基于核心素养背景的初高中数学教学衔接实践

蔡玲玲

核心素养，不仅是现代社会对人才的基本要求，更是贯穿各个教育阶段、渗透于各学科教学的核心目标。数学，作为培养学生逻辑思维、分析解决问题能力的基础学科，其重要性不言而喻。特别是在函数这一关键知识点的教学上，初中阶段和高中阶段的衔接性教学显得尤为重要。

在初中阶段，学生初步掌握了函数的基本概念、性质和图象等基础知识，对函数有了初步的认识和理解。然而，进入高中阶段后，函数知识不仅涉及更多的函数类型和性质，还要求学生能够灵活运用函数知识解决实际问题。因此，如何帮助学生顺利过渡，成为高中数学教师必须面对的重要课题。

一、基于教学要求，明晰初高中“正弦函数”教学内容差异

初中阶段的锐角三角函数教学侧重于关系的度量，而非关系本身。然而，当我们将三角函数视为一种函数时，它应当描述角的大小与三角函数值之间的深层关系。这种关系不仅存在于数学领域，更广泛地体现在自然界和生活中的各种周期现象中。事实上，绝大多数周期性变化都可以通过三角函数的线性组合来精确表征。正弦函数和余弦函数，作为起源于圆周运动、密切配合的周期函数，是解析几何学和周期函数分析学中最为基础和重要的函数。它们的基本性质直接反映了圆的几何特性，特别是其对称性。因此，利用单位圆研究三角函数的图象和性质，不仅是从本质上出发的溯源之举，更是深化学生理解的有效途径。

在函数教学中，初中和高中阶段的定义、几何载体和正弦定义等方面都存在明显的差异和跃迁。初中阶段主要采用角度制的方法引入三角函数的概念，并通过直角三角形内的正弦运算进行初步的探索和应用。而到了高中阶段，随着弧度制的引入和任意角的推广，角的几何图形与实数之间建立起了紧密的对应关系。这为正弦函数等三角函数的深入学习奠定了坚实的基础。在坐标系中，对于任意确定的角α，比值与是唯一确定的。这使得正弦函数和余弦函数成为以角α为自变量的特殊函数类型。需要强调的是这里的α、与都是实数，这完全符合函数概念中实数对应关系的要求。

因此正弦函数不仅是函数的一种特殊形式更是连接几何与代数的重要桥梁。但与初中直角三角形中以锐角为变量的函数变量相比，高中阶段的正弦函数定义更加抽象和一般化，如表1所示。

二、问题驱动，构建角度模型，重塑正弦函数概念

高中数学的教学，远不止知识点的简单传授。更重要的是，如何帮助学生深化对所学内容的理解，使学生在面对多变的数学问题时能够游刃有余。为此，教师必须注重提高课堂教学的趣味性和引导性，让学生更加积极地参与课堂学习。

初中三角函数教学主要围绕平面几何问题，特别是直角三角形中的锐角函数模型的展开，为高中数学学习打下坚实的基础。进入高中后，正弦函数概念变得更为抽象和复杂。为帮助学生顺利过渡，教师需要采用有效教学策略，重点是让学生根据给定的角获取对应的函数值，并在三角函数图象上准确量化点的坐标。突破这一教学难点，可显著提升教学效果。“正弦函数的图象与性质再认识”教学目标如表2所示。

【温习旧知】

回顾单位圆上的点的纵坐标与角α的正弦值之间的关系，学生重新建立对正弦函数的基本认识。在此过程中，教师强调角度与弧度的转换，以及正弦函数的定义域和值域等关键概念。

问题1：上一章节已经深入讨论了任意角的正弦、余弦及正切的概念。以正弦为例，现在，请同学们回顾一下，我们是如何定义任意角的正弦的呢？

在学生思考并回答之后，教师梳理关键要点。

问题2：思考变量之间的关系，并提出自己的思考依据。

学生观察单位圆中两个几何量的对应关系，得出结论。

教师关注学生的理解情况，一旦发现有遗漏或误解，应及时补充和纠正，确保学生对知识的掌握准确无误。

【抽象函数概念及数学表示方法】

在实际的教学过程中，学生对通过sin α=这样的形式来理解α的正弦函数时常感到困惑。为了帮助学生更好地掌握这一概念，教师可以引入单位圆的概念。单位圆的特点是其半径r为1，这样就可以将sin α=简化为sin α=y的形式。通过这一方式，学生更容易理解正弦函数是如何将实数α映射到其对应的正弦值上的。这种形式不仅有助于消除学生的困惑，还为学生提供了一种更直观、更易理解的方式来掌握正弦函数的概念。

三、适当简化，从特殊中提炼出常规正弦函数画法

本课时的核心目标在于利用单位圆与正弦线的辅助，精确地绘制出y=sin x的图象，通过观察这一图象的特征，进而引入一种高效的图象绘制技巧——“五点作图法”。随后，教师紧密结合这一图象，深入探索正弦函数的关键性质，特别是其增减变化的规律以及最大值与最小值的确定。然而，在教学过程中，我们预测学生可能会面临利用正弦线作图的挑战。这些困难主要源自两个方面：一是学生长期习惯于传统的列表描点法，对于正弦函数这种特殊性质的图象绘制可能感到不适应；二是学生对于正弦函数定义的理解可能尚未深入，难以将角度与其对应的函数值进行几何化的直观联系。

为了有效克服这些难点，教师设计一系列实践操作的环节，让学生在动手的过程中感受困难，并激发学生寻求解决方案的欲望。同时，教师深入浅出地讲解正弦函数的定义，揭示其背后的几何意义，帮助学生构建清晰、稳固的概念基础。

问题：如何精准地描绘出点（，sin）的横坐标？

为了正确地描绘出点（，sin）的横坐标，教师引导学生利用单位圆，找到与2π相对应的几何量，即单位圆的周长，并将单位圆巧妙地12等分，这样每个等分点都代表了一个特殊的角度，如、、等，通过这种等分的方式，教师启发学生将这些特殊角度与x轴上的点建立对应关系。为了实现这一目标，教师引导学生想象将单位圆的周长展开，化曲为直，然后平移到x轴上。这样一来，x轴上的每个点都对应了一个特定的角度。为了进一步加深学生的理解，教师运用课件展示动画，使学生直观地看到单位圆符合被等分、展开和平移到x轴上的过程。

此时可以借助单位圆绘制正弦函数y=sin x在区间［0，2π］图象上，师生共同探讨，分步进行。第一步，列表。找到区间［0，2π］上的x数值，选择一些特殊的x值，如0、…2π等，利用单位圆的性质，找到这些x值对应的正弦函数值。第二步，描点。为了方便绘图，可以将x轴上的0到所选区间的终点这一段划分为若干等份。然后，对于每一个x值，都将其对应的正弦线向右平移，使正弦线的起点恰好与x轴上的对应点x重合。这样，正弦线的终点就是正弦函数图象上的一个点。第三步，连线。在这一步，使用光滑的曲线将这些已经标出的点连接起来。这样，我们就可以得到正弦函数在选定区间内的完整图象y=sin x。

四、从概念产生的数学模型中探究正弦函数的性质

在学习正弦函数的过程中，图象的性质及其变换是一个核心且复杂的知识点，对学生的数学思维和解题能力有着深远的影响。标准的正弦函数形式为y=sin x，但实际上，图象经常会经历平移和伸缩等变化。这就引出了一个关键问题：面对这些变化，我们如何准确地绘制图象并重新确定其单调区间？为了帮助学生更好地理解和掌握这一内容，教师需要为学生提供既考查知识又锻炼思维的例题。例如，通过对比y=sin（x+）和y=sin x-2这两个函数，教师可以引导学生思考图象和性质的变化。对于y=sin（x+），自变量x经历了一个平移变换。在这里，教师可以引入换元法，将x+视为一个新的变量u，从而将问题简化为标准的正弦函数形式sin u。通过这种方式，学生可以更好地理解平移变换对正弦函数图象的影响。接下来，对于y=sinx-2，虽然自变量x没有变化，但函数值整体下移了2个单位。这种变化同样会影响函数的图象和性质。教师可以鼓励学生利用之前学到的知识，自行绘制图象并分析单调区间。通过这样的教学过程，学生不仅能够掌握正弦函数图象的基本性质和变换规律，还能锻炼数学思维能力和知识迁移能力。同时，学生也会更加深刻地理解换元法等数学工具在解决实际问题中的应用价值。

综上所述，在具体教学中，教师需要结合学生的认知情况。初中阶段与高中阶段，学生的学习态度与学习习惯有很大的差异，这也是很多初中生到了高中后出现成绩波动的原因，为了帮助学生平稳过渡，任课教师在处理初高中数学衔接时，需采取一系列策略。为此，任课教师在处理初高中数学衔接方面，需要找到两者的内在联系，对比研究初高中教材内容的差异，以学生熟悉的案例，复习初中内容的同时引出高中学习要点，在比较中强化学生对高中正弦函数的知识衔接，实现数学核心素养的培养。

（作者单位：石狮市第三中学）

编辑：曾彦慧