一道导数好题的优解

谢小平

题目  已知函数f（x）=x－lnx，若f（x1）=f（x2）=a，其中x1≠x2.

（1）求a的取值范围；

（2）证明：x1+x1x2+x2>3.

这是2023年湖北六校新高考聯盟学校高三11月联考的压轴题，此题得到了老师的好评，该题题干设置精炼，设问精巧.突出考查了导数在研究函数单调性的应用，多变量不等式的处理，解法凸现了通性通法，标答可在网上进行查询.笔者通过研究，得到以下优解.

优解：先证明对一切不相等的正实数x1，x2，都有x1·x2

不妨设x2>x1>0，要证：x2－x1lnx2－lnx12（x2－x1）x1+x2=2（x2x1－1）x2x1+1，再令t=x2x1，（t>1），即证lnt>2（t－1）t+1，（t>1）.

记g（t）=lnt－2（t－1）t+1，（t>1），则g′（t）=（t－1）2t（t+1）2>0，（t>1），所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，故g（t）>g（1）=0，即当  t>1时，有ln  t>2（t－1）t+1.

由题知x1－lnx1=x2－lnx2，即得1=x2－x1lnx2－lnx1

由1=x22－x12lnx22－lnx121=（x2－x1）（x2+x1）2（lnx2－lnx1）x2－x1lnx2－lnx1=2x2+x1，

再由对数平均值不等式可得x2－x1lnx2－lnx1=2x2+x1

即得（x2+x1）22>2，即x1+2x1x2+x22>2，又x1+x22>1，从而有x1+x1x2+x2>3，证毕.

题目的结构是容易联想到对数平均值不等式，此法是在充分观察式子结构的基础上，对式子进行代数变形，即x1+x1x2+x2=x1+x22+（x1+x2）22，巧用对数平均值不等式，即用x1，x2代替对数不均值不等式中的x1，x2，一气呵成.且在求证的过程中，体现了转化与化归思想，运算量明显减小，充分体现了多思少算的考查要求.所以我们平时的教学要注重学生知识的储备，提升学生的观察能力、代数结构变形能力，即培养学生分析问题与解决问题的能力和钻研精神，落实核心素养.