杨乐：他的名字被载入世界数学史册

邵红能

曾经被华罗庚、陈省身亲切地称为“师弟”，少年时就立志使自己名字成为某一数学定理的命名，他，就是数学圈内家喻户晓的人物——杨乐。早在20世纪70年代，杨乐就在函数论领域取得了国际领先、与陈景润的工作一起被美国数学代表团认为是当时中国两项最主要、国际一流的数学成就。

杨乐（1939—2023），江苏南通人，著名数学家，中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院首任院长、数学所研究员及博士生导师，其主要研究领域为复分析。他在“整函数、亚纯函数的值分布理论”上有着突出的贡献，特别在函数模分布论、辐角分布论、正规族等方面取得的一系列研究成果，被国内外同行、学者广泛引用。凭借突出的学术成果，杨乐曾获全国科学大会奖、国家自然科学奖、国家科技进步奖、华罗庚数学奖、陈嘉庚数理科学奖、何梁何利奖等众多大奖。

刻苦努力研究函数论

杨乐从小勤奋好学、刻苦努力。1950年，他考入江苏省南通中学。初二时，杨乐对代数和几何产生了浓厚的兴趣；初三时，他立志要考上北京大学并准备一生从事数学研究。中学6年，2000余天，杨乐几乎每天都会完成一二十道题目，此外，还阅读了大量课外参考书籍，尝试解决经典难题。

杨乐1956年考入北京大学；1962年考取中国科学院研究生，师从著名数学家熊庆来。熊庆来是中国现代数学的先驱，带过许多优秀的学生，比如钱三强、华罗庚、严济慈、赵九章等。20世纪60年代，70多岁的熊庆来抱病指导杨乐和张广厚从事函数值分布研究。在熊庆来的指导下，读研的头3个月，杨乐就完成论文《亚纯函数及函数组合的重值》，后发表在《数学学报》上。1966年，杨乐从事数学研究工作。同年5月，因中国科学院数学所的研究工作完全中断，杨乐虽已完成博士论文，却未能正常毕业。在此后四五年的时间里，杨乐没有机会再碰数学书本，只能抽象地思考一些数学问题。1971年，周恩来总理亲自过问中国科学院的工作，并肯定基础理论研究的重要性，杨乐逐渐恢复研究工作。

此后，杨乐再次与张广厚合作，首次发现函数值分布理论中的两个主要概念“亏值”和“奇异方向”之间的具体联系，为国际数学界所瞩目，后来他们的这一研究成果被命名为“杨—张定理”或“杨—张不等式”。1977年2月26日，《人民日报》头版刊发重要报道《杨乐、张广厚研究函数理论获得重要成果》。

1978年4月，经中央批准，杨乐、张广厚走出国门进行个人学术交流。1978年初，年轻的数学家杨乐和张广厚接到瑞士阿尔弗雷德·胡贝尔教授的邀请信函，赴瑞士参加国际函数论会议。瑞士苏黎世联邦高等工业学校（欧美著名的大学）曾经是大科学家爱因斯坦和爱克斯光发明人伦琴执教的地方。杨乐、张广厚到那里会见了几十位国际知名数学家。在这个会议上，他们宣读了两篇学术报告，一篇是张广厚的《关于整函数与亚纯函数的亏值、渐近值和茹利雅方向之间关系的研究》报告，另一篇是杨乐的《整函数与亚纯函数值分布论的某些结果》报告。1980年3月，美国普渡大学为欢迎杨乐、张广厚访美举行了一次国际函数论会议，筹备该会时，著名函数论专家居垒欣与魏茨曼在给美国科学基金会的报告中写道：“杨乐、张广厚在北京领导着一个成果丰硕、欣欣向荣的学派。”

1980年，杨乐当选为中国科学院院士，是当时最年轻的院士。1982年，杨乐在国内外高水平的数学杂志上共发表了6篇高质量的论文。1983年，杨乐受到瑞典、芬兰、联邦德国邀请，前去作学术报告。1984年，杨乐应邀到美国普林斯顿高等研究院访问，并从事研究工作，成为中国数学界的骄傲，为国际数学界所关注。

“杨—张定理”实现年少梦想

“做了很多习题，接触了许多定理。发现数学中的很多定理是以外国数学家的名字命名的，难道中国人就不能为现代数学发展作贡献吗？”杨乐自问。

20世纪50年代，正值国民经济恢复时期，国内百废待兴，各个专业领域均需要大量人才，特别是重点建设项目，更急需工程师与科研人员。此时的杨乐，已经察觉到自己对数学的热爱，他下定决心，要将自己的所知、所学，与国家的建设需求联系起来。

1956年，不满17岁的杨乐考入北京大学数学系。大学后半期，由于社会大环境的变化，搞学术研究被视为走“白专”路线。杨乐怀揣着小笔记本，躲进偏僻人少的教室，继续学习数学。下放到湖北蒲圻的工地劳动时，他也不忘带上心爱的数学书，每天干完繁重的体力活，当别人在工棚里打扑克、聊天时，他就在一旁研究数学。

长期以来，数学家对值分布论的研究构成两个重要领域，一个领域称为“模分布”，研究整函数和亚纯函数在整个平面上的值分布，其中的一个深刻概念称为“亏值”；另一个领域称为“幅角分布”，研究整函数与亚纯函数在某些方向附近的值分布，其中的基本概念称为“奇异方向”（如波莱尔方向）。这两个领域各自都有大量的研究成果，但以往人们总认为亏值与奇异方向是两个完全不同的概念，彼此不存在什么联系。杨乐和张广厚研究的项目是函数值分布理论。他们的合作研究第一次揭示了在这两个基本概念之间存在着明确的、紧密的联系，并对这种联系给出了定量的表述。他们的定理指出：对于绝大多数亚纯函数（即有穷正级），其亏值数目绝不能超过其奇异方向数目。对于整函数，结论还可以加强，即其亏值数绝不能超过其奇异方向数的一半，他们还举例说明上述结果是最佳的。这一研究结果是突破性的，为值分布研究提出了新的方向。他们在这方面的研究，同时成功地解决了著名数学家海曼提出的一个问题，让国际同行大为惊叹。

1973年，他倆作了一次报告，初步介绍关于整函数和亚纯函数值分布理论的某些结果，立即引起大家的高度重视和称赞。我国著名数学家吴文俊听了报告后，极为兴奋，认为他们的成果为函数研究开辟了一个新的方向。杨乐和张广厚研究的函数值分布理论，像旷野幽谷中的一株梅花在风雪中怒放。1978年4月，在苏黎士国际函数论大会上，杨乐报告了他们的研究成果，被与会的数学家称为“惊人的成果”。美国出版的一份有关数学研究的报告评价说，他们的成果“既新颖又深刻”，与哥德巴赫猜想研究一样是纯粹数学方面“第一流的工作”。国际数学界把他们的这些成果称为“杨—张定理”或“杨—张不等式”。

1987年，在伦敦举办的国际函数论大会上，杨乐被推举为第一次大会的主席。

杨乐实现了年少时的梦想。

前沿学术探索数学核心力量

1964年，杨乐和张广厚研究了函数论的一个问题，用法语写成的论文于次年9月发表在《中国科学》。他们当时并不知道，1964年9月，在地球的另一端，英国帝国大学教授、函数权威学者瓦特·海曼在伦敦主持了一个国际函数论会议，在会上提出并收集了函数论中值得研究的问题，并出版成册。而杨乐他们的这篇论文恰好解决了其中一个核心问题。

对此，2009年，杨乐在接受《科学时报》记者的采访时回忆道：“当我们在研究这一问题并获得结果时，国际学术界恰巧也正在提出这一问题但尚无研究工作，大家彼此完全不知道。我们当时与西方隔绝，这是殊途同归。”正如前文所述，1966年，中国科学院数学所的学术研究工作完全被中断，直至1971年，周恩来总理过问中国科学院的工作，才开始可以作一点研究。据杨乐回忆，他们从那时才能到图书馆查文献。在1969年出版的国际顶尖数学期刊《数学学报》上，他们发现了美国函数论专家David Drasin的一篇论文，这篇论文引用了杨乐和张广厚发表在1965年发表在《中国科学》上的论文内容，而且说他们的结果解决了海曼的一个猜想。但其时的杨乐并不知道海曼的问题是什么，因为馆里根本没有进口这本书。

1975年，杨乐通过远在美国的亲属复印了海曼的这本书，这才知道，他们在1964年秋天讨论这个问题的时候，国际函数论界也同时提出这个问题。实际上，他们的研究结果的一个推论就解决了海曼的问题。David Drasin在《数学学报》上的这一长篇论文在思想和内容上也基本上没有超过杨乐和张广厚1965年发表在《中国科学》上的论文。这时，他们才明白，在那个与世隔绝的年代，熊庆来老师带领他们进入了函数论研究的前沿。

杨乐与张广厚在解析函数的研究中取得一系列创造性的成果，如对整函数与亚纯函数亏值与波莱尔方向间的联系作了深入研究，最先发现并建立了这两个基本概念之间的具体联系；在亚纯函数奇异方向进行深入研究，引进了新的奇异方向并对奇异方向的分布给出了完备的解答；对全纯与亚纯函数族的正规性问题进行系统研究，建立了正规性与不动点间的联系；引进亏函数的概念，证明了有穷下级亚纯函数的亏函数至多是可数的；与英国学者合作解决了著名数学家立特沃德的一个猜想；精确估计整函数及其导数的总亏量与亏值数目。

1974年，著名函数论专家、英国皇家学会会员奥福德教授来华访问，要求见杨乐和张广厚。会见时，杨乐作了一个报告，扼要介绍了成果，奥福德教授非常震惊。返回英国后，他在伦敦的函数论研讨班上进行介绍，受到海曼教授的重视和关注。不久，海曼邀请杨乐赴英国访问，可惜因故无法成行。

1976年5月，美国科学院派代表团来到中国。团长麦克莱思和其他9名团员都是国际知名的数学家，其中有华裔学者伍鸿熙。伍鸿熙认为，在国际上，函数值分布理论是具有决定性的关键工作之一。他用了相当高的形容词来描述杨乐、张广厚的工作和成果水准。麦克莱思当即表示说：“非常漂亮，非常有趣，是具有决定性的研究之一。”麦克莱思回国后，把这件事报告给美国的著名数学权威阿尔福斯等。当发现中国的青年数学家在亚纯函数研究方面作出的卓越成果时，他们大为震惊：在人類历史上最早诞生完整的十进制体系的中国，在世界上最早给出圆周率精确计算的中国，而今，一个年轻的中国数学家又在精深的函数论领域领先于世界了。

杨乐的学术论文与专著为国内外学者广泛引用，不少同行学者发展其方法，推广其定理。海曼等3位著名专家1984年在《伦敦数学会会刊》上列举复分析领域中亟待研究的重要问题，其中第一个问题就是要推广杨乐1982年建立的一条定理。

在杨乐众多的研究成果中，还应提及的是杨乐对李特伍德猜想的研究。英国数学大师李特伍德1930年提出的一个猜想，历半个多世纪悬而未决，而杨乐与海曼合作的研究“角域内全纯函数的增长与取值”宣告了李特伍德猜想的解决。后来，杨乐对于亚纯函数导数总亏量的估计又给出了当时国际上最好的结果。杨乐在国内倡导了有界平均振动函数（BMO）、复动力系统等若干国际上热门的前沿研究领域。所有这些，形成了杨乐对复分析系统的贡献。他的专著《值分布论及其新研究》，总结了当时国内外值分布论研究的最新进展与成果，大多数内容首次被写入书中，已成为该领域的权威性文献。

杨乐一辈子学数学、爱数学、研究数学、教授数学，把一生都献给了数学。2022年7月，第九届世界华人数学家大会授予杨乐数学贡献奖，以表彰杨乐在数学领域的突出成就及其为推动中国数学发展作出的重大贡献。文