小学数学教材中数学文化资源的融合开发

摘要 随着课程改革的不断深入，数学文化的教育教学价值日益凸显。以特色版块“你知道吗”为载体，聚焦数学文化资源，依据其在课堂教学中的不同功能定位，形成数学文化资源融合模式：包含结构融合模式、互补结构融合模式、延展结构融合模式和提升结构融合模式。基于这些融合模式，设计“萌发—生长—丰盈”“一维—两维—多维”“起步—延展—融合”“追问—思辨—提升”四条教学路径，以期更好发挥数学文化“以文化人”的育人作用。

关  键  词 小学教学；数学文化；数学文化资源；“你知道吗”

引用格式 王卫东.小学数学教材中数学文化资源的融合开发[J].教学与管理，2024（20）：67-71.

数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动[1]。数学文化是人类的物质与精神财富，也是数学学科教学的重要组成部分。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下称《2022版课标》）在“课程理念”部分强调，数学课程内容的选择“要关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化”[2]。数学文化并非自生自灭的封闭系统，而是一个开放的系统[3]，包括数学家、数学史、数学游戏、数学教育、数学在其他学科中的应用等内容。研读现行的人教版、苏教版及北师大版小学数学教材后发现：数学文化渗透在教材中的每道例题、习题里，除此以外，教材还设置了特色版块“你知道吗”，并以此为载体将数学文化加以集中呈现，这为在数学教学中融入数学文化提供了很多宝贵的、权威的教学资源。

然而，在日常教学活动中，对待数学文化资源时，有些教师常常止步于简单处理，学生浅尝辄止，一读了之；有些教师甚至认为，数学文化资源属于拓展内容，不在考试范围内，为“节约”课堂教学时间，他们甚至选择视而不见，一“跳”而过。那么，教材中的数学文化资源如何与例题、习题的教学相融合，才能发挥其教育教学价值呢？本文以教材中特色版块“你知道吗”为载体，探讨数学文化的融合开发。

一、数学文化资源的教材分析

当数学文化的魅力真正渗入教材，到达课堂，融入教学时，数学就会平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学[4]。因此，数学文化资源与例题、习题教学的融合开发应从研读教材开始，唯有在深度理解教材的基础上，我们才能创造性地运用教材，才能更有效地发挥数学文化的育人价值。基于这样的认识，笔者将人教版、苏教版以及北师大版教材中“你知道吗”的内容进行对比，发现其中涉及的数学文化资源具有以下三个编排特点。

1.教学内容具有主次性

上述三个版本的数学教材中，“你知道吗”作为例题、习题的知识背景，常常被编排在某个知识节点的结尾处，起着延展例题、习题内容的作用。如果把教材中例题、习题内容看作数学课堂教学的“主食”，那么教材中的数学文化资源就好比是“辅食”，两者在编排的数量、篇幅方面存在较大差异。这种主次分明的编排特点是由课程标准设置的课程内容所决定的，但需要注意的是，虽然与“主食”相比，数学文化所占比例不高，但其作为“辅食”的营养价值却不可忽视。

2.编排分布具有不均衡性

数学文化渗透在教材的每一个细节中，但以“你知道吗”为载体的数学文化资源，在编排时却存在分布不均衡的特点。以苏教版教材中涉及到的数学史为例（见表1），从学段来看，第三学段有10处，第一学段只有5处；从知识领域来看，“数与代数”领域高达16处，而“概率与统计”领域只有1处。即便在同一知识领域，不同学段里的数学文化资源也存在着数量上的差异。

3.内在关联具有不稳定性

“你知道吗”中涉及的数学文化是例题、习题的延伸，它与教材知识点之间有着很强的关联性。如在学习方程时，三种版本的教材中都不约而同地引入了人类利用方程解决问题的历史，介绍了我国《九章算术》中的方程思想。因此，知识之间的内在关联也就决定了数学文化之间的结构关系，但教材中并非每个知识点之后都编排有“你知道吗”，这就造成了数学文化资源之间的关联程度时强时弱，具有不稳定性。

二、数学文化资源的融合模式

从教材编排特点可以看出，立足数学文化资源与例题、习题的关联，对它们实施融合开发，既顺应教材的编排特点，也符合学生的认知习惯，是一条切实可行的思考路径。为此，笔者基于为数学课堂教学服务的理念，根据数学文化在课堂教学中的不同功能定位，对数学文化资源与相应的例题和习题之间的关系进行分类，由此形成了四种融合开发模式：包含结构融合模式、互补结构融合模式、延展结构融合模式和提升结构融合模式（如图1）。其中A部分表示的是教材中的例题和习题，B部分表示的是教材中“你知道吗”板块中涉及的数学文化资源。

1.包含结构融合模式

顾沛教授认为，从狭义上说，数学文化包含数学精神、数学思想、数学方法、思维和观点，以及它们的形成和发展。从广义上说，除了上述内涵外，数学文化还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。其实，不管从哪个层面来看，教材中的例题、习题都属于数学文化资源的一部分，数学文化包含且润泽着例题、习题的教学，伴随着学生学习数学的整个过程。

2.互补结构融合模式

《2022版课标》指出，要让学生“能够探究自然现象或现实情景所蕴含的数学规律，经历数学‘再发现的过程”[5]，但受到文字篇幅、教学时长等因素的影响，教材中的例题和习题有时无法完整展现知识的萌发、发展以及丰盈的全过程。此时，“你知道吗”中的数学文化资源就可以发挥补充功能，通过完善知识体系、丰富探究方法、讲述数学故事、介绍数学历史等方式，实施对例题、习题教学的必要补充。

3.延展结构融合模式

例题和习题是落实课程内容的主要载体，承担着实施课程教学的重要任务，因此在不同的年级阶段，教材都有着明确而又具体的知识教学要求。与例题和习题不同的是，数学文化资源无需承载着上述教学要求，但作为教材编排的延展内容，它们理应发挥前延和后展的教育功能。这里的前延与后展，既可以表现为对知识领域的拓展，也可以表现为对数学思想的贯通，还可以表现为对数学视野的开阔，等等。

4.提升结构融合模式

王梓坤指出，“向数学精英学习，学习他们先进的思想、方法和技巧，尤其是热爱数学、追求真理的精神。”[6]也就是说，数学教学带给学生的不仅仅是知识的习得，还有关键能力的提升，更有必备品格的塑造。发挥数学文化的提升融合功能，可在例题、习题教学中更好地实现育人的价值。因为与教材中例题、习题的内容相比，“你知道吗”中提及的数学家研究数学的过程更鲜活、更具体，数学发展演变的历程更生动、更直观，对激发学生创新意识，培养理性精神也更为直接。

三、数学文化资源的教学路径

1.基于包含结构融合模式，以“萌发—生长—丰盈”为教学路径，建构知识体系

数学具有简洁性，古今中外的数学家都追求数学发现的简洁表达。然而，在这些凝练的数学文字和符号背后，承载着数学知识慢慢孕育、不断生长的过程，也记录着人类勇于探索、敢于创造的数学历史。数学知识的发展历史是数学文化的重要组成部分，借力数学史的教学，能够引导学生认识到数学知识的来源与发展，体验和感悟数学发展变化的特点，进而引导学生深入地理解数学知识、认识数学特征[7]。基于这样的认识，我们以数学历史为教学主线，在数学文化的滋养下带领学生开展学科实践，让他们像科学家一样去思考，在提出猜想、实践操作、验证猜想、形成结论的过程中，逼近数学知识的本质，感受数学文化的脉搏。

以“圆的认识”教学为例，北师大版数学教材六年级上册“圆的认识（一）”中编排了如图2的数学文化资源：

“圆，一中同长也”，这是古人在对圆的特征有了充分认识的基础上，进行的一种精准而又凝练的表达，在很多经典的教学课例中都有着精彩的演绎。其实，古今中外关于圆的数学文化还有很多，如何将这些零散的数学文化资源进行整体建构，使之伴随认识圆的整个过程呢？为此，教师采用包含结构融合模式，发挥数学文化资源的包含功能，以“萌发—生长—丰盈”为教学路径，设计教学活动（见表2）。

上述教学活动中，教师引入数学文化“圆，一中同长也”“不以规矩，不能成方圆”“一切平面图形中最美的是圆形”，并以教学板块的形式将它们串点成线，贯穿于整个学习过程，从而保证课堂教学的整体性与层次性。此外，从三句数学名言衍生出三大学习任务、进而聚焦三大核心问题，使得例题、习题的教学得以浸润在数学文化之下，从探究圆的特征到掌握圆的画法，再到感受圆的魅力，数学知识在学生的心中悄然萌发、生长、丰盈。此外，在课的结尾部分，教师还引导学生在三句名人名言的基础上说出属于自己的“经典名言”，以此鼓励他们去发现、思考、创造，实现了数学文化的传承与创新。

2.基于互补结构融合模式，以“一维—两维—多维”为教学路径，丰富探究方法

数学文化是人类哲学思想与实践智慧的结晶，不同的时代、不同的地域、不同的环境，使人们对数学有着不一样的理解，也有着更为丰富的表达。然而，学科数学不等同于科学数学，为了遵循学生的认知特点和教育规律，也为了节约教学时间、提高教学效率，例题和习题中呈现的数学知识往往更纯粹、探究方法更优化、数学思想更清晰。但我们不能因此而一叶障目不见泰山，误以为这些就是数学的全部。为此，教材通过特色板块“你知道吗”对例题、习题进行了必要补充，其中不乏经典的数学文化资源。在课堂教学时，教师要发挥这些数学文化资源的补充功能，将它们和例题、习题的教学有机融合。

例如，哥德巴赫猜想是“数学皇冠上的明珠”，我国数学家陈景润在此领域取得了举世瞩目的研究成果。在学生学习完倍数与因数之后，人教版、苏教版五年级数学教材均拓展了相关内容。面对这一数学文化资源，教师们通常会让学生通过阅读了解哥德巴赫猜想，见证陈景润的巨大贡献，以此激发民族自豪感。这样的教学固然需要，但我们的教学不能止步于此。

仔细研读教材后不难发现：分解质因数是将合数分解成质数相乘的形式，哥德巴赫猜想是将数的分解形式从质数相乘扩充到质数相加，而数学家陈景润“1+2”式的证明，更是将数的分解形式拓展至加乘混合。毫无疑问，教材中的数学文化资源极大地丰富了数的探究方式，形成了对教材例题与习题的有效补充。为此，笔者基于互补结构融合模式，发挥数学文化资源的补充功能，以“一维—两维—多维”为教学路径，将数学文化资源进行深度开发：从质数相乘的形式到质数相加的形式，再到加乘混合的形式。在学习活动中，探究的路径从单一到多元，思维的方向从定向到发散。更为可喜的是，不少学生受此启发还联想到新的猜想：数的分解还有其他形式吗？由此，他们的创新意识得以唤醒、探索兴趣得以激发。

3.基于延展结构融合模式，以“起步—延展—融合”为教学路径，贯通数学思想

经验就是从已经发生的事件中获取的信息，它是认识的初级阶段，在学习活动中有着无法替代的作用。杜威就曾提出：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”儿童的认知过程离不开经验的积累，在数学文化与课堂教学融合的过程中，教师以例题或习题中习得的经验为起步，借助教材中数学文化资源的延展功能，通过迁移与变式对学生已有的经验加以丰富，进而在内化与重构中实现新旧经验的有效融合。

比如，关于平行四边形面积计算公式的推导方法，在现行人教版、苏教版教材中，例题采用的都是“割补法”，即把平行四边形沿着高剪开后，补成一个面积相等的长方形，但在推导三角形、梯形的面积计算公式时，采用的却是“倍拼法”，即把两个完全相同三角形（或梯形）拼成一个平行四边形。虽然都是把新知转化为已知，但转化路径却完全不同。平行四边形、三角形和梯形编排在同一个单元，为什么采用的教学方法却不一样呢？究其原因，如果三种图形转化时都采用“倍拼法”，则两个完全相同的平行四边形拼起来后仍然是平行四边形，无法将新知转化为旧知；如果都采用“割补法”，则把三角形、梯形沿着高剪开后，很难拼成一个等积的长方形。

如何才能让学生感受到转化思想的一致性呢？教材编排的数学文化资源“半广以乘正从”为解决这一问题带来了启发（如图3）。为此，教师基于延展结构融合模式，发挥数学文化资源的延展功能，以“起步—延展—融合”为教学路径，开展这样的教学活动：起步阶段，在学生学习完例题的基础上，通过提问“这样的方法正确吗？”引导学生展开推理活动，认识到“半广以乘正从”方法的正确性与合理性。延展阶段，再次追问“教材中呈现的是等腰三角形，对于其他类型的三角形是否也可行呢？”由此引导学生从特殊到一般，探究“半广以乘正从”方法的普适性。融合阶段，通过反问“这样的方法可以推导出平行四边形、梯形的面积计算方法吗？”进而实现“以盈补虚”思想的贯通（如图4）。

4.基于提升结构融合模式，以“追问—思辨—提升”为教学路径，培养理性精神

理性精神是数学素养之一，也是数学文化的精髓所在。《2022版课标》指出，要让学生在数学学习的过程中“发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神”[8]。

在学习用方程解决问题时，教材编排了关于方程的数学发展史，我国古代数学家在这方面的贡献也不容小觑（如图5）。为了彰显数学文化的力量，教师采用提升结构融合模式，发挥数学文化资源的提升功能，以“追问—思辨—提升”的教学路径实施教学。

当学生读完材料之后，教师追问：表示未知数时，我国古代数学家用的是“天元术”，西方数学家用的是字母，它们都能解决一些问题，可为什么我们现在学习方程时，通常是用字母来表示未知数呢？这样的追问引发学生热烈的讨论，他们的思辨活动由此展开：有的同学猜测，用“天元术”表示未知数时写的汉字比较多，笔画也多，没有字母写起来简洁方便；有的同学认为，中国古代的数学确实很辉煌，但是中国近代的数学并不发达，自然也就很难有机会在全世界传播开来……在此基础上，教师再次追问：“既然现在学习方程时，没有沿用‘天元术，为什么教材还要介绍它呢？”深思之后，有的学生提出了这样的观点：这些都是我们祖先的智慧，作为后人，我们应该把自己国家的文明传承下去；有的学生认为，只有认识到自己的不足，才会激励我们奋发图强，创造更先进的中华文明……透过这些看似平淡的数学史料，学生在思辨中寻到自己的答案。他们的理性思维在提升，理性精神在闪耀，与此同时，增强文化自信，培养民族自豪感，塑造积极向上的价值观。

教育犹如一条大河，文化就是河的源头和不断注入河中的活水，研究教育而不研究文化，只能知道这条河的表面形态而摸不着它的本质特征[9]。数学文化和数学素养相辅相成，它们的指向相同，都是为了学生的发展，但教师在将它与教材中例题、习题教学相融合时，不能生搬硬套，更不能本末倒置，而要根据教与学的需要融合开发，这样才能借助数学文化的滋养，让学生见证数学知识的由来与未来，感受思想方法的鲜活与灵动，感悟文字背后的精神与力量。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020：10.

[2][5][8] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[3] 郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2001：5-10.

[4] 张奠宙.数学文化[J].科学，2003，55（03）：50-52.

[6] 王梓坤，为当代数学精英——菲尔兹奖得主及其建树与见解题词[M].上海：上海科技教育出版社，2001：2.

[7] 康世刚.小学课程中的数学文化：内涵特点、主要内容与学习价值[J].课程·教材·教法，2022，42（03）：99-105.

[9] 顾明远.中国教育的文化基础[M].太原：山西教育出版社，2004：1.

[责任编辑：陈国庆]