圆与三角形综合问题的分析与探究

谢子婧

【摘要】综合问题的求解是数学学习中的重要环节，需要学生掌握圆的直径、弦、切线等，以及三角形的角平分线、中位线、高線等性质，在实际求解中，要求学生能够结合所学知识和方法进行分析和推理.本文对圆与三角形的综合问题进行分析与探究，并列举了实例进行讲解，分析了其解题思路，以期望通过不断地练习和思考，帮助学生加深对几何学的理解，提高解题能力.

【关键词】圆；三角形；综合问题

1 三角形的内心的应用方法

由于三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以在题目中遇到三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点就可以得到三角形的角平分线.又由于三角形的内切圆与三角形各边都相切，所以连接三角形的内心、切点以及顶点可得到直角三角形.另外内心到三边的距离相等，且等于三角形内切圆的半径.

例1 如图1所示，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F，连接BD，已知∠ABC=40°，∠C=80°.

（1）求∠CBD的度数；

（2）求证DB=DE.

解 （1）因为∠ABC=40°，∠C=80°，

所以∠BAC=180°－80°－40°=60°.

因为点E是△ABC的内心，

所以∠CAD=∠BAD=12∠BAC=30°，

所以∠CBD=∠CAD=30°.

（2）如图1所示，连接BE.

因为点E是△ABC的内心，

所以∠1=∠2，∠3=∠4.

因为∠2=∠6，所以∠1=∠6.

因为∠DBE=∠6+∠4=∠1+∠3，

而∠5=∠1+∠3，所以∠DBE=∠5.

所以证得DB=DE.

2 三角形翻滚轨迹与路线长

求解此类三角形翻滚的路线长的问题时，应先理清图形的运动规律，画出运动路线，找准每段圆弧所对应的圆心和半径，再利用弧长公式求出运动的路线长.

例2 如图2所示，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向转动两次，使它转到△A″B′C′的位置，已知BC=1，AC=3.

（1）求点A经过的路线长；

（2）求点A经过的路线与直线l围成的图形的面积.

解 由题意知BA=BA′，C′A′=C′A″，以点B为圆心，AB的长为半径作弧AA′，以点C′为圆心，C′A′的长为半径作弧A′A″，如图2所示.

（1）在Rt△ABC中，BC=1，AC=3，

则AB=AC2+BC2=2，则∠CAB=30°，

所以∠ABC=60°，∠A′BC′=60°，

所以∠ABA′=120°，∠A′C′A″=90°.

所以l弧AA′=120π×2180=4π3，

l弧A′A″=90π×3180=3π2，

所以点A经过的路线长为4π3+3π2.

（2）因为

S扇形BAA′=12l弧AA′·AB=12×4π3×2=4π3，

S扇形CA′A″=12l弧A′A″·C′A′

=12×3π2×3=3π4，

S△A′BC′=12×1×3=32.

所以点A经过的路线与直线l围成的图形的面积为4π3+3π4+32=25π12+32.

3 切线的性质（判定）定理的应用

运用切线的性质时，常常“作过切点的半径”构造直角三角形，利用勾股定理求解.判断一条直线是不是圆的切线时，若已知点在圆上，则“连半径，证垂直”，否则“作垂直，证半径”.

例3 如图3所示，△ABC是圆O的内接三角形，AC是圆O的直径，已知点D是弧BC的中点，DE与BC平行，且交AC的延长线于点E.

（1）求证：直线DE与圆O相切；

（2）若圆O的直径为10，∠A=45°，求CE的长.

解 （1）如图3，连接OD交BC于点F.

因为点D是弧BC的中点，所以OD⊥BC.

因为DE∥BC，所以OD⊥DE.

因为OD是圆O的半径，所以直线DE与圆O相切.

（2）因为AC是圆O的直径，且AC=10，

所以∠ABC=90°，OC=OA=12AC=5.

因为OD⊥BC，所以∠OFC=90°，所以OD∥AB.

因为∠BAC=45°，所以∠DOE=45°.

因为∠ODE=90°，所以∠OED=45°，

所以DE=OD=OC=5.

由勾股定理，得OE=52，

所以CE=OE－OC=52－5.

4 结语

圆与三角形是几何学中常见的形状，在解决圆与三角形综合问题时，需要综合运用几何知识和数学技巧，如利用圆的直径、弦、切线等性质来解决与三角形相关的问题，以及利用三角形的角平分线、中位线、高线等性质来解决与圆相关的问题.同时，还会运用到勾股定理、相似三角形性质、圆的面积和周长公式等知识来辅助求解.因此需要多加练习提高解题能力，以及加深对几何学的理解.

参考文献：

［1］秦灿灿.圆与三角形的邂逅——对一道教材例题的思考［J］.初中生世界，2023（Z3）.

［2］张国川，任晓红.解三角形“圆”来如此精彩［J］.福建中学数学，2022（09）.

［3］陈燕萍.圆中相似三角形模型问题的探究［J］.数理天地（初中版），2022（24）.