问题链驱动：让思维向更深处漫溯—— “正方形数的学问” 的教学实践与思考

□鲍善军 郑书娟

问题解决的核心是问题，本质是为了发展学生的思维。教师要精准把握数学知识的本质和学生思维的特点，以核心问题为统领，通过精心设计环环相扣的问题链，引导学生主动参与、深入探究和迁移建构，促进他们的思维逐步向纵深推进。

问题链驱动的 “正方形数的学问” 的教学借助直观的点图，围绕 “什么是正方形数” “正方形数有什么变化规律” “正方形数之间有什么关系” 三个核心问题展开。教学时，教师要聚焦正方形数，通过递进式问题链，引导学生亲身经历探究过程，使他们能够主动建构正方形数的概念，并发现其中蕴含的规律以及相互之间的联系。如此教学，不仅有助于将学生的思维推向更深层次，而且能够帮助他们积累解决问题的思维经验，进而提升他们的高阶思维水平。

一、以启动性问题激活学生思维，建构正方形数的概念

数学概念不仅是数学学习的核心内容，还为后续学习提供了关键基础。教师应遵循学生学习概念时的心理过程，有意识地化静态为动态、化抽象为形象，以启动性问题激发学生的学习内需，激活学生的数学思维，促使学生在探究解决问题的过程中建构数学概念。

（一）借助直观想象，建立正方形数的表象

几何直观是理解和掌握问题本质的重要手段，能够清晰地揭示学生的思维过程。将 “点图的形” 与 “正方形数” 建立联系，是激发学生思维的有效方式，对于学生正方形数概念的学习具有至关重要的意义。

【教学片段1】

生：可能是长方形、7字形或者三角形。

师：继续想象，表示数 “4” 的点图又会是什么样的图形呢？

生：可能是长方形、正方形、7字形或者Z字形。

师：这几个数中，哪个数的点图可以拼成正方形？

生：数 “4” 的点图可以拼成正方形。

师：谁愿意上台来摆摆看？

师：像数 “4” 这样，点图能拼成正方形的数，我们称之为正方形数。（板书：正方形数）如果用一个算式来表示数 “4” 这个正方形数，你们觉得哪个算式最合适呢？说明你的理由。

生：可以用算式 “2×2” 来表示。就像我们看到的这个点图，无论是上下看还是左右看，都是由2个2组成的。

师：数 “4” 的点图上下看和左右看都是2 个2，用 “2×2” 来表示再适合不过了。

教师通过引导学生观察从数 “1” 的点图逐步扩展为数 “2” “3” “4” 的点图的过程，帮助学生发现数 “4” 的点图可以拼成一个完整的正方形。这一过程有助于学生在实践中初步建立对正方形数概念的感知和理解。

（二）通过操作活动，认识正方形数的特征

小学生天生具备好奇心，喜欢探究事物的内在原因。为此，教师应先让学生初步感知概念，在此基础上引导学生提出问题并尝试解决。然后，让学生通过拼一拼、画一画等操作活动展开探究，由此产生新问题，拓展新思维，从而提升发现和提出问题、分析和解决问题的能力。

【教学片段2】

师：刚才我们找到了一个正方形数 “4” 。对此，你有什么问题吗？

生：只有数 “4” 这一个正方形数吗？

生：还有什么数的点图也可以拼成正方形？

师：你们提出的问题很有价值，接下来，让我们一起来探究这些问题。

教师出示活动一：1～10 中还有没有其他像 “4” 这样的正方形数？

（1）想象：这个新正方形数的点图会是什么样的图形呢？（可以拼一拼或画一画）

（2）列式：能不能用一个乘法算式来表示这个新正方形数呢？为什么？

师：经过大家的努力，我们又找到了一个正方形数 “9” 。现在，你认为正方形数有什么特点？

生：正方形数的点图都可以拼成一个正方形。

生：正方形数都可以写成两个相同数相乘的形式。

生：我觉得 “1” 是正方形数，它的算式可以写成 “1×1” 。

师：你说得很清楚！现在，我们找到了3 个10以内的正方形数，分别是 “1” “4” 和 “9” ，它们分别可以用 “1×1” “2×2” 和 “3×3” 来表示。那如果继续找下去，下一个正方形数是多少呢？有没有什么好方法？

生：应该是数 “16” 。因为正方形数都可以写成两个相同的数相乘，前面的3个正方形数依次可以写成两个1 相乘、两个2 相乘、两个3 相乘，所以按照这样的顺序，下一个正方形数就是两个4 相乘，也就是 “4×4” ，再下一个就是 “5×5” ，以此类推。

师：真棒！现在，我们来看看100 以内的所有正方形数吧。（课件出示100以内的正方形数）这些正方形数都可以写成两个相同的数相乘。

教师以 “还有没有其他像‘4’这样的正方形数？” 这一问题为引导，激活学生的思维，鼓励他们主动进行观察、思考与表达，从而揭示正方形数的本质特征，确立正方形数的概念。在此基础上，让学生运用正方形数概念判断数 “1” 是否为正方形数，进而加深他们对正方形数概念的理解。这样的学习过程不仅使学生掌握了正方形数的概念，还培养了他们的思维能力和表达能力。

二、以探究性问题发展学生思维，发现正方形数的规律

学生的学习是层进式的、不断自我完善的过程。教师应为学生提供自主探索的机会，在提炼核心问题的基础上，运用探究性问题推动学生进行观察、思考和表达，从而发现正方形数的变化规律，以此促进学生的深度学习，发展学生的高阶思维。

（一）以问题为驱动，探究正方形数的变化规律

为了帮助学生积累数学经验，加深对数学知识本质的理解，实现数学学习的可持续发展，教师教学时应以核心问题为统领，通过设置一系列由浅入深的子问题链，逐步引导学生深入思考，使学生的数学思维不断向纵深推进。

【教学片段3】

师：大家都知道正方形数有 “1” “4” “9” “16” ……那么，从哪个正方形数开始研究比较容易发现其中的规律呢？

生：从最小的 “1” 开始研究比较好。

教师出示活动二：一个正方形数，至少增加多少才能成为一个新的正方形数？

活动要求：

（1）想一想：正方形数 “1” 至少需要加几才能成为一个新的正方形数？

（2）画一画：这个数继续加几，又能形成一个新的正方形数？（可以先拼一拼）

（3）说一说：从中你们发现了什么规律？同桌互相说一说。

师：这位同学列了一个算式 “1+3+5+7+……” ，你们能看懂吗？说说你的想法。

生：这个算式表示 “1” 至少需要加3，才能得到一个新的正方形数 “4” 。接着再加5、加7、加……得到新的正方形数 “9” “16” ……可以看出，每次增加的数都是单数。

师：你是通过列算式来理解的，很有条理。大家还有其他不同的想法吗？

生：我们是通过画图来理解的，每次增加的都是一个 “7” 字形。可以看出，增加的数都是3、5、7、9这样的单数。（教师用课件出示图1）

图1

师：看来，通过刚才的探究，大家已经有了发现。说说看，你们发现了什么规律？

生：我发现单数的和就是正方形数。

生：我不同意，如果是 “1+5+7” 这样的单数和就不是正方形数，要强调是连续单数的和才行。（教师用课件出示图2）

图2

生：我还有补充。只有从1开始连续单数的和才是正方形数。像 “3+5+7” 这样的单数和就不是正方形数。（教师用课件出示图3）

图3

师：你们真会思考！这样，我们发现的规律是 “从1开始连续单数的和就是正方形数” 。

教师围绕核心问题精心设计了三个子问题，并以子问题链驱动学生运用正方形数的概念进行自主探究，最终归纳得出结论。在这一过程中，学生不仅对数学思维和数学语言的严谨性有了深切体会，还积累了数学活动经验和思维经验，发展了空间观念和推理意识。

（二）使数形相结合，感悟正方形数的变化本质

在探究正方形数的变化规律的过程中，有学生观察到：在从1开始递增的序列1、3、5、7、9……中，相邻两个数之间相差2。对于这个似乎无足轻重的细节，教师并没有想当然地轻易放过，而是在学生归纳出正方形数的规律后，顺势追问： “每次增加的数之间都相差2，这个‘2’能在点图中找到吗？” 这就把学生的思维再一次推向更深层次。随后，教师运用课件（如图4）动态演示正方形数的变化过程，引导学生以形验数、以数表形。学生自然能够得出：每次增加 “7” 字形，都要在前一个 “7” 字形的两端各加一个点图，这就是算式中的相差数 “2” 。

图4

对数学规律的学习不能仅局限于发现、表达和总结，教师还要通过适当的质疑，引发学生新的思考，引导学生探究现象背后所蕴含的深刻意义。这种数形结合的教学方法，不仅能激发学生的探究精神，还能帮助他们揭示正方形数变化的本质规律，从而完善他们的认知结构，培养他们思维的深刻性品质。

三、以延伸性问题拓展学生思维，深化对正方形数的理解

数学学习的核心在于有效解决实际问题。为此，教师要设计延伸性问题，引导学生运用所学知识解决真实情境中的数学问题，从而实现学生对数学知识的再认识、再理解和再建构，同时拓展学生的数学思维。

（一）经历 “数学化” 过程，揭示正方形数之间的关系

“数学化” 是指从实际问题中抽象出数学知识，或者从 “较低级” 的数学知识中抽象出 “较高级” 的数学知识。在这一过程中，教师需要引导学生通过 “做中学” 自主发现和解决问题，同时建构和运用数学知识，从而再现数学知识的形成过程。

【教学片段4】

教师出示活动三：至少要有几个相同的正方形数才能拼成一个新的正方形数？

（1）猜想：想象新正方形数的点图。

（2）验证：我选择方式（ ）验证猜想。

A.用点图拼一拼 B.在大点图（20×20）中画一画 C.直接列算式说明

生：我猜是4 个。我是用拼点图的方式验证的。4 个 “1” 可以拼成正方形数 “4” 。（用课件动态出示图5）

图5

生：我猜也是4个。我是通过在大点图中画一画来验证的。4个 “1” 可以拼成一个正方形数 “4” ；接着把 “4” 看成一个整体，4 个这样的正方形数又可以拼成一个新的正方形数 “16” ；然后用同样的方法，可以再拼出正方形数 “64” ，以此类推。（出示学生作品，如图6所示）

图6

师：将正方形数看成一个整体，真是一个好方法，一目了然。还有同学要说说自己的方法吗？

生：我是直接列算式的。1×4=4、4×4=16、9×4=36、16×4=64、25×4=100……只要将正方形数乘4，就能形成一个新的正方形数。

师：为你们的智慧点赞！我们通过拼一拼、画一画或列算式的方法，都可以得到这样一个结论：至少要有4 个相同的正方形数才能拼成一个新的正方形数。

在这一过程中，学生经历了一系列由猜测与想象、验证与发现构成的 “数学化” 过程。如此教学，既深化了学生对正方形数的理解，又将数学学习从知识理解层面延伸至解决问题层面，通过促进多元化的数学表达，体验多视角的策略方法，提升了学生解决问题的能力。

（二）设计 “破势性” 问题，拓展数形结合研究的视野

在总结回顾正方形数的学习过程之后，教师适时引入古希腊数学家毕达哥拉斯开创的数形结合研究方法，并提出 “点图中只有正方形数吗？” “你们还想研究点图中的什么数？” 等问题。这些问题能引导学生转换思考角度，以全新的数学视角来观察和发现点图中蕴含的更深层次的学问。教师通过这种方式，巧妙地设计了一系列具有启发性和引导性的问题，以帮助学生突破思维定式，激发他们的探索精神和求知欲。

综上所述，教师在教学过程中精准地提炼了关于 “正方形数” 的三个核心问题，并精心设置了一个具有逻辑关联的问题链。由此，驱动学生开展模块化的学习探究活动，促使学生的数学思维向更深处漫溯，从而帮助学生积累解决问题的经验，发展学生的数学核心素养。