培养学生科学探究能力，引领学生发展理性思维

一、教材分析

本节课是探究“函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质”的第一课时，其内容主要是研究参数A，ω，φ的变化对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响。

教材先从简谐运动的实例引入，然后通过传感器和计算机描绘小球的运动图象，再从正弦函数y＝sinx与函数y＝Asin（ωx＋φ）之间的关系引出对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的探究。整节课通过三个例题从不同变量A、ω、φ分析对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响，在本课时仅讨论的是当φ=0的情况。

二、学情分析

学生在学习本课之前已经学习了三角函数的图象与性质的有关内容；已经习得了“数形结合”思想，并积累了用“数形结合”思想研究函数的经验，也了解了一般函数图象的变换情况；已经具备了通过观察图象得出结论的能力。

三、教学目标

1.学生分别探究A、ω对函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）图象的影响情况。

2.学生能利用“数形结合”思想，据图归纳总结A、ω变化引起函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）图象的变化规律。

3.在学习过程中培养学生的科学探究能力，发展学生的理性思维。

四、教学重难点

教学重点：分别探究A、ω对函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）图象的影响情况。

教学难点：能利用“数形结合”思想，据图归纳总结A、ω变化引起函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）图象的变化规律。

五、教学过程

（一）创设情境，提出问题

师：在现实生活中，发生周期性变化的现象有很多。如图1，在简谐振动中，位移y与时间t之间的关系就是一种周期变化的实例，可以用函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A、ω和φ都是常数）表示位移与时间的关系。其实，简谐振动的位移与时间的关系图象可以用传感器和计算机描绘出（如图2所示）。

师：同学们，通过观察图2可以发现，它与我们前面学过的正弦函数的曲线很相似。那么，函数y＝sinx与函数y＝Asin（ωx＋φ）之间存在哪些关系呢？今天这节课，我们就来探究函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，并分析A、ω和φ变化对y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响。

（设计意图：创设生活中简谐振动的情境，从学生的生活经验入手，感悟自然界中周期性变化的现象可以用函数y＝Asin（ωx＋φ）模型进行刻画，建立数学模型。）

（二）引导探究，发现规律

师：当参数A，ω，φ取不同实数时，y＝Asin（ωx＋φ）就可以得到不同的表达形式，其函数图象也会随之发生变化。

1.探究参数A对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响

例1.在同一直角坐标系中画出y＝sinx，y＝2sinx，y＝sinx在［-π，π］上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系。

师：那么，如何作简图呢？

生：可以先画出一个直角坐标系，然后找出这三个函数的五个关键点作简图。

师：你的意思是利用“五点法”作函数图象，那怎么找这五个关键点呢？

生：横坐标x分别是-π，-π，0，π和π，代入各函数求出对应的纵坐标，这样五个关键点就找出来了。

师：请同学们快速分别找出各函数的五点坐标，并比较这五点坐标的异同。

生1：函数y＝sinx的关键五点坐标分别是（-π，0），（-π，-1），（0，0），（π，1），（π，0）。

生2：函数y＝2sinx的关键五点坐标分别是（-π，0），（-π，-2），（0，0），（π，2），（π，0）。

生3：函数y＝sinx的关键五点坐标分别是（-π，0），（-π，-），（0，0），（π，），（π，0）。

师：这三个函数的关键五点坐标都找出来了，它们有什么异同呢？

生：它们对应关键点的横坐标相同，但纵坐标不同。

师：请同学们根据这三个函数的五点坐标，在同一直角坐标系中分别画出这三个函数（如图3）。

师：请同学们根据图3，说出三个函数的周期分别是多少？

生：y＝sinx的周期是2π，y＝2sinx的周期是2π，y＝sinx的周期是2π。

师：请同学们再根据画出的函数图象，说出三个函数的最大值、最小值和值域分别是多少。

生：y＝sinx的最大值是1，最小值是-1，值域是［-1，

1］；y＝2sinx的最大值是2，最小值是-2，值域是［-2，

2］；y＝sinx的最大值是，最小值是-，值域是［-，］。

师：那么，这三个函数的周期、最大值、最小值和值域之间有什么关系呢？

生：y＝sinx图象上每一点的坐标是（x，sinx），而y＝2sinx图象上每一点的坐标是（x，2sinx）。通过对比发现，这两个函数图象上对应点的横坐标不变，y＝2sinx图象上点的纵坐标变成y＝sinx图象上对应点的纵坐标的2倍。因此，由y＝sinx变成y＝2sinx的过程中，函数周期没有变，最大值和最小值变为原来的2倍，值域也由原来的［-1，1］变成了［-2，2］，这就说明，A决定振动幅度的大小，也就是函数的最大值、最小值和值域。同理，由y＝sinx变成y＝sinx的过程中，横坐标不变，纵坐标变为原来的，改变的是最大值、最小值和值域，周期没有变。

师：通过对例1的研究，你能得出哪些结论呢？

生：函数y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A决定了振动的幅度，也就是函数的最大值、最小值和值域。

2.探究参数ω对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响

例2.在同一直角坐标系中画出y＝sinx，y＝sin2x，y＝sinx在［-2π，2π］上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系。

师：我们还是结合图象来研究，先根据三个函数的关键五点坐标，画出它们在同一直角坐标系中的函数图象（如图4）。

师：根据图4，谁来说一说这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系？

生：据图4可知，y＝sin2x的图象可以由y＝sinx图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到。因此，y＝sin2x的最大值、最小值和值域都与y＝sinx相同，但周期变为原来的，也就是=π。y＝sinx的图象可以由y＝sinx图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到。y＝sinx的最大值、最小值和值域都与y＝sinx相同，但周期变为原来的2倍。

师：你的思路清晰，也完全正确。谁能把他的话归纳一下呢？

生：函数y＝Asin（ωx＋φ）中的参数ω决定了振动的周期，也就是函数的周期等于。不同的正弦函数可以通过变化得到。

3.进一步巩固不同函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的相互变化

例3.做出函数y＝3sinx在长度为一个周期上的闭区间的简图，并说明y＝3sinx图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变化而得到的。

学生根据列表找出函数y＝3sinx在图像上的五个关键点，然后进行描点、连线，作出函数y＝3sinx在x∈［0，π］的大致图象（如图5）。

师：谁能用数学的语言描述一下函数y＝sinx的图象经过怎样的变化得到函数y＝3sinx的图象？

学生汇报。

教师小结：可以先考虑变化横坐标，横坐标变为原来的，然后横坐标保持不变，把纵坐标变为原来的3倍。

（三）巩固练习

1.利用“五点法”作下列函数在一个周期闭区间上的简图。

（1）y＝sinx （2）y＝sinx （3）y＝2sinx

2.用数学语言说一说上面每个函数的图象由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到的。

（四）课堂小结

师：通过本节课的探究学习，你有哪些新的收获和感受？请与大家分享一下。

六、课例反思

本节课主要是引导学生借助函数图象研究A、ω对函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象、周期、最值和值域的影响等。同时，引导学生据图科学分析函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象与y＝sinx的图象的关系，进而引导学生发现函数之间的变化关系。我采取让学生利用“五点法”作函数图象，运用“数形结合”思想，研究A、ω对函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象、周期、最值和值域的影响以及不同函数图象的转化，引导学生科学探究，理性分析问题和结论。

（作者单位：镇原县孟坝中学）

编辑：温雪莲

作者简介：兰正清（1969—），男，汉族，甘肃镇原人，本科，高级教师，研究方向：高中数学教学。