里“勾”外“连”各击破一“垂”定音解“圆”题

牟玉娟

摘要：垂径定理在圆问题中出现的频率非常高，是解决与圆有关问题的重要知识.事实上，在应用垂径定理解决圆的问题时，抓住直径垂直且平分弦，连接圆心与弦的端点构造直角三角形后用勾股定理都是极为重要的步骤.本文中尝试将“垂”作为总方向，探究如何利用勾股定理有效解决与圆有关的问题.

关键词：垂径定理；圆；勾股定理；半径

通过分析近几年的中考数学试卷发现了两个现象，一是在圆中应用垂径定理解决问题越来越普遍，二是垂径定理往往与勾股定理相结合.由此可见，教师在新授或复习圆的有关问题时，不仅要注意垂径定理在圆问题中的重要性，而且要适当拓展与其相关的知识，如直角三角形、勾股定理、等腰三角形、垂直平分线的性质等.基于此，本文中尝试探究在“连”成直角三角形后利用“勾”股定理解决与圆中“垂”径定理有关的问题.

1 垂径定理基础模型介绍

垂径定理是初中数学几何部分的重要内容之一，其模型如图1所示.在⊙O中，由于AB是⊙O的直径，CD是与直径互相垂直的弦，因此可得到如下三个结论：

（1）CE=DE.

（2）BC=BD.

（3）AC=AD.

所以，可将垂径定理表述为“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”.

那么在与圆有关的问题中，如何发现该模型，并且如何使用该模型解决问题呢？下面，从理论上来说明这两个问题.

首先，从圆问题中发现垂径定理模型比较简单，因为题中往往已知直径和一条弦（非直径），且这条弦和直径是互相垂直的关系，所以在图中寻找“直径和弦（非直径）互相垂直”是关键.

其次，在使用该模型时，往往是作圆心到弦的垂线段或连接过弦端点的半径，从而构造出一个以半径、半弦长的线段、圆心到弦的垂线段为三边的直角三角形，最后再利用勾股定理便可解决问题.

由此观之，一“垂”定音的解题效果如何，关键在于是否通过“连”构造出直角三角形，能否利用勾股定理进行计算.

2 垂径定理模型例用

垂径定理模型的用法主要有以下三种.

2.1 知垂直，连半径

例1（2022·北京）如图2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.

求证：∠BOD=2∠A.

分析：由于∠A是圆周角，因此可根据“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”进行等量代换.此时，只需连接OC，那么∠BOC就是∠A同弧所对的圆心角，可得∠BOC=2∠A.又因为半径OC和OD相等，于是得到了一个等腰三角形OCD.由于已知AB⊥CD，所以可认为底边CD的高一定在AB上.再根据“三线合一”的性质，可以得到OB是∠COD的平分线，进一步得到∠BOD=∠BOC，最后再利用等量代换即可得证∠BOD=2∠A.

证明：如图3所示，连接OC，则OC是⊙O的半径，即OC=OD.

∴△COD是等腰三角形.

对于BC，有∠BOC=2∠A.

∵AB⊥CD，

∴∠BOD=∠BOC.

∴∠BOD=2∠A.

点评：看见弦（非直径）

和半径（或直径，或直径所在的直线）是互相垂直的位置关系，就可利用垂径定理模型解决问题.此时，只需连接半径，构造出直角三角形或等腰三角形，然后用勾股定理计算或用等腰三角形的性质证明即可.

2.2 知半径，作垂直

例2（2022·邵阳）如图4，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（）.

A.32

B.32

C.3

D.52

分析：涉及半径和弦长，可过圆心O作弦的垂线，然后在构造出的直角三角形中计算即可.

解：如图5所示，连接OB，OC，则OB，OC都是⊙O的半径，即OB=OC.过点O作BC的垂线，垂足为D.

∵△ABC是等边三角形，AB=3，

∴AB=BC=3，∠A=60°.

∴∠BOC=120°.

∵OD⊥BC，

∴∠BOD=60°，BD=32.

∵sin∠BOD=BDOB，

∴sin 60°=32OB=32.

∴OB=3.

∴⊙O的半径是3.

故填答案：C.

点评：圆的半径在图中可通过连接O和B两点得到，而要求半径的长，由于题中已知弦长，则需作垂直.半径和弦、垂直是垂径定理中非常重要的关键词，“直径和弦（非直径）互相垂直”是识别垂径定理模型的关键.

2.3 半径垂直皆不知，造弦，连半径，作垂直

例3如图6，AB为⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，BC=5，DE=6.求⊙O的直径.

分析：首先，连接OD，连接AC构造弦，垂径定理模型已出现.根据“直径所对的圆周角是直角”得到∠ACB=90°，与DE⊥BC结合得到DE∥AC.然后在等腰三角形DOB中通过等量代换得到∠ODE=90°，证明四边形D

ECF是矩形，则得到OD⊥AC.根据垂径定理得到CF=AF=DE=6，即AC=12.最后在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得⊙O直径AB的长.

解：如图7，连接AC，OD交于点F，则OD是⊙O的半径，即OD=OB.

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠ABD.

∵OD=OB，

∴∠ABD=∠ODB.

∴∠EBD=∠ODB.

∴OD∥BE.

∴∠ODE=∠DEB=90°.

∴DE⊥OD.

∴DE是⊙O的切线.

∵DE⊥BE，

∠ACB=90°，

DE⊥DO，

∴四边形ECFD是矩形.

∴AC⊥DO.

∴AF=CF.

∵DE=6，

∴AC=2CF=12.

在Rt△ACB中，根据勾股定理得AB=13.

点评：当垂径定理模型出现后，根据垂径定理进行证明和计算变得非常容易，但需注意的是直径平分弦（非直径），而不是弦平分直径.

3 技法总结

垂径定理模型的关键在于紧抓半径和弦、垂直及“直径和弦（非直径）互相垂直”，这样就可以通过“连”构造直角三角形，最终实现一“垂”定音.当然，在应用的过程中还需注意以下几个方面：

首先，垂径定理模型中的半径（或直径），不仅平分弦（非直径），而且平分这条弦所对的弧.这里的弧可以是优弧，也可以是劣弧.尤其是后者，学生极易忽视.如图1所示，直径AB不仅平分劣弧CD，还平分优弧CAD.

其次，在垂径定理模型中，是直径平分弦（非直径），而不是弦平分直径.如图1，是直径AB平分弦CD，得到EC=ED，而不是CD平分AB.这一点，很多学生容易出错.

总而言之，垂径定理在与圆有关的问题中发挥了极其重要的作用，在利用垂径定理模型分析问题时，抓住半径和弦、垂直及“直径和弦（非直径）互相垂直”是关键，然后再各个击破，最终让问题得到圆满解决.

参考文献：

陈迪.浅谈圆的轴对称性的认识——基于垂径定理教学的思考.中学教研（数学），2021（8）：9-11.

伍春兰，丁明怡，葛晓红.数学定理教学的“转识成智”——以初中“垂径定理”起始课为例.数学通报，2022，-61（9）：32-36，40.

刘家良.垂径定理中的直角三角形.数理天地（初中版），2021（10）：20-21.