜干涉的正确性和简洁性。利用转移矩阵法研究大学物理课堂教学中薄膜干涉问题，不仅可以帮助学生理解表面现象，还可以指导大学物理实验的改进。除此之外，也可以通过该教学促进学生掌握转移矩阵法，激发本科生科研的兴趣，从而促进他们利用数值仿真方法解决生活中的实际问题。

参考文献：

[1] 吴付坤， 郑昌文. 应用薄膜干涉模型进行蝴蝶彩色效果物理绘制[J]． 计算机辅助设计与图形学学报， 2015（ 6） ： 1082-1090．

[2] 刘萍， 苏亚凤， 方爱平. 浅谈薄膜干涉现象中的几个问题[J]． 物理与工程， 2017， 27（ 1） ： 47-49．

[3]梅中磊. MATLAB 电磁场与微波技术仿真[M]. 清华大学出版社， 2020.

[4]刘江涛， 童红， 蔡勋明， 等. 利用转移矩阵方法模拟大学物理中的薄膜干涉[J]. 高考， 2018， 6.

[5]Born M， Wolf E. Principles of optics： electromagnetic theory of propagation， interference and diffraction of light[M]. CUP Archive， 2000.

[6] Xu， Yan-Li; Li， Hong-Xu; Zhou， Chao-Biao; Xiao， Xi-Sheng; Bai， Zhong-Chen; Zhang， Zheng-Ping; Qin， Shui-Jie; The ultraviolet absorption of graphene in the Tamm state[J]， Optik， 2020， 219：0-165015

基金项目：国家自然科学基金（项目编号：62364004） ，贵州省自然科学基金（项目编号：黔科合基础–ZK[2022]一般211） ，贵州省教育厅青年科技人才成长项目（项目编号：黔教合KY字[2022]184号）

作者简介：李洪旭（1986— ），男，汉族，四川达州人，博士研究生，讲师，主要从事嵌入式、物联网、人工智能和电磁场电磁波方向的研究工作。