基于Matlab 软件的傅里叶级数及其应用的教学实践探索

孙金秋

摘要：学生学习傅里叶级数及其应用时感觉晦涩难懂，计算烦琐，对该知识点掌握效果不佳。文章从傅里叶级数在高等数学课程中的学习，以及傅里叶级数在后继课程电路、信号与系统、电力电子技术中应用的学习均借助了Matlab软件。利用该软件直观地观察傅里叶级数，使学生更好地理解傅里叶级数的核心思想。并借助该软件完成傅里叶级数的数学计算，减轻学生计算负担，从而将更多的精力用于采用傅里叶级数解决实际工程问题。实践证明，该教学模式提高了学生对傅里叶级数及其应用的掌握。

关键词：傅里叶级数；Matlab软件；教学；工程问题；应用

中图分类号：G642 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2024）13-0177-04 开放科学（资源服务）标识码（OSID） ：

0 引言

傅里叶级数理论的出现在数学领域产生了巨大的影响，随后被广泛地应用于电力、电子、计算机、通信和控制等多个领域解决实际问题[1]。

傅里叶级数是高等数学课程的内容，学生在学习该内容时感觉晦涩难懂。即使听懂的同学也只会用部分积分法求傅里叶级数的系数，然后把函数展开成傅里叶级数。而对于为什么要学傅里叶级数？傅里叶级数应用于哪些场合？学生并不知道。很多高校在高等数学的授课中只简单介绍该部分内容，并不作为考试内容；甚至有的高校将其作为自学内容。导致学生该部分内容的基础非常薄弱，严重影响后继课程中采用傅里叶级数解决实际工程问题的学习效果。

Matlab是大型的数学计算软件，具有强大的数据计算能力，并可以将复杂和抽象的事物采用图像化显示。对于理科和工科学生，将来大部分工作中的运算都可以借助Matlab完成[2]。因此本文将Matlab软件引入傅里叶级数及其应用的学习过程中，利用该软件让学生深刻理解傅里叶级数，并能够熟练利用软件计算傅里叶级数，从而能够采用傅里叶级数高效率解决实际工程问题。

1 基于Matlab 软件的傅里叶级数教学探索

1.1 傅里叶级数

傅里叶级数由法国数学家傅里叶提出，即满足条件（狄利克雷条件）的任何周期函数可以由一系列不同频率的正弦（余弦）函数叠加而成。这种相加形式又称为级数，所以也称为傅里叶级数[3]。

A0 称为周期函数 f（t）的直流分量或恒定分量；A1m cos（Ωt + ?1 ）称为周期函数f（t）的基波分量简称基波，周期为T；其他各项称为周期函数 f（t）的高次谐波。

1.2 傅里叶级数的教学探索

目前高等数学的常规教学中，首先讲述上述计算步骤，再讨论一下当函数具有对称性时，怎样简化某些系数的计算。这种方式只强调了傅里叶级数的数学理论性和计算技巧，学生感觉学习难度大，缺乏兴趣。导致在后继课程用到傅里叶级数解决专业问题时，大多数同学力所不及。因此本文探索将Matlab软件引入傅里叶级数的教学中。

授课时介绍完傅里叶级数的理论计算后，接着讲述怎样用Matlab软件获得周期信号的傅里叶级数。在Matlab软件的m文件中首先生成周期信号，然后分别计算常数项和各系数。例如求方波信号的傅里叶级数的m文件如图1所示。运行该m文件后，既可以在命令窗口中直接获得方波信号傅里叶级数展开后的常数项和各项系数，也可以采用图形化的形式获得各项系数，如图2所示。可以让学生自己改变方波的某些参数，观察各项系数的变化，也可以指导学生编写其他周期信号的傅里叶级数展开。借助Matlab软件完成周期信号的傅里叶级数，既可以减少学生对复杂数学计算的抵触，又可以让他们尽早学会用计算机辅助学习和工作，适应时代的发展。

除了引导学生用Matlab软件计算周期信号的傅里叶级数外，还可以将傅里叶级数与专业课提前衔接融合。将后继专业课程中关于傅里叶级数的应用在高等数学授课中举例，使得学生尽早了解自己专业，并通过实际应用提高学生的学习兴趣。譬如对于自动化专业，傅里叶级数会用于信号与线性系统课程中的频域分析，电路课程中的非正弦周期电路的分析，电力电子技术课程中谐波分析等。

2 基于Matlab 软件的傅里叶级数应用教学探索

2.1 傅里叶级数在信号与系统课程中应用教学探索

傅里叶级数及傅里叶变换是信号与系统课程中的重点内容。通过傅里叶级数或傅里叶变换可以进行系统的频域分析。周期信号傅里叶级数展开后可以得到其幅度频谱和相位频谱。非周期信号通过傅里叶变换可以得到其频谱函数。从时域转换到频域，对学生而言非常抽象，普遍认为该内容是这门课程最难的部分。因此本文探索借助Matlab形象化地展示时域与频域的联系。

本文在Matlab中设计了典型周期信号傅里叶级数展开的可视化GUI程序用于课堂演示，如图3所示。在该程序中可以选择不同占空比的方波或三角波，以及选择傅里叶级数展开的项数。选择后，便可以采用3D界面显示该信号的傅里叶级数展开情况。以方波为例，在时域中可以直观看到方波分解为直流项、基波和各次谐波。同时可以根据分解的结果，获得频域中直流项、基波和各次谐波的幅值，画出该信号的幅频特性。通过该3D界面直观显示，学生更容易将时域和频域联系起来，从时域过渡到频域。

周期信号傅里叶级数展开后，理论上项数趋于无穷大。展开的项数越多，其与原信号越接近。但项数越多，后期处理时计算量就会越大。所以傅里叶级数展开的项数需折中考虑。因此本文除了采用图3的GUI程序直观地显示信号的傅里叶级数展开后其频率特性外，还借助该软件获得周期信号傅里叶级数展开后不同项数的拟合效果。图4和图5是方波信号展开项数分别是5和50的拟合效果图。

通过Matlab 软件的直观显示，学生更加深入地理解傅里叶级数。从而能够更好地利用傅里叶级数解决专业课中的工程问题。

2.2 傅里叶级数在电路课程中应用教学探索

周期信号的傅里叶级数展开在电路课程中的典型应用为非正弦周期电路的分析。该课程中首先介绍直流稳态电路的分析，然后介绍正弦稳态电路的分析。如果电路中的激励为非正弦周期信号，譬如方波、三角波等，那该怎样分析呢？

例如：RL串联电路如图6所示，当激励为图7所示的方波时，求电感两端的电压。

这时便可引入傅里叶级数展开解决该实际问题。首先将方波信号傅里叶级数展开，然后分别计算前面3-5项为激励时电路对应的响应，最后根据叠加定理将各个激励下的响应相加便可，即谐波分析法。学生熟练掌握Matlab软件后，可以直接采用本文2.2小节中的方法求出周期信号傅里叶级数的前面各项，然后进行电路的后继计算。这样避开傅里叶级数的手算，从而减轻学生的计算量，让学生有更多的精力用于采用傅里叶级数解决实际问题。

本文为了让学生更好地理解谐波分析法，还在Matlab 软件中，采用Simulink 编写了电路的仿真程序，分别直接采用图7种方波作为激励对图6的电路作用和采用方波傅里叶级数展开的前三项和作为激励对图6的电路作用，然后比较两种情况下电感两端的电压。验证谐波分析法的可行性。仿真程序如图8 所示。

2.3 傅里叶级数在电力电子技术课程中应用教学探索

电力电子技术课程讲述电能形式的变换，主要包括AC/DC、AC/AC、DC/AC、DC/DC四种。因电力电子电路属于开关、非线性电路，该课程的学习对学生而言难度非常大。除了常规的分段线性化和波形分析法，本文将Matlab软件中的Simulink用于该课程的仿真教学。除此之外，还在该课程中用傅里叶级数分析谐波问题。

整流电路将输入的交流电变换成直流电。理想的直流电为平滑的直线，但实际获得的直流电有脉动。也就是获得的直流电除了直流项还包括了各种频率的谐波。譬如单相桥式整流电路输出的直流电如图9所示，三相桥式整流电路输出的直流电如图10 所示。怎样定量地评价单相桥式整流电路和三相桥式整流电路输出的直流电哪个更优？这时必须借助于傅里叶级数。将两种不同整流电路的输出电压进行傅里叶级数展开后，第一项是理想输出的直流电，后面项数便是基波和各次谐波，基波和谐波占有的比重越小，则其输出的直流电就更优。

单相电压型逆变电路常见的控制方式有固定脉冲控制和PWM控制两类。其获得的交流输出电压的波形如图11和图12所示。怎样定量的评价固定脉冲控制和PWM控制哪种效果更好呢？这时也必须借助于傅里叶级数。将输出电压傅里叶级数展开后，第一项常数项通常为零，第二项的基波项是理想的正弦交流电，后面的各项便是各次谐波。显而易见，各次谐波含有量越低越好。

由此可见，电力电子技术定量计算分析中，很多场合都需要借助傅里叶级数展开。如果手动计算，计算量非常大，而且容易算错。当学生经过前期课程的学习对傅里叶级数深度掌握后，便可以熟练地利用Matlab软件对各种周期信号傅里叶级数展开，然后进一步分析。

3 教学效果

本文从傅里叶级数在高等数学课程中的学习，以及傅里叶级数在后继课程电路、信号与系统、电力电子技术中应用的学习均借助了Matlab软件。一方面可以采用该软件直观地观察傅里叶级数，使得学生更好地理解傅里叶级数的核心思想。另外一方面可以借助该软件完成常规的数学计算，减轻学生的计算负担，可以将更多的精力用于采用傅里叶级数解决实际问题。经过基础课、专业基础课和专业课不断地强化学习，学生能够熟练掌握傅里叶级数，以及能够用傅里叶级数解决实际问题。

参考文献：

[1] 王静，李应岐. 傅里叶级数引入环节的教学设计[J]. 高等数学研究，2019，22（3）：57-59.

[2] 谭佳，赵润，苏明明. 数学软件在数学物理方法课程教学中的应用[J]. 科教文汇，2023（14）：74-77.

[3] 陈广福. Matlab应用于“信号与系统” 课程教学探索与实践[J]. 现代信息科技，2022，6（18）：195-198.

[4] 卢厚元，李波. 高等数学融入专业群课程体系建设的实践探索：以湖工职院高等数学与电子信息类专业的融合为例[J].湖北工业职业技术学院学报，2022，35（5）：76-80.

[5] 任亚莉. 周期信号傅里叶级数分析演示系统设计[J]. 电脑知识与技术，2020，16（28）：23-25.

[6] 严明. 基于“工学一体化” 的傅里叶级数教学设计探讨[J].福建开放大学学报，2021（5）：49-53.

【通联编辑：王力】

基金项目：北方国际大学联盟教育教学研究课题：“面向智能制造，强化工程设计”的独立学院新工科专业改造升级的探索与实践，课题编号：20210615001