PBL教学模式在高中数学公式教学中的应用

一、问题提出

PBL教学模式是以建构主义为理论基础，以问题为教学驱动，依托真实生活情境，以小组合作交流为教学载体，以多元评价为教学反思的综合性教学模式。在该模式下，教师是课堂的引导者，以问题为基础，围绕问题的生成、猜想、探究、感悟展开教学，通过引、问、导帮助学生建构知识；学生是学习的主体，通过问题探究、独立思考、小组讨论等方式经历思、探、悟，从而内化知识。

数学公式教学容易形成“一背二套”“公式加例题”的模式，轻证明重应用、轻理解重记忆。在诱导公式一节中，这种现象尤为突出，过往我们大多将诱导公式仅视为求值化简的工具，忽视了公式的来龙去脉，导致不少学生无法准确记忆、熟练应用。基于此，本文将尝试在大单元教学的视域下，探索将PBL教学模式融入诱导公式的课堂教学，激发学生的学习兴趣，提高教学的有效性。

二、教学分析

（一）内容解析

本节内容安排在“任意角和弧度制”“三角函数的概念”之后，可以视作三角函数性质的延伸，遵循函数的研究脉络，从数与形的角度入手分析，体现数学学习的整体性。同时，诱导公式也是三角函数知识的基础，是描述函数周期性的重要工具，有着承上启下的作用，为后续学习角的和差倍分、三角函数的图象与性质等知识打下基础。本文将着重探讨PBL教学模式在第一课时公式教学中的应用。

本节对诱导公式的推导大致可分为两种思路：对称与旋转。但在旧版教材以及新人教B版、湘教版教材中，均提到了可利用已证明的诱导公式，通过三角函数变形推导得新的诱导公式的方法，从代数角度体现公式间的内在联系。

（二）学情分析

学生在初中阶段对锐角三角函数已经有了初步认识，并掌握了任意角和弧度制、三角函数的概念等知识，对集合、函数也有一定的理解。此外，学生也经历了借助单位圆研究同角三角函数的基本关系的学习过程，积累了一些合作探究的活动经验，具有一定的问题意识，初步形成了数形结合、转化与化归等数学思想，但其自主探究问题的能力不足、思维欠缺严谨性，过程中需要教师适时引导、归纳梳理。

（三）教法研究

PBL教学模式倡导教师在教学中创设真实情境以激发学生学习的兴趣，发挥其主动性以建构更可靠的知识，促进学生思维发展。选择从已经学过的三角函数的定义、诱导公式一等知识入手，借助单位圆研究三角函数的方法，再通过具体三角函数值的求解设置认知冲突，力求创设符合学生“最近发展区”的数学情境，使公式的引入流畅自然，符合知识发展的内在规律。

在本章中，单位圆是问题研究的脚手架，而诱导公式本质上是圆的对称性的解析表示，因此教师在教学过程中应充分渗透数形结合的思想方法。借助单位圆，突出诱导公式的几何本质；合理使用信息技术，如使用GGB软件进行动态演示，挖掘角的终边与点的坐标之间的关系，将抽象问题具体化，便于学生理解和记忆。

在具体实施过程中，PBL教学模式认为问题是学习的起点，也是知识选择的根本依据，教师要“会问”，从学生现有知识水平出发，引导其建立内在的“已知”与“未知”的联系。“问题是数学的心脏”，教师可基于教学内容设置梯度合理的问题串以驱动学生主动学习，由浅入深、层层递进，问题指向明确、表达简明清晰。同时，PBL教学模式倡导合作性的课堂学习，认为在学生充分发散思维的情况下，加强小组沟通与合作有利于培养其创新精神、促进知识内化。在本节中，教师可在完成公式二的推导之后，引导学生以小组为单位自主完成后续公式探究，并关注学生的课堂生成，合理规划、适当干预、多元评价，以免探究流于形式。

（四）教学目标

借助单位圆的对称性，利用定义推导公式二～六。

（五）教学重点

利用圆的对称性探究公式二～六。

（六）教学难点

发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系。

三、教学过程

●环节一：创设情境，提出问题

引入：在之前的学习中，我们借助单位圆定义了三角函数，并得到了诱导公式一，认识到了三角函数周而复始的变化规律。再结合单位圆的几何性质，得到了同角三角函数的基本关系。

现已知sin20°=a，应如何表示sin 380°，sin 200°，sin（-20°），sin160°，sin70°，sin110°等三角函数的值呢？

学生联系三角函数的定义，在单位圆中画出角的终边猜想结果。

师：上述猜想是否正确，需要我们进一步探究求证。我们知道，圆最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质。那么，我们能否利用圆的对称性来进一步研究三角函数的对称性呢？

（设计意图：回顾旧知，激发学生的学习兴趣，为后续过渡到一般抽象的三角函数的探究作铺垫。）

●环节二：公式探究，深化理解

△探究1：

（1）如图1所示，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1。

作P1关于原点的对称点P2，那么以OP2为终边的角β与角α有什么关系？

师：P1与P2两点间的坐标有什么关系？可否由三角函数的定义得到角β与角α的三角函数值之间的关系？

追问1：除了由原点对称得到外，角（π+α）还可以看成是角α经历怎样的变换得到？

追问2：回顾公式二的探究过程，你能简要概括我们的探究步骤吗？

学生归纳，教师补充：圆的对称性—角与角的关系—坐标间的关系—三角函数的关系。

（设计意图：探究（1）引导学生建立起圆的性质与三角函数的诱导公式之间的联系。追问1意在引导学生从旋转的角度认识圆的中心对称性；追问2意在归纳程序、建立研究方法，为后续类比迁移积累经验。）

（2）请类比公式二的推导过程，尝试探究：如过P1作关于x轴（或y轴）的对称点P3（或P4），那么又可以得到什么结论？

小组合作探究、学生代表展示，师生修改完善，得到公式三、四，归纳公式特征。

追问1：上述推导过程中是否用到了P1所在的位置条件？如果P1在其他象限或者坐标轴上，P1与P3间的坐标关系、P1与P4间的坐标关系会改变吗？

追问2：公式二～四中的角α的取值范围是什么？

教师借助GGB软件进行动态演示，引导学生观察公式二～四中角α变化时，点坐标间的关系，验证诱导公式的普适性。

（设计意图：培养学生善于思考、敢于质疑的科学精神。）

△探究2：

考虑其他的对称关系，我们是否还能得到一些特殊结论呢？

作P1关于直线y=x的对称点P1，以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？

追问1：关于直线y=x对称的两点坐标有什么关系？

追问2：类比公式二～四，可以得到什么结论？

教师提示辅助线，学生结合平面几何知识完成推导。须说明考虑到α的任意性，关于坐标关系严谨的证明将留在后续解析几何的学习中完成。

△探究3：

以上探究1、探究2中，我们都是对P1作了一次对称变换，如果再作P5关于y轴的对称点，又能得到什么结论？

追问1：是否还有其他的变换方式呢？据此你将如何证明公式六？

生1：（轴对称）角α的终边首先关于x轴作对称，再关于直线y=x作对称。

生2：（旋转对称）将角的终边逆时针旋转。

追问2：除了利用对称性，可否利用已有公式推导诱导公式六呢？

教师借助多媒体展示学生具有代表性的推导过程，共同探讨完善。

追问3：公式五、六中角α的取值范围是什么？

（设计意图：追问1引入旋转对称，为后续两角差的余弦公式的推导作铺垫；追问2从代数角度体现公式间的内在联系。）

●环节三：课堂回顾，总结提升

本节我们学习了哪些诱导公式？请你回顾探究过程，思考我们的推导思路是怎样的，当中蕴含了哪些数学思想方法。

师生共同归纳得出以下思路（见图2）：

师：本节课，我们通过类比同角三角函数的基本关系的研究方法，借助单位圆的对称性推导得到诱导公式，由单个公式的学习过渡到公式串的学习，体现了数学思维的一致性和连贯性。值得关注的是，三角函数是以角为变量的特殊的函数，其内容框架和探究路径与我们之前探究的其他函数相似，当前学习的6组诱导公式都反映了三角函数的性质，也是后续探究三角函数图象与性质的基础。而由平面几何的知识可知，圆最重要的性质是旋转对称性，其中又蕴含着三角函数哪些重要的性质呢？待我们后续进一步探究。

（设计意图：从大单元教学的视域下再次认识诱导公式，有利于学生构建知识体系。）

●环节四：课后训练，反思内化

1.结合单位圆完成本节内容的思维导图。

2.尝试推导圆的正切。

3.完成本节课后习题。

四、教学反思

高中数学课堂教学中蕴含着“浓缩在教材中的数学家思维、对教材进行再加工的教师思维、被教材和教师引导着的学生思维”三种思维活动，数学教学就是这三种思维相互碰撞和交融的过程。PBL教学模式应用于公式教学，一方面有利于促进教师深入整合教材、设计教学环节，让数学家思维更为自然地与学生思维对接；另一方面，以问题为驱动力，创设情境、合作探究、拓展延伸、反馈评价等教学环节，有利于加深学生对问题的思考与知识的建构，提升其解决问题的能力。值得注意的是，当前PBL教学模式应用于高中数学课堂教学还面临一些困境，如课堂活动设计不合理、学生探究合作不够深入、评价较为单一等，这需要广大教师不断实践探索、思考交流、沉淀经验。

（作者单位：福建省厦门集美中学）

编辑：曾彦慧

注：本文系厦门市第六批基础教育课程改革课题（Z643）的研究成果。

作者简介：余奕（1994—），女，汉族，福建厦门人，理学学士，中学一级教师，研究方向：高中数学教育。