小学“数概念”教学的联结性建构路径

摘要 数学学习过程不是局限于某一知识点的封闭、点状、线性的学习过程，而是一个纵向重在立序、横向突出贯通、运用走向实践的联结过程。数学教学可通过联结数学史料，追溯本源；联结已有认知，深化理解；联结多元表征，推论内涵；联结认知断点，构建体系等实践路径，对“数概念”实施联结性、生长性建构。

关  键  词 “数概念”；数学史；认知经验；多元表征；知识断点；联结性建构

引用格式 于勇.小学“数概念”教学的联结性建构路径[J].教学与管理，2024（20）：33-37.

“数概念” 的认识担负着数学启蒙、生长认知、扎实根基等重任，可为儿童正确理解和把握现实世界、形成和扩展个人智力结构、提升运算及代数思维水平提供坚实可靠的基础。鉴于此可见，“数概念”作为小学数学各领域知识的“基石”和学生数学核心素养的重要组成部分，着实重要。然而，小学“数”认识的相关学习内容的分布比较零散，加之现有教材呈现的多是高度凝结的专家结论，使得学生在学习过程中难以体悟数系扩充的逻辑，也难以厘清概念的“前世”、本源及演变过程。毛斯莱曾经指出，联结包括建立新信息与已有认知之间的联结、不同数学概念及其表征之间的联结、数学概念与现实生活相关现象之间的联结等基本样态[1]。基于此，笔者尝试把联结性建构作为教学实践的核心路径，将数概念教学置于一个含有不同的认知成分的视野中，促进学生对数概念的理解、运用与迁移。

一、联结数学史料，追溯数概念本源

一个数学概念，作为人类千百年思维抽象的结晶，仅仅根据它最终形式化、结构化的表述，普通人很难深入把握其确切的本质意义，只有将之与其产生时复杂、反复、抽象的历史过程予以关联、融合，才更容易被后来的学习者调动起全部的经验积累，支撑他们建构概念的全部含义[2]。克莱因曾经指出：“数学史是教学的指南。”HPM视角下的数学教学需要还原复现被教材剥离的“人文元素”，引领学生将新知置于宏大的历史背景中予以考量，站在历史的角度看待数学知识、思想与方法的发生、发展全程，将知识的历史序、逻辑序及儿童的认知序高度融合，由此实现对知识本质意义与核心问题的深层次理解[3]。作为跟人类生产实践、生活与认知需要密切相关的数概念，尤其需要高度关联与之相关的时代背景、历史根源，在追溯本源、聚焦本质的建构过程中实现对数学知识的结构化理解。

如苏教版《数学》二年级下册“认识万以内的数”的拓展提升课教学。在学生基于直观模型初步认识、理解数位及十进位值制记数法的基础上，融入我国古人的算筹记数法，在探究过程中，再度推进对十进位值制基本内涵与数学价值的理解。首先，教师引导学生了解我国古代的算筹记数方法，探究发现其中蕴含的基本规律。教学时，教师利用视频、结合算筹图片（如图1），介绍我国古人是怎样利用算筹记数的，同时以数字12的算筹摆法为例引导学生思考算筹记数存在横式、纵式两种形式的内在原因，并以此为基础，读懂教师给定的算筹图片所表示的数字及摆法，为从算筹记数法的了解转向现代记数法的学习预埋伏笔。

接下来，给予学生充分的时间与空间，让他们以小棒代替算筹用算筹记数法摆出678、4444等数字（如图2），在作品展示、交流摆法的过程中进一步深化对算筹记数法的认识，同时将之与现代的记数法关联对比，进而发现两者都采用了“十进位值制”，都是在利用不同数位表示个、十、百、千等，区别在于表示各数位计数单位个数的形式不一样，前者采用的是算筹，后者采用的是阿拉伯数字，较前者更简洁、更方便。 在上述探究学习过程中，学生追溯现在所学知识的前世和本源，在深化概念认识、丰富认知结构的同时，体会到数学是求真至简与数学家接力研究的结晶，感受到数学是不断前进、不断发展的。

用于与新知联结的数学史不一定贯穿课堂始终，亦可结合实际教学需求，将数学史料融接于某一教学环节，以便学生更好地厘清概念的来龙去脉与本质所在，使他们在“知其所以然”认知层级上获得更为全面、深刻的认识与理解。如苏教版《数学》三年级下册“小数的初步认识”。教学时，教师首先出示用不同面值的人民币表示的某种商品单价的图片，让学生用小数表示商品的单价，接着以问题“这种商品的价钱不是整数元，怎么办呢”适时介入，告诉学生其实前人也遇到过类似的问题，那他们又是如何解决的，顺势引出不同国家、不同时期对非整数元的表达方式（如图3）。学生逐一解读各自的表达方法，初步感受这些方法虽有所不同，但都是用相应的符号将整数元部分与非整数元部分分隔开来[4]。然后，带领学生以14世纪中国小朋友的身份穿越到1427年的阿拉伯等国家，看能否真正读懂其表达方式所蕴含的意义，让学生体会到统一分界号的必要性与必然性。最后，融入小数点产生的史料，由此了解到小数点是由德国数学家克拉维斯在其著作《星盘》一书中率先提出来的。基于此，引领学生深刻感悟到一个不起眼的小数点，却经历了从无到有、从繁到简的漫长、曲折的过程，进而将学生探究从简单了解转向深入理解。

教师带领学生经历数概念演变、诞生的历史过程，是重建学生数学学习内在秩序的过程，不仅可以利用清晰有序的知识脉络及概念产生的关键节点提供核心概念的意义与作用，还可以丰富课堂文化意蕴及学生的认知结构，进一步提升学生数学核心素养及求真求简的人文底蕴。

二、联结已有认知，深化数概念理解

数学知识不是孤立、割裂存在的，而是具有突出的关联性、整体性特点，学生对数学新知识的理解与个人已有知识经验是密切关联的，新知的获得往往是对已知进行扩充、改造与再建的过程。学生是带着已有经验进入课堂的，这是学生数学概念学习的认知基础、理解前提与思维背景。在数概念教学中，教师要站在儿童立场，对已有认知结构进行挖掘、整理与加工，充分挖掘新旧知识之间的内在联系，充分发挥他们已有知识与经验的迁移价值，引导学生从抽象地认识到形象地理解，从记忆性存储到意义性建构，从而帮助学生深化概念理解，在把握数学本质与认知生长的过程中，实现整体建构与自身认知结构的重组[5]。

又如“小数的初步认识”的教学。小数既有整数的形式，又兼具分数的内涵，如何让小数的认识与整数、分数等已有知识实现有效关联，在经验生长过程中形成完整的结构性认知，同时为五年级“小数的意义与性质”的教学预留认知结构与思维结构的接口，成为“小数的初步认识”教学的基本指向。为此，笔者“溯源而上”，寻找生长点，探寻知识源头与发展脉络，同时“顺流而下”，厘清知识的发展走向，解决学习“要到哪儿去”的问题，尝试把对小数的认识与十进分数、整数进制等已有认知整体关联，由此促进学生系统理解一位小数的意义，为整体把握小数概念的本质奠定基础，引导学生实现自身认知结构的重组与再构。

1.在前后衔接中构建整数的数位顺序表

教师引领学生回忆整数的认数过程，引导学生以从右往左与从左往右两个不同维度观察，思考相邻计数单位间的关系，深度理解十进制计数原则，再聚焦“从左往右看，你能创造出比‘一更小的计数单位吗？”这一问题，由此激活学生的创造欲望与认知生长点。

2.在与十进分数关联中构建零点几及其模型

教师放手让学生借助正方形模型自主探究，在与十进分数关联的过程中初步建构0.1，知道0.1=；以此为基础，引导学生以长度单位、人民币单位模型再次构建0.1，以“图形不同，物体不同，为什么都可以用0.1表示”引发学生深度思考，只要把“1”平均分成10份，其中1份就是，也就是0.1；接着引导学生从刚才的学习资源中选择一种，自主构建出0.3、0.6等小数，同时思考这些小数与0.1的关系，基于数学推理、认知归纳获得“零点几就是十分之几”的基本结论，并引导学生构建出一般模型：=0.□。

3.在与整数计数器关联中生成十分位

教师引导学生思考：这么多一位小数中哪个最具代表性，由此明确0.1是一位小数的计数单位，它可以帮助我们数出其他的一位小数；接着要求学生利用依次增加的方法数出0.9，随后继续思考，如果再增加一个0.1是多少，进而得知10个0.1就是1；基于此，放手让学生在计数器上表示出0.1，引领学生在思辨、体悟中得知0.1这个新计数单位比1小，不能在原计数器上直接表示出来，需要在个位右边增加一个新的数位，教师顺势在计数器图示中增加十分位。

4.在与整数进制关联中理解小数的十进、十分特征

教师引导学生在十分位上拨出数珠，拨出1颗表示0.1，2颗数珠表示0.2，直至拨满10颗数珠，由此体会十分位满10要向个位进1，厘清10个0.1就是1个一，1个一可以分成10个0.1，再结合其他数位进一步思考满十进一，帮助学生理解小数与整数一样都是十进制数，都是满10进1。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在数学教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来有支撑意义的结构化数学知识体系[6]。上述关联设计深刻而立体、全面而丰富，使得学生在数学认知中跳跃而出，发展他们的整体性、结构化数学思维，形成从理解到迁移的结构化策略，实现小数概念自我认知的突围，同时为学生后续学习中的意义建构留下伏线。

三、联结多元表征，推论数概念内涵

莱什等人提出了数学概念的五种外在表征系统：图像、操作模式、现实生活情境、口语符号和文字符号。多元表征实际上就是这五种表征之间的转换、联结与转译，特别有助于数概念的深度理解与整体建构。心理学相关研究指明，人脑对形成性、同化型、符号化、约定式等不同类型概念本质属性的思维方式是有差异的。小学阶段的整数、分数、小数、负数、百分数等都属于符号化概念，这类概念是对一类具有数学基本特征的操作活动进行多元表征及高度符号化抽象的结果。因此，在数概念教学实践过程中，需要引导学生深度挖掘概念蕴含的核心元素与关键要义，经历“多元表征符号—提炼表征共性—推论概念内涵”的过程，在体现知识结构化的同时实现思维的结构化[7]。

如苏教版《数学》三年级“分数的初步认识（一）”与“分数的初步认识（二）”整合课课例，特别注重对数学操作活动进行多元表征与本质属性的提炼，在符号与活动的互译中理解与建构数概念。

1.多元表征操作活动，抽象典型符号

儿童所处学段特征、具体运算阶段的认知规律及思维特点，决定了他们对符号化概念一定要经历从特殊到一般、从具体到抽象的认识学习过程。教学时，教师首先创设“人间四月，踏向诗和远方”的春游教学情境，同时提供4根香蕉、2瓶矿泉水、1个月饼的实物图等相关学习材料，以启思性问题“两人平均分享这些食物，应该怎样做”驱动学生开展分一分活动，激活学生头脑中的“半个饼”这一概念原型，并在此过程中认识典型符号的外部特征、读法、写法等。然后，再以关键性问题“分数究竟是怎么产生的”引领学生以圆形纸片代替月饼，利用折一折、画一画、说一说等多元表征活动感受、经历的产生过程，同时揭示“平均分”“总份数”“表示份数”等认识分数的三个关键要素。最后，以关联性问题“老师刚刚提到的三个关键要素在分数中是如何体现的”引发学生将表征活动与抽象出来的数学符号勾连，由此得知“总份数”用分母表示，“表示份数”用分子表示，分数线表示“平均分”。认识的过程，实质上是以“怎样均分”“如何产生”“有何关联”三个问题构成的问题链引导学生经历把多元表征操作活动抽象成数学符号的过程，这是符号化概念理解学习的关键一步。

2.联结解读多元表征，提炼表征共性

教学时，教师先引导学生借助在平均分月饼找到的过程中积累起来的操作经验，让其自主找到4根香蕉、2瓶矿泉水的，并结合操作过程予以口语化释意，再以核心问题“2根香蕉、1瓶矿泉水、半个月饼表示的数量不同，为什么都可以用表示”引导学生初步感悟分数跟用来平均分的物体的数量、大小等没有关系，而跟平均分的总份数与表示的份数密切相关。随后，教师以学生刚刚积累的经验为基点，给予学生充分的时间与空间，让他们利用剪一剪、折一折、画一画、涂一涂等表征手段认识等分数，引导学生把抽象的符号化概念还原成具体的操作活动，在数学符号与操作活动之间建立关联，同时选择部分代表作品由学生对自己的表征方式、建构过程及分数表示的意义进行口语化解读与外在呈现，由此实现概念符号与操作活动、抽象意义与具象认知之间的自由转化。接着，教师引导学生结合对学生作品的解释，对它们予以关联性思考，以研究这些作品间的异同为驱动，同时以核心问题“作品阴影部分的形状、大小都不同，为什么都可以用表示”启发学生对其共性的提炼与把握，由此明确：只要把单位“1”平均分成4份，表示这样的1份就可以抽象为。最后，教师对抽象数学符号的操作表征活动，以及把数学符号还原成操作活动的认知过程进行高度凝炼，进一步梳理、感受这两类操作活动的共性：无论是生活实物，还是几何图形；无论是多个，还是一个；无论是大小、形状不同，还是颜色各异，分数符号只跟平均分成的总份数与表示的份数有关，而跟其他因素无关。

3.由“点”拓展到“面”，实现概念类化

在符号化概念认知建构的过程中，一次操作活动往往只能对应一个具体的符号概念，认识与的过程就是如此。如果仅仅依靠这两个具体的符号化概念去上升到理解“分数”这一类概念的本质属性是不现实的，教师还需要在学生认识不断递进的过程中拓宽概念外延，让学生真正认识感悟到与一类符号化概念关联的所有操作活动都是有共性的，进而在提炼共性、认知跃升的过程中实现概念类化。教学时，先以与为类推点，引导学生通过画一画、折一折、写一写、说一说等表征方式认识更多的分数，经历对多个具体符号化概念的表征过程，展示对不同分数意义的理解，为深入体会和归纳分数的本质属性提供更多资源。查阅、分析相关文献会发现：分数具有“量”“份数”“商”“测量”“运算”“倍比”等多层意义[8]。教学需要突破“份数”意义的窠臼，借助丰富多元的素材，引领学生找一找其中的分数，说一说各自蕴含的意义及产生，由此拓展丰富分数的意义，实现对分数内涵认知、理解的进阶。

四、联结认知断点，构建数概念体系

布鲁纳认为，掌握事物的结构，就是以允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它，学习知识结构就是学习事物是怎样相互关联的[9]。基于数系及数系扩展的角度思考，发现小数、分数、整数等数概念同样有着紧密的关联，需要通过计数单位间的“十进”“十分”将三者间的认知断点有机地联系起来，进而构建完整的数概念体系，实现数概念意义的结构化、集约型整体建构。

如苏教版《数学》五年级上册“小数的意义”教学，教师通常借助直观图示，沟通小数与十进分数的内在关系，将小数意义的理解与建构建立在十进分数的基础之上。教学到此结束，这无疑会给学生留下诸多认知断点，使他们对小数意义及价值的认识与体会只能停留在肤浅与表面。教师需要从知识联结、思维联结、方法联结的角度出发，将教学再向前推进一步，逐步强化、完善对小数意义的理解，进而建构起可迁移运用且极具生长力的概念体系。

1.沟通小数与整数、分数的内在联系

教学时，教师引导学生梳理回顾整个学习过程，得知小数是以“1”为基础，是对“1”的不断细分，每次都平均分成10份，不断产生新的计数单位，从左往右计数单位越来越小，没有最小的计数单位，但相邻计数单位间的进率都是10。顺势而导，教师让学生从“1”开始，依次乘10，向左可以建立“十”“百”“千”等越来越大的计数单位，而且可以无限延申，但相邻计数单位间的进率同样都是10，数的计数单位结构体现出简洁的对称美。最后，教师引导学生借助图示工具，对小学阶段常见的计数单位进行系统梳理，使整数部分和小数部分共同构建为一个完整的数位顺序表，形成一个统一的记数系统，使得学生对十进制记数法形成更清晰、更完整的认识。

2.追问、思考小数独特的数学价值

通过前述教学实践，学生已经明确小数是十进分数的另一种形式，两者表示的意义是一样的。可以想见，学生势必会产生这样的疑问：既然小数与十进分数表示的意义相同，计量比“1”更小的数只要用分数表示就可以了，为什么还要发明小数呢？这一认知断点无疑指向了小数所独有的数学价值。教学时，教师让学生通过画一画的方式在计数器上表示出，再让学生在计数器上表示出，同时说一说思考过程，最后将两次在计数器上表示分数的过程进行对比，进而引导学生发现后者只有转化成十分之几或零点几的形式，才可以在计数器上表示出来。在对比中学生逐步意识到分数要想像小数、整数那样在计数器上找到自己的位置，往往需要借助小数来转换，小数是分数与十进制之间的桥梁。只有如此，分数与整数才能在形式上获得真正意义上的统一，小数区别于分数的独特价值于此得以凸显[10]。

数学是一门有结构的学科，数学教学需要发挥结构的力量[11]，以儿童自主建构为中心的结构化学习尤其需要整体关联活动及数学联结力的支撑。综上所述，小学“数概念”教学需要基于核心知识、思维结构和思想方法等学科内部要素间的关联及数学与其他学科、人文资源、现实生活间的外部关联，让学生经历有结构、能贯通的学习活动，凸显意义整体建构与对知识本质的把握，使数系结构随之逐步调整、不断扩充。

参考文献

[1] 陈六一，章勤琼.基于“联结”，让学生建构数的网络——“数字地图”的教学思考与实践[J].小学数学教师，2021（01）：26-30.

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[3] 于勇.数学史融入课堂：高品质教学的实践路径[J].江苏教育研究，2022（Z5）：71-76.

[4] 井兰娟，潘丽云.数学史融入小学数学课堂教学的研究与实践——以小数的初步认识为例[J].中小学数学（小学版），2019（09）：3-8.

[5] 高小娣.把握概念本质 实现整体建构——“认识小数”数学解析[J].小学教学（数学版），2023（05）：40-43.

[6] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：85.

[7] 吕立峰.小学数学概念分类教学的实践与思考[J].小学数学教师，2023（02）：5-17+2.

[8] 于勇.基于结构化视角的“数概念”单元整体教学理性思考及实践探索——以苏教版“分数的意义和性质”教学为例[J].中小学教师培训，2024（01）：69-75.

[9] 布鲁纳.教育过程[M].邵瑞珍，译.北京：北京文化教育出版社，1982：28.

[10] 朱国军.本源性教学，让小数更有意义——“小数的意义”教学实践与思考[J].小学数学教师，2021（01）：40-44.

[11] 葛素儿.数学联结力：内涵、价值与测评例举[J].小学数学教师，2023（05）：5-9+2.

[责任编辑：陈国庆]