倡导“三要”，回避“三忌”

耿萍

二轮复习是基于一轮复习后的一个重要阶段，关键在于学生的能力提升与素养养成，进一步构建并完善数学学科的知识体系结构与网络，以及更加全面的解题技巧与方法等.因而，为了更加有效地进行高考数学二轮复习，必须做到合理侧重点、横联纵拓面、聚集能力点等，在复习过程中要倡导“三要“，回避“三忌”.

1倡导“凸显主体”，忌讳“面面俱到”

在实际复习备考过程中，高考数学二轮复习有时也不是单独存在的一个完整區间段，复习的时间较短，是一轮复习的合理延续，经常与三轮复习进行交叉融合，这就要求二轮复习应该明辨复习主体，全面凸显主体，合理地有所侧重，不要面面倶到.

一种比较成熟的认知，就是二轮复习时，可以通过高中数学学科的六大主干知识模块（函数与导数、数列、三角函数与解三角形、立体几何、解析几何以及统计与概率等）来合理展开，予以更加高频的关注与侧重对待.

以“函数、方程与不等式的联系与转化”为例，借助函数这一高中数学基本核心内容，合理构建函数与方程、函数与不等式、方程与不等式等之间的联系，并在此基础上构建函数与导数的应用、函数的性质与图象的联系，以及函数和方程思想与其他相关数学思想方法的联系与应用，有效构建主干知识网络与分支知识网络的联系，使得知识的理解与掌握更加精细，更加完善.

例1（2023年浙江省高中数学竞赛夏令营试题·12）已知x为实数，且满足52x+1+3125=55x-x2，则x的最小值和最大值之和为＿＿＿＿.

解析：依题将原方程等价转化为52x+1+5555x-x2=1，即5x2-3x+1+5x2-5x+5=1，

配方可得

52-54+5

2-54=1.

构造函数f（x）=5x-2-54+52-54，

则有f（2－x）=f（2+x），即函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，

而f（0）=3130>1，f（2）=25<1，显然方程f（x）=1有解，

所以x的最小值和最大值之和为4.

点评：本题充分体现了化归与转化的解题策略，在解题过程中对超越方程加以合理变形与转化，通过函数的构造加以合理化归，从而借助函数的对称性为解决相应的超越方程提供条件，使得“看似无法解决”的问题得以合理转化与巧妙解决，把“陌生”问题“熟悉”化，充分开发学生的潜能，对学生“四基”的巩固与数学能力的提升与应用都有很好的效果.

2倡导“注重联拓”，忌讳“就题讲题”

基于一轮复习，此时大部分学生对数学学科基础知识与基本方法的整体复习还只是处于简单阶段，没有形成系统与网络，还是比较单一的知识点.

作为其链接与延续，二轮复习应该选择更加恰当的典型实例，注意数学知识点与思想方法间的“横联纵拓”，借助透彻的分析，有效的类比，帮助学生在此过程中逐渐完善与升华，将纷繁零碎的数学基础知识点、数学能力点等系统化、网络化、条理化和简明化，不能只是停留在“就题讲题”的一轮复习层面.

特别不能直接依托于问题，就题讲题，否则只能保证该问题的效益，不能形成不同知识点之间的联系，形不成知识网络，只是一个个单一的、零碎的问题，没有发挥到典型问题的多重效益.

例2（2023年南京大学强基计划数学试卷·4）已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，则sin4βsin2α+cos4βcos2α=＿＿＿＿.

分析：将所给的复杂分式进行整式化处理，是解题过程中比较常见的一种切入方式.在此基础上利用三角函数中的平方关系进行合理的拆分、合并、化简，构建更为简捷的三角关系式，为进一步求三角函数式的值提供条件.

解法1：三角恒等变换思维法.

由已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，可得sin4αcos2β+cos4αsin2β=sin2βcos2β，

于是可以得到sin4αcos2β+（1－sin2α）2sin2β－sin2βcos2β=0，

即sin4αcos2β+（1－2sin2α+sin4α）sin2β－sin2βcos2β=0，

可得sin4α5（sin2β+cos2β）+sin2β（1－cos2β）－2sin2αsin2β=0，

则sin4α+sin4β－2sin2αsin2β=0，即（sin2α－sin2β）2=0，可得sin2α=sin2β，

再由1－cos2α=1－cos2β，可得cos2α=cos2β，

所以sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1.

点评：利用同角三角函数的平方关系进行三角转化处理时，化简比较复杂，次幂较高，要注意降幂方法的应用，需要足够的耐心与认真细致的态度.

解法2：换元思维法.

设cos2α=a，cos2β=b，利用平方关系可得sin2α=1－a，sin2β=1－b.由已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，可得（1-a）21-b+a2b=1，

整理可得b（1－a）2+a2（1－b）=b（1－b），化简得（a－b）2=0，即a=b，

所以sin4βsin2α+cos4βcos2α=（1-b）21-a+b2a=（1-a）21-a+a2a=1－a+a=1.

当然，在以上拓展数学思想方式的基础上，合理加以深入与应用，并结合问题的结构特征，利用选择题中具备结论对某一“对象类型”内均成立的前提条件，可以采用更加巧妙的方式与方法来处理，即可采用“特例排除法”来达到目的.同时也对“特值（例）排除法”的认识、理解与掌握等给出一个更高、更全面的应用.

解法3：特殊思维法.

依题sin4αsin2β+cos4αcos2β=1是一个不定方程，

显然当α=β≠kπ2，k∈Z时，条件中的方程sin4αsin2β+cos4αcos2β=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1成立，

所以將α=β≠kπ2（k∈Z）代入，可得sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1.

当然，以上问题还可以进行更加丰富多彩的“横联纵拓”，这里就不多加展开.可以肯定的是，借助典型实例的“横联纵拓”，从基础知识与基本能力等方面都会使得学生“会一题、懂一类、通一片”等教学效果成为现实，这也是二轮复习教学所追求的最高目的.

3倡导“能力立意”，忌讳“唯知识论”

经过一轮复习，“知识论”的基础就已经构建，合理渗透数学思想方法、数学能力等的“显性运用”，是二轮复习中必须关注的重要方面.更加“自觉”“合理”地选择对应的数学思想方法来分析与解决问题，还是要通过高考数学二轮复习加以有效训练与不断强化，这样才能真正融合知识、能力、方法等于一体，吻合“能力立意”的高考数学命题理念，从而更加科学有效地应对高考.

例3〔2023年香港中文大学（深圳）综合评价测试数学规组第2题〕数列{an}满足an+1=anan+1+an+1，且a1=1+2－3，求数列{an}前2024项的积.

解析：依题意，显然an≠0，an≠1，由an+1=anan+1+an+1变形整理，可得an+1=1+an1-an.

令an=tanxn，则有tanxn+1=an+1=1+an1-an=tanπ4+tanxn1-tanπ4tanxn=tanπ4+xn，

于是可得an+2=tanxn+2=tanπ4+xn+1=tanπ2+xn，an+3=tan3π4+xn，an+4=tan（π+xn）=tanxn=an，

所以数列{an}是以4为周期的周期数列.

又a3=tanπ2+x1=－1tanx1=－1a1，a4=tanπ2+x2=－1tanx2=－1a2，可得a1a3=－1，a2a4=－1，从而可得a1a2a3a4=－1×（－1）=1，

所以数列{an}前2024项的积a1a2a3……a2024=（a1a2a3a4）506=1506=1.

点评：合理的联想与知识的链接巧妙地将数列与三角函数这两个不同的知识点联系起来，完成合作与应用，这才是问题的能力立意所在.通过数列的递推关系式与三角函数的正切公式的联系，借助两角和正切公式的变形，为确定周期数列的周期提供一个全新的思维，得以求解与应用.

“能力立意”的高考数学命题理念在具体问题中的体现，往往需要阅读、观察、理解、分析、归纳、演算、验证等探究过程，借助多层面、多视角来分析与探究.在具体求解问题的过程中，往往需要通过逻辑推理中的归纳法（不完全归纳或完全归纳）、类比法等，以及构造思维中的构造法等来达到目的.这些思想方法都是不可以事先预设的，只有在分析与探究的过程中，随着数学思维的深入、问题分析的显现等，才会逐步被观察与联想到.

二轮复习要立足根基，基于一轮复习的知识基础，适度地求新求异，合理地综合训练，认真审视复习过程，及时修正复习过程中存在的偏差，在一轮复习的基础上更加全面地“查缺补漏”，同时合理倡导“三要”，回避“三忌”，这样，二轮复习的有效性方能得到更加有效、更加全面地实现，学生的数学知识、数学能力以及数学核心素养等才能真正得以有效提升.