一道三角最值题的破解与拓展探究

傅小燕

三角函数的最值或取值范围等综合问题，一直是高考中三角函数知识模块的重点与难点之一，可以很好融合三角函数的基本概念、基本公式、三角函数的图象与性质等，以及函数与方程、函数与导数、不等式及其应用等相关知识，思维视角多样，方法技巧多变，是全面考查数学“四基”与数学能力、展示知识交汇与体现方法多样性的一个重要场所，倍受各方关注.

1问题呈现

问题（湖北省武汉市武昌区2023届高三年级5月质量检测数学试卷·14）已知函数f（x）=1+sinx2cosx+sinx，x∈0，π2，则函数f（x）的最小值为＿＿＿＿.

根據题设条件中三角函数解析式的结构特征，往往可以从三角函数思维、解析几何思维以及函数与导数思维等切入，结合不同的数学思维与技巧策略，以及三角函数的基本知识与基本方法等的分析与应用，呈现精彩纷呈、灵活多变的技巧方法.

在此题设条件下，巧妙变式拓展，达到“一题多思”与“一题多变”，实现“一题多得”的目的.

2问题破解

2.1三角函数思维

方法1：二倍角公式法.

解析：依题意，结合三角函数中的二倍角公式有

f（x）=1+sinx2cosx+sinx

=sin2x2+2sinx2cosx2+cos2x22cos2x2－2sin2x2+2sinx2cosx2

=tan2x2+2tanx2+12－2tan2x2+2tanx2.

令tanx2=t∈[0，1]，

则有

y=g（t）=－12×t2+2t+1t2－t－1=－12×（t+1）2t2－（t+1）=－12×11t+12－3t+1+1=－12×11t+1－322－54.

当t=0时，g（t）有最小值12，所以函数f（x）的最小值为12.故填答案：12.

方法2：万能公式法.

解析：依题意，结合三角函数中的万能公式有

f（x）=1+sinx2cosx+sinx

=1+2tanx21+tan2x22×1－tan2x21+tan2x2+2tanx21+tan2x2

=tan2x2+2tanx2+12－2tan2x2+2tanx2.

接下来部分同方法1.

解后反思：回归三角函数本质，利用三角函数思维，借助三角恒等变换中的二倍角公式或万能公式转化对应的关系式，进而利用二次函数确定相应的最值问题.三角函数思维是最本能的一种思维方式，借助三角函数思维来分析与处理，公式变形与数学运算比较繁杂，确有一定的难度.

2.2解析几何思维

方法3：数形结合法.

解析：依题意，得f（x）=11+2×cosx－12sinx+1.

图1

而代数式cosx－12sinx+1表示的是平面直角坐标系mOn中定点A－1，12与动点P（sinx，cosx）的连线的斜率，动点P在单位圆m2+n2=1上运动，且满足m，n∈[0，1]，如图1所示.

数形结合可知，当动点P的坐标为（0，1）时，直线PA的斜率取得最大值，此时代数式cosx－12sinx+1的最大值为1－120+1=12，从而f（x）取得最小值12.

故填答案：12.

解后反思：结合分式型函数的最值情境，合理联想到直线的斜率模型，利用解析几何思维加以数形结合，直观分析，是解决此类问题中比较常用的一种方法.在数形结合直观处理此类问题时，要注意对分式型函数进行必要的变形与转化，并确定变量的取值范围，这样“数”与“形”之间才能实现无缝链接.

2.3导数思维

方法4：导数法.

解析：依题意，得f′（x）=2sinx－cosx+2（2cosx+sinx）2.

由x∈，可得f′（x）>0.

所以，函数f（x）在区间0，π2上单调递增，则有f（x）min=f（0）=1+sin02cos0+sin0=12.

所以函数f（x）的最小值为12.故填答案：12.

解后反思：回归本源，三角函数作为函数中的一种特殊类型，涉及最值问题的求解往往都可以利用导数思维.借助函数求导处理来确定函数的单调性，是破解此类问题中的一种“巧技妙法”.利用导数思维解决最值问题时，思维比较常规，步骤比较熟悉，问题的解决更加简单快捷.

3变式拓展

3.1同阶变形

保留题设条件中自变量的范围，改变设问方式来合理变式.

变式1已知函数f（x）=1+sinx2cosx+sinx，x∈0，π2，则函数f（x）的最大值为＿＿＿＿.

变式2已知函数f（x）=1+sinx2cosx+sinx，x∈0，π2，则函数f（x）的取值范围为＿＿＿＿.

3.2高阶变形

保留题设条件中的函数解析式，取消对自变量范围的限制，实现问题的综合变式.

变式3已知函数f（x）=1+sinx2cosx+sinx，则函数f（x）的取值范围为＿＿＿＿.

解析：待定系数法.

令1+sinx2cosx+sinx=t，整理可得

（t－1）sinx+2tcosx=1.

根据辅助角公式，可得

1=（t－1）sinx+2tcosx=（t－1）2+（2t）25sin（x+φ）≤（t－1）2+（2t）2=5t2－2t+1，

即5t2－2t+1≥1，解得t≤0，或t≥25.

所以函数f（x）的取值范围为（－∞，0]∪25，+∞.

故填答案：（－∞，0]∪25，+∞.

4教学启示

4.1不同思维切入，技巧方法对比

在解决此类涉及给定区间的三角函数关系式的取值范围（或最值）问题时，回归三角函数思维是破解问题中最为常用的技巧方法，利用三角恒等变换公式加以转化与应用，合理变形成一个可以判断范围的三角关系式来求解；借助三角函数关系式的结构特征，合理构建与之相吻合的模型——直线的斜率公式，是利用解析几何思维解决问题的关键；而回归函数的本质，利用导数思维来解决对应函数的取值范围（或最值），是解决此类函数问题中最为基本的一种方法，有时只是运算量比较大而已.不同的思维视角与技巧方法，各有各的特点，可以结合自身的理解与掌握情况来合理选择与巧妙应用.

4.2倡导“一题多解”，开拓“一题多变”

涉及三角函数的最值或取值范围等综合应用问题，体现了多知识模块之间的交汇与融合.通过多知识交汇应用，结合多思维视角切入，实现多技巧方法破解，并加以深入分析、挖掘、探究，达到“一题多思”“一题多解”的目的.在此基础上加以不断提升，实现“一题多变”“一题多拓”“一题多得”等，充分复习、巩固、总结数学相关知识和数学思想方法等，全面考查学生的数学思想与数学能力，为学生养成良好的思维习惯、优良的数学品质以及数学核心素养等方面都做了有益的尝试.