基于Vine-Copula的高土石坝变形监控模型研究

陈天赐 李艳玲 张芳 陈枭

摘要：针对高土石坝变形监控模型主要基于单一测点，无法定量考虑测点空间关联性的问题，构建了基于Vine-Copula的变形监控模型，并提出了基于蒙特卡洛随机抽样法的空间置信域预警阈值设置方法。在模型构建过程中，充分考虑了多测点之间的时序特性和空间相关性，利用Vine-Copula方法对变形数据进行精确建模和分析，以揭示高土石坝变形的整体趋势。同时，通过蒙特卡洛随机抽样法确定了空间置信域，为预警阈值的设定提供了科学依据。工程实践表明：该模型模拟结果能够准确反映高土石坝变形的整体趋势，具有较高的合理性和精度，有效实现了监测效应量向高土石坝空间全域的拓展。研究成果可为高土石坝安全监控提供新的思路和方法，具有重要的理论意义和实践价值。

关 键 词：高土石坝；变形监控模型；Vine结构；Copula函数；空间置信域

中图法分类号：TV698.1

文献标志码：A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.05.027

0 引 言

高土石坝变形是科学分析大坝安全性态的基础，合理构建高土石坝变形监控模型是实现大坝运行安全在线监控的关键。统计模型、确定性模型和混合模型^［1-3］是最常用的3种变形监控模型。近年来，随着机器学习技术的发展，神经网络^［4-5］、支持向量机^［6-7］等方法相继应用于土石坝变形监控模型构建，单点监控模型的合理性和适用性得到了较大提升。但单点监控模型仅能反映测点所在位置的局部变形性态，无法反映变形整体趋势，且易因设备故障、测量误差等出现局部偏离而导致对大坝整体安全性态的误判和虚警。

因此，国内外不少学者开始对大坝变形监控模型进行探索，一些结合多测点的监控模型开始出现。任秋兵等^［8］考虑到空间中任意两个测点存在一定的关联度，提出了基于门控循环单元神经网络结合软注意力机制的大坝变形动态监控模型；蔡忍等^［9］运用投影寻踪法给多测点赋予不同的权重，建立了综合大坝变形监控模型，实现了对大坝断面变形性态的监控；王少伟等^［10］融入同类多测点数据，构建了基于主成分分析法的变形监控模型，实现了对大坝整体变形的快速诊断。总的来说，多点空间监控模型能够实现对大坝整体的监控，具有一定优势，但已有的方法还不够成熟，有待进一步研究。目前Vine-Copula模型已经应用于水文、金融、投资等^［11-13］各个领域，但在大坝变形监控模型领域应用还较为少见，具有较大研究价值。

本文考虑多测点时序特性和空间相关性，引入Vine-Copula联合分布函数构建高土石坝多测点变形监控模型，并将其运用于SBX高面板堆石坝变形监控。

1 高土石坝变形监控模型构建

1.1 基本原理

综合考虑同类同部位测点变形的相关性和协调性，本文引入了“藤”（Vine）结构和“连接函数”（Copula）的概念，将具有空间一致性的多测点利用Vine结构和Copula函数连接起来，建立测线或断面多测点联合的变形监控模型，并通过监控其联合分布函数变化特性，实现对大坝同一测线或断面的整体变形特性监控。一般地，大坝变形正常时，其同一测线或断面的多测点联合分布函数在其空间置信域内，而当其出现整体变形时，其多测点联合分布函数将偏离空间置信域。因此，构建Vine-Copula土石坝变形监控模型的基础是计算多测点的空间联合分布函数。

Sklar^［14］指出，一系列随机变量组成的联合分布可以分解成单一变量的边缘分布和单一变量间的Copula连接函数。由于单一变量的边缘分布是一定的，因此一个联合分布的相关性完全取决于Copula函数。传统的Copula函数对于联合高维变量费时费力且不宜开展，因此Aas等^［15］提出了Pair Copula的概念，利用链式法可将多个随机变量的联合概率密度函数（PDF）分解为所有单个变量的边缘PDF和对应几个Copula 密度函数的乘积。

假定{x₁，x₂，…，x_n}是一变形单测点历史实测值序列，利用核密度估计法计算单测点测值的概率密度函数，如式（1）所示。

式中：x为单测点测值；x_i为测点历史实测值；n为单测点历史测值的数量；K为一个非负函数，称为核函数，引用最常用的Gussian核函数进行计算；h为核密度估计的带宽，利用经验公式进行计算；σ^为单测点历史测值序列的标准差。

对式（1）积分可得到式（4），计算出各测点历史实测值的概率边缘分布函数F₁（x₁），F₂（x₂），…，F_n（x_n），分别用u₁，u₂，…，u_n表示。

根据Sklar定理，存在连接函数C（·）使得各测点联合分布F（x₁，x₂，…，x_n）满足式（5），各测点多元联合密度函数f（x₁，x₂，…，x_n）可表达为式（6）。

为连接函数C（·）的密度函数；f₁，f₂，…，f_n为F₁（x₁），F₂（x₂），…，F_n（x_n）各测点边缘分布的密度函数。

根据条件概率乘法公式，式（6）可以转化为式（7），结合式（6）和式（7），可得两个变量的联合概率密度f（x₁|x₂），如式（8）所示，任何一个条件密度函数可分解为式（9）。

式中：v_j代表n维向量v中的分量，v_-j代表v中去除v_j后的n-1维分量。

一个n维的Vine-Copula模型结构由n-1棵树和n（n-1）/2条边组成，为了将Pair Copula函数之间的关系及各个变量的相关结构更好地表达出来，引入“正则藤”（R-Vine）^［16］概念。结合式（7）和式（9）得到R-Vine 模型的联合概率密度公式：

式中：x_i为测点历史实测值，n表示节点数，即变量个数；e表示边；E=［E₁，E₂，…，E_n-1］，E_i代表第i棵树中所有边组成的集合；j（e）、k（e）为边e的两个节点；D（e）为j（e）和k（e）之间的连接条件；c_{j（e），k（e）|D（e）}为第i棵树中j、k的边e对应的Pair Copula密度函数；F（x_j（e）|x_D（e））和F（x_k（e）|x_D（e））表示条件分布函数。

1.2 模型构建流程

基于Vine-Copula的变形监控模型构建可使用同一测线或断面的多测点历史监测数据，假设大坝某测线或断面上有n个变形测点，利用这n个变形测点的历史实测值建立变形监控空间模型，大坝Vine-Copula变形监控模型的建模流程见图1。

1.2.1 单测点概率分布计算

依据n个变形测点的历史实测值，利用1.1节中式（1）和式（4）计算单测点测值的概率分布函数。

1.2.2 Vine Copula模型结构优选

常用的Vine结构有R-Vine结构、D-Vine结构和C-Vine结构3种。R-Vine结构适用于任何相关结构，具普适性，但当测点数量较大时，R-Vine结构的数量呈现急速增涨^［17］，计算复杂程度高且效率低。D-Vine结构和C-Vine结构是R-Vine结构的特殊类型，能够在一定程度上提高计算效率。C-Vine为一个变量发散关联其他变量的结构，适用于具有主导变量的结构；D-Vine为串联的直线型结构，适用于描述有临近关系的相关结构。以六维Vine结构为例，R-Vine、C-Vine和D-Vine的结构，如图2所示。

为充分考虑各测点的关联性，同时尽量使模型简单高效，实际应用中常采用最大生成树（MST）法和计算测点间的肯德尔相关系数（τ）来确定变形监控空间模型的最优Vine结构。首先计算Kendall系数τ，对各测点间的相关性进行初步分析，选用较优R-Vine结构建模；然后利用最大生成树（MST）法选择每一棵树结构。最优Vine结构则能保证每棵树Kendall系数τ的绝对值之和最大。Kendall系数τ是相关性度量指标，介于-1～1之间，其绝对值越接近1，表示相关程度越强。

设X={x₁，x₂，…，x_n}和Y={y₁，y₂，…，y_n}分别为两测点的历史实测值序列，（x_i，y_i）和（x_j，y_j）分别为i、j时刻两测点的监测数据对，若x_ij且y_ij，或x_i>x_j且y_i>y_j，则称（x_i，y_i）和（x_j，y_j）一致；若x_ij且y_i>y_j，或x_i>x_j且y_ij，则称（x_i，y_i）和（x_j，y_j）非一致。X、Y两测点共有C²_n种不同的监测数据对，令c表示一致的监测数据对，d表示非一致的监测数据对，则c+d=C²_n，Kendall系数τ的计算公式如式（11）所示。

1.2.3 Copula函数类型选择与参数计算

Vine结构确定之后，需要对每棵树中的每一对随机变量选择一个合适的Copula函数，然后利用赤池信息准则（AIC）^［18-19］作为标准进行函数类型选择，遍历Gussian、t、Frank、Clayton和Gumbel 5种常用的Copula函数^［20-21］，当AIC值最小时，所对应的Vine-Copula模型即为最优模型。

AIC=2K-2lnL（12）

式中：K为参数的数量，对于以上所选5种Copula函数，除t-Copula函数的K为2以外，其余类型函数的K均为1；L为似然函数的最大值，对于R-Vine Copula的联合密度函数，其对数似然函数为

式中：N表示样本数量，θ=（θ₁，θ₂，…，θ_k）表示Vine-Copula模型的参数向量，其余符号含义同式（10）。设θ^为θ的极大似然估计值，则有L（θ^）=max{L（θ）}，根据式（14）的似然方程组，即可求解出模型参数。

1.2.4 模型拟合优度检验

模型构建后需对其拟合优度进行检验，常采用K-S（Kolmogorov-Smirnov）检验和CvM（Cramér-von Mises）检验两种方法。它们均属于非参数检验，用于判断样本与预先给定的分布是否一致，或者两个样本的概率分布是否相同。设样本的经验累计概率为F_n（x），建模所得到的理论分布累计概率为F（x）。对于n个样本序列X₁，X₂，…，X_n，对其升序排序为X_（1），X_（2），…，X_（n），k为X_（k）的排列名次，经验累计概率为F_n（x）可以表达为

式中：k和k+1为样本次序；n为样本个数。

假设检验的问题：H₀为空间多测点实测值的分布服从所建Vine-Copula模型；H₁为空间多测点实测值的分布不服从所建Vine-Copula模型。

结合式（16）～（17），可得K-S检验和CvM检验统计量D：

D（n，α）是显著性水平为α且样本容量为n时的拒绝临界值（查表可得），当D>D（n，α），则拒绝H₀，反之则接受H₁。

P为实际的显著性水平（00.05时，认为所建的大坝变形安全监控模型合理。

1.2.5 空间置信域确定

单点监控模型预警阈值的设置多采用基于PauTa准则的置信区间方法，即认为测值的累计概率落入（0，0.13%］和（99.87%，1］区间是异常的，落入（0.13%，99.87%）区间则是正常的。为合理确定多测点空间置信域，本文运用蒙特卡洛（Monte Carlo）随机抽样法对空间上每个测点测值的累计概率进行随机抽样，计算并分析联合累计概率的分布，以及统计落入异常域的概率。

选取同一测线的10个测点，利用蒙特卡洛抽样法分别在10，9，8，…，3，2，1，0个测点异常的情况下对每个测点的累计概率进行随机抽样，每组样本抽取100万次，并利用已建好的空间Vine-Copula模型计算联合累计概率，联合累计概率柱状散点图见图3，联合累计概率频率分布见图4。由图3～4可知，当所有测点均异常时，样本联合累计概率的频率均接近0或1。根据统计得知，联合累计概率集中在（0，0.001 3］和［0.998 3，1）区间，再分别统计当异常点个数为9，8，…，3，2，1，0时落入此区间的频数。经过计算，（0，0.001 3］和［0.998 3，1）区间为空间模型异常域，因此置信域为（0.001 3，0.998 3），和PauTa准则基本一致，因此实际应用中可采用PauTa准则设置多测点的空间置信域。

2 工程案例

以SBX高面板堆石坝为例，基于前述变形监控模型构建步骤及空间置信域确定方法，提出适宜的SBX高面板堆石坝变形监控模型。

2.1 工程概况

此大坝是一座以发电为主，兼有防洪、航运、梯级补偿等综合效益的Ⅰ等大（1）型工程。主坝变形监控内容包括外观观测、内观观测和面板观测。对于表面变形，在上游面板、坝顶及下游坝坡的各层马道布置了6条测线，共计43个测点；对于内部变形，在主坝左0+008.20断面及主坝右0+071.80断面的346.00，379.00，404.00 m及445.00 m高程各设置1条内部变形测线，共计布置48支水管式沉降仪和40支引张线式水平位移计；主坝面板设周边缝、水平缝和垂直缝进行观测，共计32支测缝计和8支裂缝计。一般而言，大坝同一测线或同一断面上的测点具有一定关联性^［22］。如图 5所示，SBX主坝坝顶下游侧测线（5号测线）上各测点（SA5-1～ SA5-10）变形规律相似，变化趋势一致，具有一定的相关性，说明所构建的测线空间模型是合理的。本文以该测线为例，详细介绍多测点Vine-Copula变形监控模型的建模步骤。

2.2 基于测线的空间监控模型构建及空间置信域确定

根据1.2节变形监控模型构建流程，构建SBX坝顶5号测线变形监控模型，测点布置见图6。

计算所选取的建模时段为2010年1月至2020年1月，监测频次为每2个月1次，每个测点获取57个样本数据。

2.2.1 单测点历时测值概率分布确定

利用核密度估计法计算各测点测值的概率密度函数，各测点测值的概率密度分布见图7，累计概率分布见图8。

2.2.2 Vine-Copula模型结构选择

（1）Kendall相关系数τ计算。为定量分析测点间的相关性，计算了每两测点之间的相依性度量指标（Kendall相关系数τ），如图9所示。可以看出，除边缘测点SA5-1与其他测点的相关系数相对较低外，其余各测点之间的相关系数都在0.9以上。每对相邻测点之间的相关系数基本是最大的，说明该测线测点具有“串联”的关联结构，因此可选用D-Vine-Copula模型建模。

（2）最大生成树法确定模型结构。测线中10个测点共生成9棵树，利用最大生成树（MST）法，使每层结构（Tree）中的Kendall系数τ之和最大。本次分析采用R语言编程，自动对第一棵树所有连接结构进行遍历，找到使τ之和最大的结构，确定Tree1结构，再依据Tree1结构进行同样的遍历，得到Tree2结构，以此类推。最终确定的Vine结构见图10。

2.2.3 Copula函数类型选择与参数计算

利用AIC准则最小原理和极大似然估计法（MLE）确定每层结构中两两结点之间的最优Copula连接函数类型，并计算其参数，结果见表1。

2.2.4 模型拟合优度检验

采用K-S检验和CvM检验对构建的D-Vine-Copula模型进行拟合优度检验，其P值均接近1，说明模型合理，能较好地拟合测线上各测点之间的联合分布，结果见表 2。

2.2.5 空间置信域确定

采用蒙特卡洛随机抽样法确定空间监控模型置信域。经计算，该测线变形监控空间模型的置信域为（0.001 3，0.998 3），因此异常域为（0，0.001 3］和［0.998 3，1）。

3 结 论

（1） 构建了基于多测点实测值的Vine-Copula高土石坝变形监控模型，提出了单点历史测值累计概率计算、Vine结构优选、Copula连接函数选择及其参数计算、模型拟合优度检验等关键步骤的计算方法。

（2） 经蒙特卡洛随机抽样法验证，多测点空间置信域的设置可采用PauTa准则，实际工程中可通过监控多测点联合分布函数，来实现对大坝同一测线或断面整体变形特性的监控。

（3） SBX高面板堆石坝工程应用表明，Vine-Copula变形监控模型能合理考虑多测点时序特性和空间关联性，其K-S检验和CvM检验的P值均大于0.9，模型的合理性和精度均较高，能较好地实现大坝整体变形特性的实时监控。

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（编辑：胡旭东）

Research on deformation monitoring model for high earth-rock dams based on Vine-Copula

CHEN Tianci^1，2，LI Yanling^1，2，ZHANG Fang³，CHEN Xiao⁴

（1.State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering，Sichuan University，Chengdu 610065，China；2.College of Water Resources and Hydropower，Sichuan University，Chengdu 610065，China；2.Power China Guiyang Engineering Corporation Limited，Chengdu 610065，China；3.Zhenxiong County Water Bureau，Zhaotong 657200，China）

Abstract：Aiming at the problem that the deformation monitoring model for high earth-rock dams is mainly based on a single measuring point and cannot quantitatively consider the spatial correlation of measuring points，a deformation monitoring model based on Vine-Copula was constructed，and a spatial confidence domain early warning threshold setting method based on Monte-Carlo random sampling method was proposed.In the process of the model construction，the time series characteristics and spatial correlation between multiple measuring points were fully considered，and the Vine-Copula method was used to accurately model and analyze the deformation data to reveal the overall trend of high earth-rock dam deformation.At the same time，the spatial confidence region was determined by Monte-Carlo random sampling method，which provided a scientific basis for the setting of early warning threshold.The engineering practice showed that the model simulation results can accurately reflect the overall deformation trend of high earth-rock dam，with high accuracy and rationality，and effectively realize the expansion of monitoring effect-quantity to the whole space of high earth-rock dams.The research results can provide new ideas and methods for the safety monitoring of high earth-rock dams，and have important theoretical significances and practical values.

Key words：high earth-rock dam；deformation monitoring model；Vine structure；Copula function；spatial confidence domain