基于等容瞬时单位线的水文模型研究

闫宝伟 唐仪伟 刘昱 古东霖 孙明博

收稿日期：2023-12-21；接受日期：2024-03-12

基金项目：国家自然科学基金项目（52079054）

作者简介：闫宝伟，男，副教授，博士生导师，博士，主要从事水文基础理论研究。E-mail：bwyan@hust.edu.cn

Editorial Office of Yangtze River. This is an open access article under the CC BY-NC-ND 4.0 license.

文章编号：1001-4179（2024） 06-0092-06

引用本文：闫宝伟，唐仪伟，刘昱，等.

基于等容瞬时单位线的水文模型研究

［J］.人民长江，2024，55（6）：92-97.

特邀作者简介

闫宝伟，

男，副教授，博士生导师，博士，就职于华中科技大学土木与水利工程学院。主要研究方向包括：人工智能+水文预报、水文模型及不确定性分析、水库防洪调度及风险评估、流域洪旱灾害预警及风险评价。近年来，主持和参与国家自然科学基金、国家重点研发计划以及其他国家重大工程应用项目20余项，取得的标志性成果有：理论上创立了广义Nash汇流理论，技术上创新了反映空间异质性的流域产汇流建模方法，发展了变化环境下工程水文计算与风险评估方法，应用上研发了水文水资源预报预警及风险评估多套系统。研究成果获省部级奖励6项，授权发明专利10余项，在权威期刊发表高水平学术论文60余篇，包括中国精品科技期刊顶尖学术论文（F5000）1篇、SCI/EI检索30余篇。

摘要：流域下垫面空间分布的不均匀性对径流的形成有较大影响，流域蓄水容量曲线解决了流域产流空间异质性的问题，但在采用瞬时单位线进行地表汇流计算时，又将其作为空间分布均匀的净雨处理，局部产流并没有实现局部的汇流。考虑汇流时间与蓄水容量的空间相关性，通过Copula函数构造二者的联合分布，以条件概率的形式反映不同蓄水容量处汇流时间的空间分布特征，进而以等蓄水容量为计算单元，提出了等容瞬时单位线的概念，相当于采用变单位线的方式计算单元产流量的地表径流，从而可以实现局部产汇流计算过程的统一。由此，创建了基于等容瞬时单位线的水文模型IIUHH，并根据Copula函数的类型构建了多种形式的IIUHH，最后选择清江上游作为案例进行验证。结果表明：Clayton型的IIUHH在研究区域表现更优，相比于新安江模型，Nash效率系数可以提高4%～12%，Kling-Gupta效率系数可以提高13%～27%，洪峰相对误差则可降低26%～36%，较大程度上提高了洪峰和洪水过程的模拟精度。研究成果可为流域高精度径流预报提供技术支撑。

关  键  词：等容瞬时单位线； 水文模型； 蓄水容量； 空间相关性； 新安江模型； 清江

中图法分类号： TV11

文献标志码： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.06.013

0  引 言

流域水文模型是研究水文自然规律和解决水文实际问题的主要工具，它以整个流域水文系统为研究对象，根据自然界中降雨、蒸发和径流等水文过程运动规律建立相应的数学模型，借助必要的计算工具，模拟、分析和预测流域内水体的存在方式、运动规律和分布状况等。流域内的自然水体运动规律复杂，如何通过适当概化，利用现有方法体系去描述流域水体的自然运动规律，达到高度近似或逼近真实物理过程的目的，一直以来都是水文学要解决的核心问题。降雨和下垫面的空间异质性是水文过程非线性的主要根源，是制约水文模型发展的关键因素。自从20世纪50年代流域水文模型的概念提出以来，水文模型在描述水文过程的机理上经历了系统性模型、概念性模型、物理性模型的发展历程，同时在降雨和下垫面空间变异性的处理上也从集总式模型走向分布式模型［1］。分布式水文模型通过空间离散的方式解析降雨和下垫面的空间异质性，能够更好地反映真实的物理过程。然而，在实际应用中，相比集总式水文模型，分布式水文模型并没有体现出其应有的优势，模拟精度没有实质性提高，水文模型的发展陷入了瓶颈期。

降雨和下垫面空间异质性的科学描述成为水文模型尤其是概念性水文模型的“卡脖子”难题，构建包含这些影响因素的流域水文模型是水文学家追求的目标［2］，同时也是提高预报精度的重要突破口。概念性水文模型常通过引入蓄水容量曲线反映下垫面空间分布的异质性。例如，新安江模型采用抛物线［3］、双抛物线［4］或Erlang分布曲线［5］等描述土壤蓄水容量空间分布的不均匀性；同样，在SCS模型中引入新的土湿比分布函数可以更好地解释模型的超渗产流特性［6］；基于HAND地形指数曲线建立的HSC产流模型可以很好地描述植被根系区蓄水容量的空间分布［7］。虽然通过引入这些特征曲线可以考虑土壤蓄水容量的空间异质性，一定程度上可以反映局部产流特征，但汇流计算时仍然是按流域平均产流量进行计算，导致这些概念性模型无法实现局部产流面积上的局部汇流。为此，本文以等蓄水容量（简称等容微元）为计算单元，采用条件概率的形式，创造性地提出等容瞬时单位线的概念，相当于采用变单位线的方式计算等容微元产流量的地表径流，从而可以实现局部产汇流计算过程在空间尺度上的统一。

1  等容瞬时单位线

流域蓄水容量表示的是包气带最干旱时的缺水量，受流域下垫面地形和土壤质地等多种因素影响，考虑到地形指数同样是反映流域缺水情况的指标，两者之间存在某种关系，有学者通过地形指数间接计算蓄水容量，为了解蓄水容量的空间分布提供了一条途径［8-9］。对于一些山丘型流域，降雨空间分布均匀的情况下，越靠近流域出口，坡降越缓，集水面积越大，地形指数越大，蓄水容量越小，这部分地区越容易先产流；而越靠近流域出口，汇流长度越小，汇流时间越短。因此，先产流的这部分地区越先汇流到出口断面。反之，越靠近流域边缘，蓄水容量越大，产流越晚，汇流时间越长，越晚到达出口断面。可见，汇流与产流存在一定的空间关联性，具体可由汇流时间与蓄水容量的空间相关性体现。这种相关性取决于流域的地形地貌特征，某种意义上可看成是流域的一个内在属性。流域汇流时间与蓄水容量在空间上的相关程度决定了流域产汇流过程的空间分布特征，如果能科学地描述这两者之间的相关性，将在一定程度上改善现有产汇流机制。

能够最完整描述两个随机变量关系的方式就是它们之间的联合分布函数［10-11］，而Copula 函数以联合概率的形式反映变量间的相依性，是描述变量间相关性结构的有效工具［12］，近几年在水文分析计算、水文预报等多个领域得到了成功应用［13-15］。由于蓄水容量与汇流时间的空间分布都会受到地形地貌的影响，两者在空间上具有一定的相关性，考虑到蓄水容量曲线和瞬时单位线恰是反映两者空间分布的概率分布形式，为此，可以通过Copula函数构造蓄水容量与汇流时间的空间相关性结构，借以条件概率的形式实现产汇流过程在空间尺度上的统一。首先以等容微元为计算单元进行产流计算，得出每个单元的产流量，再借用Copula函数构造两者的联合分布，进而得出等容微元汇流时间的条件概率密度函数，相当于每个计算单元的瞬时单位线，由此计算每个单元的地表汇流，最后得出整个流域的出口流量过程。

假定u=FT（t）、v=FS（s）分别为汇流时间T和蓄水容量S在空间上的概率分布函数，则它们的联合分布可以根据Copula函数构建，即［12］：  FT，S（t，s）=C（u，v，θ）=C（FT（t），FS（s），θ）

（1）

式中：FT，S（t，s）为蓄水容量与汇流时间的联合分布函数，C（u，v，θ）为Copula函数，θ为反映T和S空间相关性的参数。

Copula函数分为椭圆型、Archimedean型和二次型三大类，其中Archimedean 型在水文领域应用最为广泛，常见的Archimedean Copula函数如表1所列。不同的函数形式刻画了不同的相关性结构，具体应用时需根据流域的特点选用合适的Copula函数形式。例如，Clayton具有较强的下尾部相关性，更适合描述汇流时间和蓄水容量越低相关性越强的流域；与之相反，Gumbel-Hougaard（GH）具有较强的上尾部相关性，更适合描述汇流时间和蓄水容量越高相关性越强的流域。Ali-Mikhail-Haq（AMH）和Frank则适用于汇流时间和蓄水容量没有尾部相关性的流域。

可见，只要已知T和S的概率分布函数或概率密度函数就可以得到二者的联合分布。结合Nash瞬时单位线的物理含义可知［16］，它实质上就是均匀降落在流域上的无穷个净雨水滴汇集至流域出口断面所形成的时间-面积曲线，也是汇流时间在空间上的概率密度函数fT（t）［17］，即：

fT（t）=1KΓ（n）tKn-1e-tK

（2）

式中：n、K为参数;Γ（n）为伽马函数。

流域蓄水容量曲线是指蓄水容量的面积分布曲线，反映了蓄水容量在空间上的概率分布，因此FS（s）可用蓄水容量曲线即B次抛物线表示，则有：FS（s）=1-1-sWmmB

（3）

式中：Wmm为流域蓄水容量的最大值，B为参数。

基于构建的蓄水容量和汇流时间的联合分布FT，S（t，s），进一步推求汇流时间的条件概率密度函数fT|S（t，s），可得：

fT|S（t，s）=c（FT（t），FS（s），θ）fT（t）

（4）

式中：c（u，v，θ）为Copula函数的概率密度。

根据fT|S（t，s）的数学含义可知，fT|S（t，s）为某一蓄水容量面积上汇流时间的概率密度，进一步结合瞬时单位线的含义，它即为等容微元的瞬时单位线，简称等容瞬时单位线，如图1所示。可以看出，蓄水容量越小的地方，汇流时间越短，形成的出口流量过程呈现尖峰状；而蓄水容量越大的地方，汇流时间相对越长，形成的出口流量过程则比较平缓。等容瞬时单位线可以很好地体现汇流过程的这种空间异质性。

假定将蓄水容量按照Wmm/m的间隔将流域离散为m个不同的等容微元，则第j （j=1，2，…，m） 个等容微元的相对面积αj为

αj=FS×jWmmm-FS×（j-1）Wmmm

（5）

根据其概率密度函数可得第j个等容微元的平均蓄水容量sj为

sj=Wmm1-mαjB1B-1

（6）

则该等容微元的时段单位线qj，t为

qj，t=Aαj3.6Δt［FT|S（t，sj）-FT|S（t-Δt，sj）］

（7）

式中：A为流域面积；Δt为计算时段；FT|S（t，s）为fT|S（t，s）的累积分布函数，且FT|S（t，s）=Cv（FT（t），FS（s），θ），Cv（u，v）=C（u，v）/v。当汇流时间与蓄水容量的空间相关性为0时，FT|S（t，s）即退化为FT（t），等容微元的时段单位线即退化成流域时段单位线。

2  等容微元产流量的计算

等容微元的蒸散发Ej，t按照一层蒸散发模型进行计算，即认为实际蒸发量与等容微元蓄水量呈正比：

Ej，t=Wj，tsjE0，t

（8）

式中：Wj，t为等容微元蓄水量，E0，t为潜在蒸散发。

按照蓄满产流理论，等容微元未蓄满之前，不产生径流。等容微元蓄满之后，下渗能力达到流域稳定下渗率fc，降雨全部产流。即当Pt-Ej，t>fcΔt时，该等容微元的地表径流产流量为

RSj，t=Pt-Ej，t-fcΔt

（9）

式中：Pt为t时刻的降雨。

地下径流产流量为

RGj，t=fcΔt

（10）

当Pt-Ej，t≤fcΔt时，只产生地下径流量：RGj，t=Pt-Ej，t

（11）

假定地表和地下产流量各有部分产流转化为壤中流，分配系数分别为KI和KG，则壤中流为

RIt=KImj=1αjRSj，t+KGmj=1αjRGj，t

（12）

3  流域汇流计算

采用等容时段单位线计算每个等容微元的地表径流，再按线性叠加原理求和得到流域出口断面的地表径流过程，即：

QSt=mj=1nTi=1（1-KI）RSj，iqj，t-i+1

（13）

式中：QSt为地表径流；nT为等容时段单位线的时段数。

壤中流和地下径流汇流均采用线性水库法进行计算，即：QIt=CI×QIt-1+A3.6Δt（1-CI）×RIt

（14）

QGt=CG×QGt-1+A3.6Δt（1-CG）（1-KG）mj=1αjRGj，t

（15）

式中：QIt，QGt分别为壤中流和地下径流；CI，CG分别为壤中流和地下径流的消退系数。

将三者求和即可得到整个流域出口断面的总径流，则有：Qt=QSt+QIt+QGt

（16）

综上所述，将流域以等容微元为计算单元分别进行产汇流的计算，最终得到流域出口断面的流量过程，由此提出了基于等容瞬时单位线的水文模型（Isovolumetric Instantaneous Unit Hydrograph based Hydrological Model，以下简称为IIUHH）。IIUHH模型共有11个参数，分别是瞬时单位线参数n和K、蓄水容量曲线参数Wmm和B、Copula参数θ、稳定下渗率fc、壤中流分配系数KI和KG、壤中流和地下径流的消退系数CI和CG，以及蒸散发折算系数k。

4  应用研究

清江是长江出三峡水库后的第一大支流，发源于鄂西利川市齐岳山龙洞沟。自西向东流经湖北省利川、恩施、建始、咸丰、宣恩、巴东、鹤峰、五峰、长阳、枝城等10县市，在枝城注入长江，全长423 km，流域面积约17 000 km2。其中，恩施水文站以上为清江上游，全长153 km，河床平均比降为6.5‰，流域面积2 928 km2，流域的水系及水文、气象站点分布如图2所示。流域内碳酸盐岩分布广泛，占流域面积的56％，属于典型的喀斯特地貌，地下暗河、盲谷、伏流极为发育，为该地区的洪水预报带来了巨大挑战。本文采用IIUHH建立清江上游的洪水预报模型，验证所提模型在该流域的适用性，并为该地区的洪水预报提供科学依据。

为评估所构建IIUHH模型的综合性能，选取Nash效率系数（NSE）、洪峰相对误差（PRE）和Kling-Gupta效率系数（KGE）作为精度评价指标，各指标计算公式如下：NSE=1-Tt=1（Qt，s-Qt，o）2Tt=1（Qt，o-Q—o）2

（17）

PRE=Qp，s-Qp，oQp，o

（18）

KGE=1-（ρ-1）2+σsσo-12+QsQo-12

（19）

式中：Qt，s和Qt，o分别为实测值和模拟值；Qp，s和Qp，o分别为实测洪峰和模拟洪峰；Qs和Qo分别为实测和模拟序列的均值；T为洪水序列长度；σs和σo分别为实测和模拟序列的标准差；ρ为实测和模拟序列的相关系数。

选用清江上游2008～2019年16场场次洪水进行模型的率定和检验。其中，前12场用于模型率定，后4场用于模型检验，计算时段长为1 h，按照蓄水容量由小到大共划分了10个等容微元，以NSE为目标函数，采用SCE-UA算法进行模型参数率定。选用表1中常用的Copula函数构建不同形式的IIUHH，选取常用的新安江模型作为对比，同时，为了衡量汇流时间与蓄水容量相关性的影响，将两者零相关的情形也进行了计算，参数率定结果见表2。参数θ可以反映蓄水容量和汇流时间的相关性，从各IIUHH的参数率定结果及参数θ与Kendall秩相关系数的关系可以算出［12］，两者的Kendall秩相关系数为0.20～0.28，呈现一定程度的弱相关性。

表3给出了各水文模型评价指标的计算结果，可以看出，在率定期和检验期，新安江模型的平均NSE分别为0.777 2和0.830 0，而所有IIUHH模型的平均NSE都超过了0.85。其中，零相关情形下的IIUHH表现最差，平均NSE分别为0.851 7和0.850 4；Clayton形式的IIUHH表现最优，平均NSE分别达到了0.870 9和0.859 1；AMH形式的IIUHH次之，平均NSE分别为0.865 2和0.863 6；Frank和GH形式的IIUHH结果相当。因此，IIUHH相比传统的新安江模型有较大程度的提高，而考虑了汇流时间和蓄水容量空间相关性的IIUHH要比不考虑相关性的IIUHH精度要高。

PRE的计算结果表明，在率定期和检验期，新安江模型的平均PRE都是0.19，而所有IIUHH模型的平均PRE都有一定程度的降低。其中，Clayton形式的IIUHH降低最多，平均值只有0.14和0.12。KGE是一个综合评价指标，它同时考虑了模拟序列的误差、方差以及与实测序列的相关性。由表3可知，在率定期和检验期，新安江模型的平均KGE只有0.7403和0.607 5，而不同形式的IIUHH模型都有不同程度的提高。相对而言，AMH和Clayton形式的IIUHH提高较多，在率定期分别达到了0.840 1和0.837 2；两者在

检验期也分别达到了0.751 3和0.770 5。综合来看，

Clayton形式的IIUHH表现更优，其相对于新安江模

型，率定期的NSE和KGE分别提高了12%和13%，PRE降低了26%；检验期的NSE和KGE分别提高了4%和27%，PRE降低了36%。因此，Clayton型的IIUHH更适用于清江上游洪水的模拟。图3进一步展示了该模型部分场次洪水的模拟结果，可以发现，Clayton型的IIUHH模拟结果更加接近于实际的洪水过程，洪峰也更接近实测值，相比新安江模型有不同程度的提高。

5  结 论

本文考虑到产流和汇流在进程上的密切关联性，基于蓄水容量和汇流时间的联合分布及条件概率，提出了等容瞬时单位线的概念，并构建了基于等容瞬时单位线的水文模型，该模型具有如下特点：（1） 以等蓄水容量为计算单元，基于蓄满产流原理计算单元产流量，采用等容瞬时单位线进行单元产流量的地表汇流计算，从而实现了局部产流和局部汇流计算过程的统一。

（2） 以条件概率形式表述的等容瞬时单位线，考虑了汇流时间与蓄水容量的空间相关性，反映了瞬时单位线在流域上的空间差异。

（3） 相较于新安江模型，等容瞬时单位线模型对洪峰和洪水过程的模拟有一定程度的提高。此外，模型参数个数相对较少，一定程度上降低了模型的不确定性。

参考文献：［1］  刘登峰，田富强，高龙.从科学方法论的角度看水文模型的发展［J］.人民黄河，2007，29（9）：38-39.

［2］  芮孝芳.论流域水文模型［J］.水利水电科技进展，2017，37（4）：1-7.

［3］  ZHAO R J.The Xinanjiang Model applied in China［J］.Journal of Hydrology，1992，135（1/4）：371-381.

［4］  周买春，JAYAWARDENA W A.利用双抛物线型土壤蓄水容量曲线对新安江产流模型的改进［J］.水利学报，2002，33（12）：38-43.

［5］  闫宝伟，李正坤，段美壮，等.基于Erlang分布蓄水容量曲线的流域产流模型［J］.水科学进展，2021，32（1）：120-126.

［6］  WANG D.A new probability density function for spatial distribution of soil water storage capacity leads to the SCS curve number method［J］.Hydrology and Earth System Science，2018，22：6567-6578.

［7］  GAO H，BIRKEL C，HRACHOWITZ M，et al.A simple topography-driven and calibration-free runoff generationmodule［J］.Hydrology and Earth System Sciences，2019，23：787-809.

［8］  向小华，宋琪峰，陈喜，等.融合地形和土壤特征的流域蓄水容量模型［J］.水科学进展，2013，24（5）：651-657.

［9］  石朋，芮孝芳，瞿思敏，等.一种通过地形指数计算流域蓄水容量的方法［J］.水科学进展，2008，19（2）：264-267.

［10］闫宝伟，潘增，薛野，等.论水文计算中的相关性分析方法［J］.水利学报，2017，48（9）：1039-1046.

［11］芮孝芳.水文随机变量二维分布及其应用［J］.水利水电科技进展，2019，39（5）：36-42，65.

［12］郭生练，闫宝伟，肖义，等.Copula函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展［J］.水文，2008，28（3）：1-7.

［13］ZHANG Q，LI J，SINGH V P，et al.Copula-Based spatio-temporal patterns of precipitation extremes in China［J］.International Journal of Climatology，2018，559：549-567.

［14］BRUNNER M I，FURRER R，FAVRE A C.Modeling the spatial dependence of floods using the Fisher copula［J］.Hydrology and Earth System Sciences，2019，23（1）：107-124.

［15］王伟，王乐，田逸飞，等.丹江口水库入库洪水概率预报及调度风险分析［J］.人民长江，2023，54（11）：60-67.

［16］闫宝伟，段美壮，江慧宁，等.基于分数瞬时单位线的流域汇流模型研究［J］.人民长江，2020，51（8）：84-88.

［17］芮孝芳，刘宁宁，凌哲，等.单位线的发展及启示［J］.水利水电科技进展，2012，32（2）：1-5.

（编辑：谢玲娴）

A hydrological model based on isovolumetric instantaneous unit hydrograph

YAN Baowei1，2，TANG Yiwei1，2，LIU Yu3，GU Donglin1，2，SUN Mingbo1，2

（1.School of Civil and Hydraulic Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China;

2.Hubei Key Laboratory of Digital River Basin Science and Technology，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China;

3.Changjiang Survey，Planning，Design and Research Co.，Ltd.，Wuhan 430010，China）

Abstract：

The spatial heterogeneity of the underlying surface in a basin has a significant impact on runoff generation.The water storage capacity curve can effectively address the issue of spatial heterogeneity in runoff generation.When the instantaneous unit hydrograph is used for calculating surface runoff confluence，it is considered as the net rain with uniform spatial distribution.In this scenario，local runoff does not account for local confluence.In this paper，the spatial correlation between confluence time and water storage capacity was considered，and their joint distribution was constructed by a Copula function.The spatial distribution characteristics of confluence time at various storage capacities were manifested in the form of conditional probability.Furthermore，a concept of an isovolumetric instantaneous unit hydrograph was proposed by using the isovolumetric water storage capacity as the calculation unit.This approach was equivalent to the variable unit hydrograph method for calculating the confluence of surface runoff，thereby unifying the calculation process for local runoff and confluence.Therefore，an isovolumetric instantaneous unit hydrograph based hydrological model （IIUHH） was constructed，and various forms of IIUHH were developed based on the type of Copula function.Finally，the Qingjiang River upstream was selected as a case study.The results showed that Clayton Type IIUHH performed better in the study area.Compared with the Xin′anjiang model，the Nash efficiency coefficient can be increased by 4% to 12%，the Kling-Gupta efficiency coefficient can be increased by 13% to 27%，and the flood peak relative error can be reduced by 26% to 36%.The simulation accuracy of flood peak and flood processes has been significantly enhanced.The research results can be used for high-precision runoff prediction in a basin.

Key words：

isovolumetric instantaneous unit hydrograph; hydrological model; water storage capacity; spatial correlation; Xin′anjiang model; Qingjiang River