高中数学课堂案例研究

赖琰媛 曹小燕

摘要：本文通过研究一个高中数学课堂案例，探讨了“教-学-评”一体化模式在数学教育中的应用.

关键词：高中数学；教-学-评一体化；学习成果；深度学习

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0005-03

教育是社会进步和个体成长的关键环节，而数学教育作为其中的一部分，一直备受关注.在过去，许多数学教学过于侧重“教”和“学”，忽视了“评”的重要性.因此，教学效果经常被低估，学生的学习成果难以有效衡量[1].为了改善这一状况，近年来，“教-学-评”一体化模式在课堂改革领域崭露头角.

1 “教-学-评”一体化模式的概念

“教-学-评”一体化模式是一种教育教学方法，旨在将教学过程和教学评价相结合，使评价与教学环节相互交织，相互促进.该模式的核心思想是将评价作为一个连续、动态的过程，与教学相互渗透.它不仅关注学生在最终评估中的表现，还注重评价教师的教学能力和课堂实施.这一模式强调学生的学习成果、深度学习、主动参与和反馈调整，有潜力提高教育的质量和公平性[2].

2 案例分析：一个高中数学课堂

我们将深入研究一个典型的高中数学课堂案例，以探讨如何将高中数学的各种知识点应用于实际教学中.这个案例将涵盖高中数学学习内容的多个主题，包括函数、三角函数、空间几何以及解决实际问题的能力[3].

2.1 课堂背景

这个案例发生在一所高中的高二年级数学课堂上，主要目标是教授学生如何解决与三角函数和空间几何相关的问题.

2.2 教学目标

（1）帮助学生理解如何应用三角函数来解决实际问题，特别是在空间几何中.

（2）培养学生的问题解决和建模能力，使他们能够将数学知识应用于解决复杂问题.

（3）强调数学与实际问题的联系，激发学生对数学的兴趣.

2.3 课堂活动和内容

2.3.1 案例介绍

教师向学生提出了一个实际问题，引发他们的兴趣.问题是这样的：在城市中，一栋高楼上的一个窗户需要设计得确保阳光每天都能照亮这个窗户，但又不能被其他高楼建筑物的阻挡.高楼的高度是60米，而周围的建筑物高度各不相同，范围在20米到40米之间.此外，教师提供了城市的纬度和季节信息，以及太阳在不同时间的仰角数据.

这个问题的引入不仅吸引了学生的兴趣，还明确了本次课堂的目标.学生在解决这个问题的过程中将运用数学知识，包括三角函数和几何学的概念，将抽象的数学理论与实际问题相结合，展现了数学在解决实际问题中的实际应用能力.

2.3.2 数学建模

在引人入胜的案例问题引发了学生的好奇心之后，教师引导他们开始考虑如何建立数学模型来解决这个复杂的实际问题.学生开始积极参与，讨论并列出了与问题相关的各种因素，将问题逐步抽象成一个数学模型.

首先，学生和教师一起讨论并列出了问题的各种因素，这些因素如下：

（1）高楼的高度：高楼的高度是60米；

（2）周围建筑物的高度：周围的建筑物高度各不相同，范围在20米到40米之间；

（3）城市的纬度：城市的纬度對太阳的仰角产生影响.假设城市的纬度是40°N；

（4）季节：不同季节太阳的仰角也会变化.假设考虑夏季和冬季两个季节；

（5）太阳的仰角数据：教师提供了太阳在不同时间的仰角数据，以度（°）为单位，如夏至正午：75°，冬至正午：25°.

这些因素在建立数学模型时都需要被考虑，因为它们对窗户的最佳位置产生直接影响.

接着，教师引导学生了解到，为了解决这个问题，他们需要运用三角函数，特别是正切函数.教师指导他们思考如何使用正切函数来表示太阳的高度角与窗户的高度之间的关系.

学生根据讨论的问题因素和已知数据，建立了一个数学模型.设太阳的高度角为θ，窗户的高度为h，以及高楼的高度为H.根据三角函数的性质，学生们建立了以下等式：

tan（θ）=hH

这一过程中，学生们逐渐将抽象的问题映射到数学模型上，理解了如何将实际问题转化为数学问题，并为下一步的数学分析和解决问题奠定了基础.这也强调了数学在解决实际问题中的关键作用.

2.3.3 角度与三角函数

在建立数学模型的基础上，教师在一开始详细介绍了如何使用角度与三角函数来解决这一实际问题.这一部分的内容让学生更深入地理解了太阳的高度角与窗户的高度之间的关系，以及如何使用正切函数来表示这一关系.

接着，教师解释了太阳的高度角是指太阳在天空中的位置，通常以度数来表示.学生们意识到太阳的高度角在不同时间和不同位置会发生变化.教师提供了夏至正午时，太阳的高度角为75°，冬至正午时，太阳的高度角为25°，以便学生在后续计算中使用.这些数据成为数学模型中的重要参数，帮助学生计算太阳的高度角.

然后，教师引导学生认识到正切函数的价值，尤其是在处理与角度和长度之间的关系时.具体来说，他们了解到：

（1）太阳的高度角： 老师解释了太阳的高度角是指太阳在天空中相对于水平面的仰角，通常以度数来表示；

（2）夏至和冬至的高度角数据： 为了让学生更好地应用模型，教师提供了夏至正午时太阳的高度角为75°，冬至正午时太阳的高度角为25°；

（3）正切函数的应用：教师强调了正切函数在处理与角度和长度之间的关系时的价值.具体来说，学生了解到正切函数的定义是角的正切值等于对边长度与邻边长度的比值.

2.3.4 空间几何应用

在深入了解了角度与三角函数之后，学生开始探讨如何将这些数学概念应用到空间几何中，以解决确定窗户位置的问题.

教师首先介绍了一个重要的几何概念，即交点.学生了解到，当一条线与一个平面相交时，它们通常会在某一点相交，这一点被称为交点.这个概念对于确定窗户的位置至关重要，因为他们需要找到太阳光线与建筑物平面的交点.

接着，学生开始考虑如何使用正切函数中得到的太阳高度角和高楼的高度来计算太阳光线与建筑物的交点.他们了解到，这个问题可以转化为一个几何问题，其中包括一个垂直于地面的建筑物平面和射向太阳的光线.

然后，教师提供了示意图和数据，包括高楼的高度（60米）、太阳高度角（75°夏至正午）和建筑物平面的位置.学生明白，他们需要使用几何原理来计算光线与平面的交点，从而确定窗户的位置.在这一部分，学生开始运用空间几何的知识来计算光线与建筑物平面的交点坐标.他们利用正切函数得到的太阳高度角，以及高楼的高度，计算出光线与平面的交点坐标.

教师指导他们使用以下方程来计算交点的水平坐标（x）和垂直坐标（y）：

x=高楼高度tan（太阳高度角）

2.3.5 实际计算

在经过角度与三角函数以及空间几何的学习后，学生迎来了实际计算的阶段，以确定窗户的最佳位置.他们将之前学到的数学知识与具体的数值数据相结合，以解决这个实际问题.

学生首先利用他们在角度与三角函数部分学到的知识，计算太阳在特定时间的高度角.教师提供了太阳高度角数据，以模拟不同时间段太阳的仰角变化.例如，在夏至正午时太阳的高度角为75°.学生使用以下正切函数来计算太阳高度角：

太阳高度=arctan（高楼高度太阳阳距离高楼的水平离）

他们将高楼的高度（60米）和之前计算的太阳距离高楼的水平距离代入公式中，并计算得到太阳高度角.

获得太阳高度角后，学生继续计算光线与建筑物平面的交点坐标.他们使用以下公式：

x=高楼高度tan（太阳高度角）

通过代入太阳高度角，得到水平坐标（x）.然后，他们使用之前了解的光线与平面的交点概念，考虑建筑物平面的位置，以计算垂直坐标（y）.学生在计算得到交点坐标后，将这些坐标转化为窗户的位置.他们理解到窗户的位置是相对于高楼的坐标，因此可以用这些坐标来确定窗户的位置.

最后，教师带领学生计算并确定了不同时间段窗户的位置，以确保阳光能够照亮窗户，同时避免其他建筑物的阻挡.这个过程需要学生将数学计算与实际问题相结合，展现了他们在建立数学模型和应用数学知识方面的能力.

2.3.6 测量与评估

在这堂数学课的教学过程中，测量与评估是不可或缺的环节，以确保学生对所学知识的掌握程度和能力发展.

（1）测量方法： 为了测量学生对案例所涉及的数学知识的理解，教师采用了多种测量方法，包括课堂参与度的观察、学生在小组讨论中的表现以及书面或口头的测验.

（2）问题解决能力评估：教师设计了一系列问题，旨在考查学生的问题解决能力，包括要求学生解释他们选择特定数学方法的理由，或者让他们通过实际计算验证窗户位置的正确性.通过这些问题，教师能够评估学生将数学知识应用于解决实际问题的能力.

（3）团队合作评估： 由于学生在小组中共同讨论和建模，教师也对团队合作进行了评估，包括评估学生在小组中的贡献程度、合作精神以及他们在解决问题时的协作能力.通过这一方面的评估，教师能够了解学生在团队环境中的表现.

（4）实际计算准确性： 学生进行的实际计算是整个案例解决过程的核心.教师对学生的计算准确性进行评估，确保他们正确地应用了角度与三角函数的概念，以及空间几何的知识.

（5）总结与反思： 在总结与讨论环节，鼓励学生分享他们的学习体验和理解.教师通过学生的总结，评估他们对数学知识的深刻理解以及对解决实际问题的应用能力.

3 结束语

通过上述案例分析，可以看出“教-学-评”一体化模式在高中数学教育中的应用是非常有效的.它有助于提高学生学习成果和参与度、促进深度学习、提供实时反馈和调整以及提高教育公平性.

参考文献：

[1] 罗宪英.基于“教、学、评”一体化理念的高中数学教学策略[J].数理天地（高中版），2023（9）：66-68.

[2] 陳利章.“教学评”一体化视域下高中数学大单元教学实践[J].新课程，2023（10）：112-114.

[3] 王勇.“教学评”一体化视域下的高中数学大单元教学实践探讨[J].中学生数理化（高中版），2023（14）：7-8.

［责任编辑：李璟］