有阻力的抛体运动问题探究

摘   要：抛射体在介质中的运动是一个平面问题，即沿着一平面曲线行进。运用导数、微积分的有关知识建立并解决有阻力的抛体运动的问题，得出各变量间的函数关系，并运用简单的物理知识，通过求极限得到无阻力情况的结果。

关键词：阻力；抛体问题；导数；微分方程

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）6-0073-4

实际的抛体运动规律有简单的也有复杂的，最简单的莫过于在地球表面附近的抛体只受恒定的重力作用，应用高中的物理知识就可以求出其运动规律和轨迹方程。复杂的抛体运动如炮弹、火箭、导弹就需要考虑很多因素：空气阻力、地球自转引起的科氏力、纬度的变化、重力加速度的变化［１］。空气阻力的变化也很复杂，速度不大时与速度成正比，速度较大时与速度的平方成正比，速度再大就与速度的立方甚至五次方成正比。如果所有因素都考虑的话，那么这种运动的规律将相当复杂，也不可能有解析解。一般工程上都是根据所考虑的因素列出微分方程组，利用电脑求出数值解。

本文只研究比高中稍微复杂的一类情况：可看成质点的抛体只受重力和空气阻力作用，不考虑其他力的情况。空气阻力的大小分两种情况：空气阻力大小与速度成正比；空气阻力大小与速度平方成正比。第一种情况可以直接在直角坐标系中写出运动微分方程组，并且可以求得其解析解。对第二种情况，可通过坐标变换的方式求出轨道方程在水平方向的解析解，但不能求出竖直方向的解析解，更不用说整个运动规律的解析解。因此，本文只讨论两种情况下的抛体运动的规律和轨迹方程。

１    竖直向上的抛体运动

１．１    阻力与速度成正比

由此可得到一个结论：与不受空气阻力相比，物体在受与速度成正比的阻力时落地时间确实要短一些，且空气阻力系数越大，物体落地时间越短。

１．２    阻力与速度平方成正比

质量为ｍ的物体以初速度v0从地面竖直上抛，设空气阻力f=kv2（k为常数）。接下来讨论物体达到的最大高度和物体返回原处的速度大小。

如图1所示，取y坐标竖直向上，原点O在地面上。则上升时，物体的运动方程为

２    竖直向下的抛体运动

２．１    阻力与速度成正比

质量为ｍ的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地面为ｈ的地方竖直下落，如阻力与速度成正比，研究其运动。

这就是所要求的关系。因为当ｔ→∞时，ｔｈ（ｋｇｔ）→１，故物体的速度由零逐渐增大，但以定值■为其极限。极限速度与运动物体在和运动垂直方向的最大截面积有关。例如，跳伞者自飞机跳下，如张开降落伞的极限速度约为５ ｍ/ｓ，而不张开降落伞的极限速度约为５０ ｍ/ｓ，相差１０倍左右。

３    有阻力的斜抛运动

４    讨  论

此结果与１．１完全一致。

讨论３   轨迹开始时虽近似于抛物线，但当x值逐渐增大时（取vx0为正），轨迹的形状也就逐渐与抛物线的形状越差越大了。由上述讨论还可以看出，当ｘ趋向于时，ｙ趋向于负无穷大，即轨道在x=处变成竖直直线。

参考文献：

［１］叶柯． 有阻力竖直上抛的运动时间［Ｊ］．物理教学，１９９１，13（６）：１１.

［２］同济大学数学系.高等数学（第六版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：２１－２９.

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2023-12-18

基金项目：四川省哲学社会科学重点研究基地、四川省教育厅人文社会科学重点研究基地、四川省教育发展研究中心立项课题“‘五育并举视域下校本化育人体系构建实践研究”（ＣＪＦ２３０２８）。

作者简介：王永雄（１９８３－），男，中学高级教师，主要从事高中物理竞赛与强基计划培训。