导热方程反问题在医学红外热像诊断中的应用

庞 娜，柯 玲，亢 婷

（宁夏大学新华学院，宁夏回族自治区 银川 750000）

对于热传导方程反问题，可以利用已知的温度分布，逆推出物体内部的导热系数、内部热源强度等未知量。而对于热传导正问题，则是已知物体内部的某些未知量，求解其相应的温度分布。这两个问题都是非常重要且实用的领域，在材料科学、机械工程、地质勘探等领域都有广泛应用。在热传导反问题中，需要使用数值方法来求解，例如有限元法、有限差分法和反演方法等。这些方法可以根据已知的温度数据来逆推出未知参数，并且可以用于工业生产中的非接触式测量技术。可见，热传导反问题是一个复杂的跨学科领域，它在许多领域具有广泛的应用，例如材料科学、能源系统和环境保护等。在实际应用中，物体的特性和边界条件通常是未知的，人们无法测量或者很难测量，只能以外界测量到的某些温度信息为基础，借助一些反演分析法进行辨识从而解决问题。

工业设备的故障诊断对于生产至关重要，因为设备出现故障会导致生产线停滞，影响企业的正常运营。红外热诊断学是一门新兴的设备故障诊断科学，它结合了现代红外检测技术、计算机科学和传热反问题研究等多个领域的知识。通过使用红外相机等设备采集被测物体表面的热像图像数据，并利用计算机处理这些数据，可以实现对工业设备内部故障的准确诊断。未来，红外热诊断技术将不断完善和发展，并广泛应用于各个领域，为研究者提供更加准确、高效、可靠的设备故障诊断服务。文章旨在探究导热方程反问题在医学红外热像诊断中的应用。

1 红外热诊断学的理论基础

在本研究模型中，考虑了热传导方程、边界条件和初始条件等多个因素，并利用数值方法对其进行求解。通过这些分析，可以更好地理解非稳态导热过程，并为相关工程问题提供参考。通过结合红外热诊断由表及里的诊断功能，能够更好地进行问题求解，其可被简要概括为两个方面。

1.1 表面温度场的辐射理论

任何物体都会产生热辐射，这是因为它们具有一定的温度。热辐射是指物体将能量以电磁波的形式传递出去。其中，红外部分的波长在0.76～1.00 mm 之间，因此也被称为红外辐射。这种辐射在日常生活中非常常见，例如太阳光、地球表面和人体等都会发出红外线。维恩定律明确显示，物体红外辐射的峰值波长λm与其自身的绝对温度T有关。

式中，C为常量（2 8988µmK）。利用红外光谱分析技术可以对这种变化进行监测和分析，从而得知设备内部是否存在缺陷。在实际应用中，可以使用红外相机等设备对工业设备进行拍摄，然后通过对图像中不同区域的红外辐射强度进行比较和分析，来确定是否存在异常情况。同时，还可以通过对光谱位置的分析来进一步确定异常情况所在的具体位置和性质。可见，在工业生产过程中，利用维恩定律和红外光谱分析技术可以有效检测和诊断设备缺陷问题，提高生产效率和产品质量。

1.2 表面温度场采集的理论基础

被测物体表面接受的红外辐射功率可用红外热辐射理论的下式表示：

式中：dA为瞬时视场被扫描物体表面面积，)Mbλ为普朗克辐射函数，ε(λ)为光谱发射率，λ1,λ2为辐射波长范围。黑体辐射函数表显示，当物体被视为灰体时ε(λ)为一常数，此时F(λT)表示为：

σ为斯蒂芬——玻尔兹曼常数。上式表明，利用热像仪可以对各种设备和材料进行非接触式检测和分析，例如在建筑、电力、制造等领域中应用广泛。通过对设备表面温度进行监测，可以及早发现潜在问题并采取相应措施，从而提高设备运行效率和安全性。

2 正问题数学模型

在满足条件的前提下，将一块导热平板近似看作一块无限大平板是一个有效简化模型，在这种情况下，平板的边缘效应可以忽略不计，因此只需考虑平板中心区域内的导热特性即可。在实际应用中，这种简化方法被广泛应用于许多领域，比如建筑物、电子设备、汽车等。通过将三维问题转化为一维问题，可以更加准确地预测和控制物体内部温度分布。需要注意的是，在使用这种简化方法时，需要保证平板长度和宽度确实远远大于其厚度，否则可能会影响计算结果的准确性。

考虑非线性瞬态热传导问题，其控制方程表示为：

上式中，x i是在空间坐标系下x∈Ω的第i 个分量，?为与温度相关的导热系数。?为温度，?为时间ρ为密度，c为比热。

初始条件为：

式中0T为已知函数。边界条件为：

式中：Γ1∪Γ2=Γ,Γ1∩Γ2=∅ ,Γ=∂Ω。(x,t)和(x,t)分别表示已知的边界温度和热流。

3 反问题模型及其数值求解方案

导热反问题与导热正问题是热传导领域中的两个重要问题。导热正问题是指已知物体内部的热源分布和边界条件，求解物体内部的温度场分布；而导热反问题则是指已知物体表面的温度场分布和边界条件，求解物体内部的热源分布，在此定义下，导热反问题的求解难度要远大于导热正问题。而在工业生产过程中，温度的监测和控制是非常重要的。而针对某些情况下无法直接测量内部温度的问题，可以采用红外测温技术。通过在外边界进行红外测温，可以得到随时间变化的温度值数据。而根据这些数据，可以反推出内部边界随时间变化的未知温度分布情况，其边界条件为：

红外测温温度条件：

对流换热条件：

而内边界条件TA(t)待求，为未知边界。

在处理非齐次边界条件下的热传导反问题时，由于其复杂性使得很难通过解析方法获得精确的结果。因此需要采用数值计算方法进行求解。文献[4] 、文献[5] 提出了反问题差分求解方法，通过与文章中正问题数值求解相结合，可以给出反问题数值求解的差分格式。这种方法不仅能够有效处理非齐次边界条件下的热传导反问题，并且还能够保证结果的精确性。通过对各节点温度位置进行重排，在计算过程中可以采用向后差分格式来同步地求解内壁的温度条件，并且保证计算结果的稳定性。这一结论对于实际问题的解决具有重要价值，可以为相关领域的研究和应用提供有力支持。实验结果表示，该模型可以有效应用于复杂非齐次边界条件下的热传导反问题数值求解，并取得良好结果。

4 一维瞬态导热反问题差分方程的求解过程

（1）首先，热设备的外壁温度是非常重要的参数，它能够反映出设备内部工作状态的稳定性和安全性。而这个温度值可以通过红外热像仪进行测定，从而得到各个时刻外边界节点上的温度值(t)。使用红外热像仪进行测定，不仅能够提高测量精度，还能够节省人力和时间成本；

（2）医学红外热成像技术在临床医学中得到了广泛应用。根据已建立的外节点的温度条件及对流换热条件的向后差分公式，可以推出紧邻外壁的节点（B-1）节点的温度(t)所满足的递推公式为：

其中，T表示温度，n表示时间步长，该递推公式可以用于计算紧邻外壁的节点（B-1）节点在不同时间点上的温度变化情况。这对于医学红外热成像技术在诊断中起到了重要作用。

（3）由此可求出任意n时刻（B-1）节点的温度(t)；以此类推，得到任意时刻N内壁节点温度分布，并将其用对角矩阵表示：

由此可以得到医学红外热成像在内壁（x=0处）的任一时刻的温度分布规律。

5 结论

近年来，随着科技的不断发展，热传导领域的研究也越来越受到人们的关注。在这个背景下，文章成功建立了一维瞬态热传导反问题模型，该模型适用于无限大导热平板。其主要结论如下：首先，发现该模型能够准确地描述导热平板内部温度分布的变化规律。其次，在求解过程中，采用了一种高效且精确的算法，使得计算结果更加可靠和准确。最后，在实际应用中，当平板沿方向线度较大时，误差将会被传递到内部，并且随着传递距离的增加而不断增加。这将导致内部温度值的误差也不断增加，这可以为工程师们提供重要参考信息，从而优化设计方案、提高工作效率。