从“螺旋式”上升的角度谈教材微整合

校丁永 许盈盈

《论语·里仁》中写到：“见贤思齐焉，见不贤而内自省也.”笔者在教授九年级数学（下册）第6章“图形的相似”时，教材中提出证明三角形三条中线交于一点.结合教材的证明方法及在教学中学生现场生成的证明方法，笔者有了一些思考：难道利用之前所学知识无法证明此问题吗？由此，引发了笔者更多的思考，故撰写此文与读者交流.

1 问题呈现

苏科版七年级（下册）第7章“7.4认识三角形”中第25页“练一练”第2题：分别画出图中（一个锐角三角形、一个钝角三角形）各个三角形的3条中线.你有什么发现？

随后，在参考答案中给出：三角形的3条中线交于一点.借助“画一画”，通过合情推理得出了这一结论，由于所学知识有限，当时并未进行证明，可以说是留下了一个空白.同时，也提到了三角形三条角平分线交于一点，三角形三条高线交于一点.

在八年级（上册）利用角的轴对称性证明了三角形三条角平分线交于一点.

在九年级（下册）利用相似三角形的性质证明了三角形三条中线交于一点.

两个方面引起了笔者的关注与思考：一方面证明三角形三条中线交于一点出现的太晚，跨度整整两年；另一方面三角形三条高线交于一点始终没有给予证明.下面是笔者对这两个问题的一些思考.

2 问题解决

苏科版八年级下册第9章“中心对称图形——平行四边形”，安排了“三角形的中位线”的学习.既提到了三角形，又提到了两个中点，可以说是与三角形三条中线交于一点非常接近.此处既然提到三角形的两个中点，何不顺势而为，提出第三边的中点，从而引出三条中线，并用所学知识证明三条中线交于一点.

2.1 八年级下学期的证明方法

下面笔者给出一种用中位线定理和平行四边形的判定及性质证明三角形三条中线交于一点.

证法1：中位线法.

如图1，

延长AO至点G，使OG=AO，连接BG，CG.

∵E，O分别是AB，AG的中点，

∴EO是△ABG的中位线.

∴EO∥BG，EO=12BG.

∴CO∥BG.

同理，DO∥CG，DO=12CG.

∴BO∥CG.

∴四边形OBGC是平行四边形.

∴BF=FC.

∴F是BC的中点.

故△ABC三条中线交于一点.

此法称之为“中位线法”，缘于在作辅助线时以构造中位线为目的.此处利用三角形中位线定理及平行四边形的定义与性质即可证明，而这两个知识点恰恰是学生刚刚学过的，同时在学习中位线的时候学生特别容易想到中线，既然已经有了两个中点，那么再引出第三个中点就显得更加水到渠成.

2.2 九年级下学期教材给出的证明方法

教材在九年级（下册）利用相似三角形的性质证明了三角形三条中线交于一点，给出了如下方法.

证法2：同一法.

如图2（1），△ABC的中线BD，CE相交于点O，连接ED.

∵E是AB的中点，D是AC的中点，

∴ED∥BC，ED=12BC.

∴△EDO∽△CBO.

∴ODOB=EDBC=12.

如图2（2），△ABC的中线BD，AF相交于点O′，连接FD.同理可得O′DO′B=FDAB=12.

∴点O与点O′重合.

故△ABC三条中线交于一点.

此法虽好，但是学生不易想到，不在学生的最近发展区内.在课堂教学时，由于刚学完相似三角形的判定条件，因此学生给出的几种不同的证明方法，几乎都和相似三角形或平行线分线段成比例有关.

2.3 课堂上学生现场生成的证明方法

下面是学生给出的一些证明方法：

证法3：平行四边形法.

如图3，

延长OD至点G，使DG=OD，连接AG，CG.

∵D分别是AC，OG的中点，

∴四边形OAGC是平行四边形.

∴CO∥AG，AO∥CG.

∴BEEA=BOOG，BFFC=BOOG.

∴BEEA=BFFC.

∵E是AB中点，

∴BE=AE.

∴BF=FC.

故△ABC三条中线交于一点.

这种证明方法也非常简单，构造平行四边形，并利用平行线分线段成比例来进行证明，关于相似的判定和性质还未涉及其中.

证法4：倍长中线法.

如图4，

延长OD至点G，使DG=OD，连接ED，CG.

∵D是AC的中点，

∴DA=DC.

∵∠ADO=∠CDG，

∴△ADO≌△CDG.

∴∠DAO=∠DCG.

∴AF∥CG.

∴BFFC=BOOG.

∵E是AB的中点，D是AC的中点，

∴ED是△ABC的中位线.

∴ED∥BC，ED=12BC.

∴△EDO∽△CBO.

∴ODOB=EDBC=12.

∴BO=OG.

∵BFFC=BOOG，

∴BF=FC.

故△ABC三条中线交于一点.

证法5：利用相似三角形的判定与性质.

如图5，

连接DE交AF于点G.

∵E，D分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线.

∴DE∥BC，DE=12BC.

∴△EDO∽△CBO，

△EGO∽△CFO，

△AEG∽△ABF.

∴EOOC=EDBC=12，EGFC=EOOC=12，EGBF=AEAB=12.

∴BF=FC.

∴AF是BC边上的中线.

故△ABC三条中线交于一点.

3 深入思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则．数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的.因此，教材在呈现相应的教学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则.

3.1 调整教学设计，递进更加明晰

笔者认为，可以把“证明三角形三条中线交于一点”安排在中位线定理的学习之后.原因有二：其一，七年级下学期已经“初见”，拖到九年级下学期“再见”，跨度太大.其二，在学习“三角形的中位线”时，已有两边中点，再提第三边中点亦是顺其自然、水到渠成，对其进行证明便可顺势而为、顺水推舟，更能充分调动学生探索的积极性，教学效果也必将事半功倍.整体呈现如图6所示：

正如南京师范大学顾继玲教授所说：在不同学段、不同单元中，课程内容重复出现，逐渐拓展知识面，加深知识难度，即同一课程内容多次出现，后面的内容作为前面内容的扩展、深化，以交叉递进的方式进行，体现螺旋式上升的特点.

3.2 由此及彼再思索，三条高线又如何

七年级（下册）提到三角形三条中线交于一点、三条角平分线交于一点、三条高线交于一点.

八年级上学期利用角平分线的性质和判定证明三条角平分线交于一点.

可以在八年级下学期，利用中位线的性质和判定证明三角形三条中线交于一点.

然而，教材中并没有安排“三角形三条高（所在直线）交于一点”的证明.从整体的角度去看，可谓甚是遗憾，下面笔者给出一种证明方法.

在△ABC中，已知高BD，CE交于点F，连接AF并延长，交BC于点G.

求证：AG⊥BC.

证明：如图7，取BC中点O，连接OD，OE，DE.

∵在Rt△BEC中，∠BEC=90°，

∴OE=OB=OC.

同理，OD=OB=OC.

∴点B，E，D，C在以点O为圆心，OB为半径的圆上.

同理，点A，E，F，D共圆.

∵∠DBC=∠DEC，

∠DAF=∠DEF，

∴∠DBC=∠DAF.

∵BD⊥AC，

∴∠DBC+∠DCB=90°.

∴∠DAF+∠DCB=90°.

∴∠AGC=90°.

∴AG⊥BC.

故三角形三条高交于一点.

如此便将七年级下学期提出的三角形的三条角平分线交于一点、三条中线交于一点、三条高线交于一点全部证明完毕，如图8所示.

教师要非常熟悉初中三个年级教材的整体编排，在备课时站在高位进行教学设计.教师站位越高，学生获得的知识越系统，教师的思路越立体，学生的收获越丰富，让学生对后续知识的学习有更多的好奇心和求知欲，发展数学核心素养.

东北师范大学孔凡哲教授指出，“螺旋”是指学习主题相同而内容的深度、广度不同，“上升”是指层次的提升，以及课程内容的深度、广度的加深.因此“同一个课程内容的不同层次之间比较适宜进行‘螺旋式上升”，“上升”的表现可以是思维深度的加深，也可以是内容广度的增加，还可以是学习素材载体的改变等.

3.3 理论联系实际，大胆进行整合

（1）从初中三年的知识结构去思考，在教材没有提到的情况下，如果能够补充证明“三角形三条中线交于一点”“三角形三条高线交于一点”，从而可以促成初中三年整个学段的知识形成闭环，不留空缺.

（2）充分体现几何知识的学习中，一般思路为观察、操作、发现、论证.既然发现了结论，如果不去论证，显得不够严谨，不够完美，甚是遗憾.

（3）进行教材的微整合时，不能影响整体的教学进度，不能影响整体的知识结构，不能拔高知识的难度，不能增加学生的负担.

（4）可以更好地体现初中数学知识的螺旋式上升，充分体现数学知识的环环相扣，展示数学知识的层层递进，让教学循序渐进，让学生学习时感悟到条理更清晰、结构更完美！

（5）对教材进行的整合与思考，有利于教师的专业成长，俗话说做人要“活到老、学到老”，那么做老师便要“教到老，研到老”，力争每轮教学都有新研究、新思考，力求每轮教学都有新成果、新收获！

参考文献：

中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）．北京：北京师范大学出版社，2022.

顾继玲.关于数学教材内容的选择与组织.数学通报，2017（2）：14，66.

孔凡哲．基础教育新课程中“螺旋式上升”的课程设计和教材编排问题探究．教育研究，2007（5）：6268.