聚焦代数推理指向自主建构提升核心素养

何平

1 试题呈现

2 解法探究

2.1 第（1）问的证法探究

（1）开口方向+顶点坐标

（2）开口方向+图象与y轴的交点

2.2 第（2）问的证法探究

思路1：借助二次函数的性质进行证明.

思路2：借助代数推理进行证明.

点评：对变量范围的判断，既可以从函数性质的角度去计算，也可以利用代数推理进行论证.

2.3 第（3）问的解法探究

思路1：画草图，借助不等式组的解集判断.

思路2：画草图，借助顶点和临界值判断.

解法2：轴距法.

思路3：借助一元二次方程根与系数的关系判断.

分析：画草图，将二次函数图象与x轴的交点问题转化为求相应的一元二次方程的根与系数的关系，体现了数形结合思想方法.

3 试题评价

3.1 关注基础知识，体现人文关怀

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中对二次函数的考查要求：“会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图，会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标，理解函数图象与表达式的对应关系，理解函数与对应的方程、不等式的关系，增强几何直观.”本题是一道典型的含参二次函数问题，第（1）问考查二次函数的图象性质，证明函数图象与x轴交点问题；第（2）问给定参数a的值，结合自变量的取值范围，证明因变量的取值范围；第（3）问在前两问的基础上，给定自变量的范围，求参数a的范围.三个问题的设计符合《标准》的要求，前两个问题关注了对基础知识的考查，第（3）问适当提升难度，体现了综合题的考查要求.本题问题设置简约灵动，有利于增加学生答题的自信，更显示了对学生的人文关怀.

3.2 注重逻辑论证，发展代数推理

《标准》提出了推理能力是初中阶段核心素养的主要表现，在数与代数领域也有推理或证明的内容.代数推理：从一定的条件出发，依据代数定义、代数公式、运算法则、运算律、等式（不等式）的性质等，得到具体数和代数式结构、数量上的相等和不等关系等.本题的前两问都聚焦在逻辑论证上，第（1）问只需判断判别式4a2-12a的取值范围；第（2）问求证y＞0，都是典型的代数推理问题.问题设计体现了新课程标准的要求，实现了对推理能力的考查.

3.3 渗透数形结合，凸显素养立意

从第（2）问到第（3）问的设计，层层递进，从特殊到一般，难度逐级提升，学生由第（2）问的解题经验，自然联想到画草图分析，第（3）问结合函数图象求a的取值范围，简化了运算过程.在画草图分析的基础上，可以借助不等式组的解集、二次函数顶点和临界值、根的判别式和临界值以及根与系数的关系求解，实现了解法的多元化，各种解法都渗透了数形结合、分类讨论及转化的思想方法，蕴含了对推理能力、运算能力的考查，实现了对学生核心素养的评价.

4 教学导向

4.1 聚焦代数推理，促进深度思维

在《标准》的指导下，要发展学生的代数推理能力，在教学中需要重视学生运算能力的培养，让学生明确运算过程中每一步的依据，弄清算理.然而，有学生在代数推理时采用举例验证的方法，例如，在证明4a2-12a＞0时，通过例举a＝-2时，4a2-12a＝40＞0来达到证明的目的，这样的证明过程不严谨，显然是缺乏对代数推理的理解.因此，教学中需要关注代数推理的教学，例如比较大小时常用作差比较法，同时还要强化分析法和综合法的应用，提升代数推理能力.在教学中对于本题还可以尝试思考以下问题：

（1）该函数图象所经过的象限随a值的变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的a的取值范围；

（2）当-1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围；

（3）已知点A（m，3），B（m＋1，3），若线段AB与该二次函数的图象有公共点，直接写出m的取值范围.

4.2 指向自主建构，提升核心素养

含参二次函数问题的根本还是函数的图象与性质.教学中要关注二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）中a，b，c的作用.本题中a的大小决定了函数图象的开口方向，开口大小，|a|越小函数开口越大，|a|越大函数开口越小，有学生形象地总结|a|是“小胖子”.另外，对于参数需要适时分类，在变化中学会动中取静，恰当地选择临界值辅助判断，建立方程或不等式模型，利用草图分析法感受数形结合的价值，体会从特殊到一般研究问题的方法.这些能力的培养都需要在平时的教学中引导学生进行充分的探究，自主建构相关知识，并形成系统的认知体系，从而能有效地运用已学知识解决问题.教学中可以利用图3加深学生对含参二次函数相关知识和解题策略的理解，形成解决问题的一般方法，提升数学抽象能力、运算能力以及推理能力，从而实现核心素养的提升.

参考文献：

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）.北京：北京师范大学出版社，2022.

黄秀旺.关于初中代数推理的认识与思考——基于初中代数推理的文献分析.中学数学教学，2023（2）：5-8.