高等数学与新高考之下的高中数学课程建设衔接问题与改进建议

摘要：数学教育是我国的基础教育，在中学阶段和大学阶段的课程教育中都有着重要地位。高等数学和中学数学的课程教学有许多的联系和差异，同时也出现了部分脱节。相对于中学数学而言，高等数学所包含的知识点更冗杂，涉及的计算难度更强，教学方法多样但是学习的方式单一，学生在过渡到高等数学的学习中，出现的衔接问题会直接影响学生学习的效率及心态。因此，笔者将从符号差异，脱节内容与重复知识点进行分析，指出高等数学与中学数学在课程衔接中应当注意的问题，给高等数学的教学提供一定的参考建议。

关键词：高等数学；高中数学；课程衔接；建议

自2021年起，我国已经全面实行全国普通高中水平考试[1]，对于中学的数学教育不仅考试形式发生了变化，考试内容也有翻天覆地的变化，高中的数学教材也进行了许多的删减，也对部分内容学习的深度进行了调整。《高等数学》是理工科类和经济管理类学生学习的基础性工具类的学科，是培养技术性人才不可替代的基垫，也是高中数学许多内容的延申拓展。然而，在高中教育如火如荼的变化的同时，大学教育中的《高等数学》的内容变化却不大，没有顺应新高考的改革而变化，导致高等数学的学习和高中数学的学习产生了脱节。因此，完善与探究高等数学与新高考之下高中数学内容上的衔接就显得非常有必要。

1研究教材的选取

高等数学教材选用高等教育出版社同济大学数学系编撰的《高等数学》，高中数学教材选用人民教育出版社的A版《普通高中教科书》。

2高等数学与高中数学的符号表示

高中数学经过几轮的新高考改革，数学符号与大学所使用的符号存在差异，导致学生在使用的时候会产生混乱或不解。所以在教学过程中，教师应注意两者的不一致。

2.1高中新课标数学对比高等数学未涉及的符号

高中数学经过改革之后，正式启用人民教育出版社的教材，对比改革前的内容，删减掉了逻辑连接词，也就是命题之家的“或”“且”“非”，但是高等数学的语言论述中又常常会应用到这些逻辑连接词，所有高等数学教师要给学生讲解清楚“或”“且”“非”对于命题的具体关系，这些对于学生理解高等数学的语言都非常重要。

2.2高中新课标数学对比高等数学有区别的符号

在高中数学和高等数学的课程中，函数都是一块重要的内容，有两处符号不一致的知识点。一是函数中定义域和值域的符号在中的区别，高中数学的定义域和值域符号是单独的定义的集合，而高等数学中的函数的定义域是，同时根据函数的名称变化而变化，也可用、等来表示，函数的值域是，也可用、等来表示，学生容易产生混淆，高等数学教师应引导学生细心分辨。二是复合函数的表达方式，高中数学的复合函数是，高等数学的复合函数表达方式。

3高等数学与高中数学脱节内容

高等数学和高等数学是属于两个不同的知识体系，教授的对象不同，要求的知识高度也有区别。高中数学注重基础教育，培养学生的数学核心素养[2]，高等数学的课程目标[3]更加的专一，着重培养学生的数学运算求解能力和抽象思维能力，以及逻辑推理能力，从而能够提升学生的数学建模能力。高中数学经过改革之后，正式启用人民教育出版社的教材，对比改革前的内容，删减掉了许多内容，针对高等数学的学习，总共有七个板块有脱节情况，下面笔者将介绍脱节内容。

3.1函数版块

函数的定义主要从映射发展出来的，但是高中新课标中删掉了映射这一节。建议高等数学教师在讲解映射这一节的时候，用集合符号给学生实例展示满射、单射、双射，学生就会将枯燥的函数形象化，从而更清楚的理解函数的概念，也就更容易理解逆映射和复合映射。

3.2命题版块

四个命题，也就是原命题，逆命题，否命题和逆否命题，以及四个命题之间的关系，以及四个命题之间真假的关系，这一部分高中新课标全部已经删除了，但是高等数学教材中有大量的命题之间的语言连接，建议高等数学教师补充。

3.3三角函数版块

三角函数作为高等数学重要的研究对象，需要补充的脱节知识点如下：

（1）余切函数

学生是在初中的学段认识的余切函数，并且不是在函数的理解下认识的，应当补充余切函数的定义域、值域，余切函数的图像，以及余切函数的性质，类比正切函数来认识，学生认识余切函数会更深刻一些。

（2）反三角函数

高等数学的导数和积分计算中有大量的关于反三角函数的计算，但是高中新课标中却没有反三角函数这一部分，因此需要高等数学教师补充反三角函数的定义域、值域，反三角函数的图像。

（3）三角函数关系

互为倒数的关系：

和为1的关系：

（4）三角函数和差化积、积化和差的公式

三角函数的积化和差以及和差化积的公式实际上是三角函数的和差公式推导出来的，新课标的教材的练习题中有涉及，但是因为高考的要求不多，所以高中的讲授也不深刻，但是在高等数学的积分计算中常常会用到，建议补充。sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ，sin（α+β）-sin（α-β）=2cosαsinβ，

cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ

3.4参数方程和坐标系版块

高等数学的积分计算当中需要转变元和转变坐标系来计算，但是高中新课标删除了参数方程，斜坐标系，极坐标系，柱坐标系，球坐标系，建议高等数学教师补充参数方程和极坐标系以及柱坐标系。

参数方程补充直线的参数方程：，圆的参数方程：，椭圆的参数方程：，双曲线的参数方程：，抛物线的参数方程：，其中皆为已经数，为参数。

平面极坐标系这部分内容，属于用新的眼光去看待平面，学生在没有接触的情况下去理解是比较困难的，所以需要老师从定义部分带领学生学习。不仅要从直角坐标系转化成极坐标来定位一个点，还应该掌握直角坐标与极坐标之间相互的转化公式，极坐标（，）转平面直角坐标（，）：，平面坐标（，）转极坐标（，）：。另外一些常用的曲线的极坐标方程也需要掌握，比如圆心在原点的圆的极坐标方程是，其中是常数，可以用这样简洁的形式就可以表达出一个圆的方程，也会加强学生学习数学的学习热情。

柱坐标系在高考要求中没有涉及，所以高中课堂不会讲到，新课标以后已经完全删除掉了，但是在大学的高等数学的多重积分计算当中会用到，课堂上遇见的时候学生因为没见过，所以根本没有办法理解，建议补充柱坐标的概念，以及柱坐标（，，）与空间直角坐标系（，，）的转换：，空间直角坐标系（，，）转柱坐标（，，）：。

3.5定积分版块

2019年前的高中理科数学教材当中是要求学生掌握定积分，并且理解定积分的定义，能用定积分的几何意义和牛顿莱布尼茨公式计算简单的定积分，但是新课标的数学不分文科理科，也没有定积分的要求，但是大学教师不清楚这一变化，在讲定积分的时候，在以为学生已经学过的前提下授课，导致定积分的定义讲的过快，而后面的学习中定积分的计算也非常的重点，就严重影响学生的学习效果。因此，定积分的内容对于学生来说是一个新的内容，请老师们在遇到这一节内容是务必仔细引导学生理解。

3.6不等式版块

不等式版块在新课标发布之前，是一个选考的内容，现目前也悉数删掉了，在高中阶段减的负，必然要在大学学段重新背负。不等式所涉及的不等式的八大基本性质，学生可以自行理解，但是绝对值不等式的解法和几何意义需要教师来引导理解，柯西不等式的应用学生也不能自行理解，所以需要教师分析讲解。

3.7多项式版块

多项式的计算属于初中的内容，但是初中的多项式也仅限于简单的整式分解，在高等数学的有理函数积分计算中需要多项式的除法和分式多项式的分解合并的应用，建议高等数学教师在讲解积分的求解前补充此版块的内容，学生在计算多项式的积分时就避免产生许多的困惑。

多项式除法，例如这样形式的，需要分类别将多项式转化成简单的式子，方可用积分来运算，现举例将复杂的多项式除法进行分解。

• 整理

，通过计算可以得到。

分式多项式裂项在计算有理函数积分时常常会用到，但是分式多项式裂项，学生在中学阶段完全没有接触过，也需要补充。

• 分解

可以将式子假设分解成=++，再利用待定系数法计算对应系数，即有。

4高等数学与高中数学重复内容

高等数学经历了七次改版，内容和练习都经过了不同程度的修改，但是依然没能跟上高中的新高考改革的步伐，内容上和知识要求上依然有重复的部分。高等数学教师要知晓高中数学内容在大学学习中知识上的异同点，从而能够清楚地和学生讲解，重复的部分可以精炼地带学生回顾重点即可，避免学生因为高中重复的内容降低学习兴趣，即可避免学生在进入高等数学的课堂感到乏味。

4.1函数版块

函数版块是进入高等数学学习的第一章，高中新课标对函数的要求是掌握并灵活应用，但是在开篇就有大量的重复内容：函数的定义、函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的四则运算，这些内容如果讲的过于仔细，一方面影响课程推进的速度，一方面影响学生的学习兴趣。针对第一章第一节的学习，高等数学教师可以让学生自学或者用知识问答的方式来避免课堂知识点重复的枯燥感。

4.2导数版块

导数部分作为高中新课标的必考内容，学生学习是比较困难的，常年作为高考的压轴题出现，虽然导数的定义，根据导数判定函数的单调性，根据导数求函数的极值这些知识点在高中阶段要求比较高，但是根据历年的高考结果下来分析，学生的掌握情况是不容乐观的，因此对于这一部分，高等数学教师不仅要讲，还要讲的更深刻，更具体，用工科类的实际例子来引导学生理解导数的定义，导数的几何意义，学生才能把高等数学中的导数内容掌握牢固。

5总结与建议

随着新高考在高中教育中的逐步落实，遇到高等数学与高中数学课程建设的衔接问题做出如下总结：

1. 高等数学教师应注意关注中学数学的改革及变化，教师要认清高等数学与高中教学内容上的异同。
2. 走进学生，走进学生面临的高等数学学习的问题，了解学生中学学习的内容深度以及脱节内容。根据高等数学的课程要求进行衔接的补充。
3. 通过分析高等数学与高中新课标数学内容衔接的建议：遇到重复内容时，在正式行课之前让学生预习，避免课堂上重复性的讲解；遇到脱节内容时，适当的增加课时，并且根据课堂内容和学生对于基础知识的掌握情况渗透数学核心素养和数学思想；适当引导学生，根据知识点进行延申，可以将现实生活中实际的数学问题引入课堂，带领学生更深刻的领悟知识的内涵；注意培养学生的听课方法和学习方法，从而养成良好的学习习惯。

结语

理清高等数学与新高考改革之下的高中数学之间的衔接是学习学好高等数学的前提，也是高等数学教师的教好学生的必要因素。要想让高等数学的学习成果成为学生将来成功的应用工具，必然要打好坚实的基础，打好坚实基础的前提是不断的改进和完善高等数学与新高考下的高中数学的衔接。

参考文献：

• 中共中央国务院印发《深化新时代教育评价改革总体方案》[EB/OL].[2021-06-09].http：//www.gov.cn/zhengce/2020-10/13/content_5551032.htm.
• 同济大学数学系编.高等数学上册（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
• 聚焦核心素养考查关键能力——2021年高考数学全国卷试题评析[J].中国考试，2021（07）：70-76.
• 张军阳.从中学数学向大学数学过渡的问题[J].科技风，2023，（15）：28-30.
• 刘国清，张玲，李唐海.大学数学与中学数学衔接的新思考与对策研究[J].创新创业理论研究与实践，2021，4（14）：146-148.

[6]陈博照.基于中学数学与大学数学衔接的思考[J].产业与科技论坛，2020，19（16）：157-158.

作者简介：赖丹（1988—）女，汉族，四川双流人，研究生，中学一级，研究方向：计算数学；何军（1986—）男，汉族，四川绵竹人，本科生，中学一级，研究方向：中学数学教育。