融入理性思维，构建关系模型

裘陆勤 徐雪刚

［摘  要］ 为了融入理性思维，构建关系模型，研究者以“单价、数量和总价”一课教学为例，探索让学生在初步探究中认识单价含义，在深入探究中建立并理解数量关系，在知识应用中发展理性思维。

［关键词］ 理性思维；关系模型；数量关系

【教学内容】

“单价、数量和总价”。

【教学过程】

一、初步探究，认识单价含义

1. 初步感知什么是单价

师：小红家楼下有一个小超市，生意火爆，她连续6天调查了这家超市牛奶的销售情况（如表1）。你们能提出哪些数学问题并列式解答吗？

生1：每盒牛奶多少钱？算式是20÷4=5（元）。

生2：8盒牛奶要多少元？算式是5×8=40（元）。

生3：50元能买几盒牛奶？算式是50÷5=10（盒）。

生4：星期六卖出牛奶多少元？算式是1×5=5（元）。

师：在购物中，我们把卖出商品的盒数、件数、个数叫作“数量”，一共收入的钱叫作“总价”。每1盒牛奶的价格叫作“单价”，写作5元/盒，读作“5元每盒”或“每盒5元”，表示牛奶的单价是每盒5元。

师：刚才有的同学算出星期六卖出牛奶的总价是5元，正好是1盒牛奶的价格。所以当我们只买1件商品时，所付出的钱就是这款商品的单价，也是所购买商品的总价。（出示商品的单价：巧克力10元/块、荔枝8.99元/500g、按摩椅12元/13分钟、薯片25元/罐、猕猴桃5元/个、矿泉水3元/瓶、棒棒糖1元/根、面包5元/个、电的价格是0.64元/度）同学们，你们知道这些单价表示什么意思吗？

生5：巧克力每块10元，荔枝每500g要8.99元，按摩椅每13分钟要12元……

设计意图：数学是对现实世界的思考、描述、表征、解释、理解和应用，其目的是发现现实世界中数和形的规律，推动社会的进步和人类的发展。学生对于购物中的单价、数量和总价并不陌生，教师要引导学生从实际生活中提炼单价的含义，进而建构单价、数量和总价之间的数量关系。学生在理解单价含义的过程中要经历三个阶段：（1）知道单价是每件商品的价格；（2）能正确读和写出单价，并解释商品单价表示的含义；（3）能初步理解单价和总价在不同情境中的相对性。

2. 感悟单价和总价的相对性

师：国庆节到了，这家超市搞促销活动，把12盒牛奶打包成1提，这提牛奶要多少元？

生6：每提牛奶是5×12=60（元）。

师：这里的“60元”是单价还是总价？

生7：“60元”表示单价，因为现在牛奶是按“1提”来卖的。

生8：“60元”表示总价，因为60元是12盒牛奶的总价。

师：由此可见，一个钱数究竟表示单价还是总价，是由什么来决定？

生9：主要看购物中以多少个商品为1份。

师：当我们把若干个商品看作“1份”来销售时，这些商品的总价构成了新的单价。（动画演示：“60元/提”变为“50元/提”）你们知道为什么每提牛奶计算出来是60元，现在只标价“50元/提”了？

生10：因为整提卖，这样赚钱更快，可以优惠顾客。

师：说得真好！在实际生活中，很多商品批发和零售的单价不一样。

设计意图：为了进一步帮助学生理解单价和总价在不同情境中的相对性，教师组织学生辨析“60元”究竟是单价还是总价，让他们发现单价和总价的判断标准主要看购物中以多少个商品为1份。同时，教师组织学生计算以12盒牛奶为1提的价格，并出示现实生活中超市提供的价格，让他们在比较中感悟商品批发和零售的不同定价方式，从而帮助学生在头脑中形成丰富且具象的单价。

二、开展探究，理解数量关系

1. 纵向解决问题，构建数量关系

师：买单价是50元/提的牛奶5提，需要多少钱？

生1：50×5=250（元），买5提牛奶需要250元。

师：你是怎么想的？为什么用乘法计算？

生1：每提牛奶50元，买了5提，每提牛奶的价格乘以买的提数等于一共用了多少钱。

师：刚才我们解决了5提牛奶总价的问题，在实际生活中用50×5还能解决哪些问题呢？请你编写一道50×5的算式应用题。

学生的反馈：（1）每本书的价格是50元，买5本书要多少钱？（2）每小时行驶50千米，5小时一共行驶多少千米？（3）每分钟生产50个零件，5分钟一共生产了多少个零件？（4）每个教室有50个同学，5个教室一共有多少同学？（5）工程队每天修路50千米，5天修路多少千米？……

师：同学们，看来用50×5这个算式可以解决很多问题。如果我们把这些数学问题分类，你们会按照什么标准分？

生2：我们可以根据在生活中的用途来分，比如买东西要多少钱是购物问题，行驶多少千米是行驶问题，生产多少个零件是生产问题，工程队修路多少千米是工程问题，5个教室有多少同学是一般的乘法问题……

师：在数学上，我们可以分为购物问题、路程问题和工作问题等模型，这些问题都可以转化为以前学过的乘法问题，你们还记得它们的数量关系吗？

生3：每份数×份数=总数。

师：是的，在购物问题中，每份数相当于单价，份数相当于数量，总数相当于总价，所以数量关系是单价×数量=总价。在路程问题中，每份数相当于速度，份数相当于时间，总数相当于路程……在购物问题中，已知单价和数量，求总价是用“单价×数量=总价”；已知总价和单价，怎么求数量？已知总价和数量，怎么求单价？

生4：总价÷单价=数量，总价÷数量=单价。

设计意图：一个完整的数学建模过程包括发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果、改进模型、解决实际问题。在本节课中，模型意识的具体表现是学生知道在解决一类问题时往往可以找到一个典型的模型，解决同类问题时可以转化为这个模型，即第一步是结合具体情境感知用乘法算式求总价；第二步是寻找同一个乘法算式可以表示不同的数学问题；第三步是在分类中建立数量关系模型，并提炼出最基本的数量关系。当学生经历了购物问题的建模全过程后，他们就能主动地将建立模型的方法运用到路程问题和工程问题中，实现学习方法的正迁移。

2. 横向解决问题，灵活运用关系

师：小红到超市买一些牛奶，带去的钱正好可以买单价5元/盒的牛奶40盒，小红想买50元/提的牛奶，可以买多少提？

生5：根据单价×数量=总价，算出总价是40×5=200（元）；我本来想算200÷50，发现这个算式没有学过，就根据单价×数量=总价，算50×（  ）=200，得到数量是4提。

生6：根据单价×数量=总价，算出总价是40×5=200（元）；发现200÷50没有学过，根据总价÷数量=单价，算200÷（  ）=50，得到数量是4提。

生7：先根据单价×数量=总价，算出总价是40×5=200（元）；再根据总价÷单价=数量，算出数量是200÷50=4（提）。

生8：这里的“5元/盒”和“50元/提”都是单价，“40盒”和“几提”都是数量，根据单价×数量=总价，50÷5=10表示单价扩大了10倍，要保持乘法算式的积不变，所以数量就要缩小10倍，40÷10=4（提）。

设计意图：学生在上一环节中构建了数学模型，并且学会运用模型解决一步计算的购物问题。为了促使学生能灵活运用模型解决两步计算的购物问题，串联起不同数量关系之间的变式，教师鼓励学生用多种方法解决同一个数学问题，培养他们数学思维的灵活性和发散性。

三、知识应用，发展理性思维

师：超市在进货时，批发商都是以4提为1箱销售，如果你是批发商老板，会定价多少元？

生1：我会定价300元。

生2：300元太高了，超市老板给的每提单价是50元/提，4提就是200元，所以我会定价200元。

生3：我会定价190元，因为超市老板卖出4提的总价是200元，如果批发商老板的定价是200元，那么超市老板就没有钱赚了，所以批发商老板的定价要比200元少。

生4：我会定价180元，这样超市老板每箱牛奶可以赚20元。

生5：我会定价170元，这样超市老板每箱牛奶可以赚30元。

师：批发商确定牛奶的单价是180元/箱，如果你是超市老板，一次性会进货多少箱，要付多少钱？

教师将学生的回答整理成一张表格（如表2）。

师：同学们，请你观察这张表格中的信息，你发现了什么？

生6：牛奶的单价不变，箱数越多，总价越大；箱数越少，总价越小。

生7：虽然数量和总价在变化，同一种商品的单价始终不变。

师：有的人想进货2箱，有的人想进货100箱，你们刚才在确定一次性进货数量的时候考虑了哪些因素？

生8：我们要考虑牛奶的生产日期、超市平时销售牛奶的情况、牛奶的保质期、平时牛奶的进货价格是否经常波动、进货的运输成本……

师：是的，超市老板在进货时要考虑很多因素，如果是小超市老板，可以一次性进货10箱；如果是大超市老板，可以一次性进货100箱甚至更多，我们需要根据实际情况进行变通。

设计意图：“单价、数量和总价”这个数学模型主要应用在购物情境中，教师让学生假设成批发商老板，合理地确定每箱牛奶的定价；让学生假设成超市老板，不仅学会从多角度思考一次性进货多少箱比较合理，还发现了单价、数量和总价中的函数关系。

四、全课小结，深化理性思维

师：同学们，通过这节课的学习，你们有什么收获？你们对购物问题有哪些新的认识？