基于数学命题方式，实现问题价值提升

李玲

数学试题的命题，是数学教学过程中一项重要而又严谨的工作，在一定程度上体现数学教师与教研员等对数学基础知识、数学思想方法等的提炼程度，以及自身所具备的一定数学专业水平等，具有一定的技术与技巧.这往往也在一定程度上展示数学教师与教研员等的一项基本能力与水平.

数学试题的命题，往往是一个反复琢磨、不断修改的复杂过程.而这些典型的数学试题，特别是高考真题、竞赛题、模拟题等优秀的试题，往往都不是凭空生造出来的，可能是依托某种问题情境或借助某个核心概念，也可能是源于相应的经典问题等，巧妙通过合理改编、创新包装、巧妙拓展、知识构建等多种形式来创设，或新旧结合，或乔装打扮，或移花接木，或推倒重建等，手段翻新，创新应用，再进一步加以合理的修改与完善，才有平时见到的高质量的数学试题.

本文以模拟题中的一些典型试题为例，结合数学命题的几种常见方式，如合理改编、创新包装、巧妙构建等，并结合实例剖析数学实际命题的一些操作方法与技巧策略，抛砖引玉.

1合理改编

根据已有的试题（教材的例习题、高考真题等），结合教学的需要与学生的实际情况等，从挖掘问题背景、融合数学知识，提炼思想方法，优化解题策略、展示问题价值等层面入手，合理加以改编，借助试题背景的观察、知识点的延伸以及变式的推广等方式，深化对相关基础知识的理解与掌握，拓展良好的数学思想方法与解题技巧策略.

合理改编的题源往往是教材的典型例（习）题、往届的高考真题以及以往比较典型的高考模拟题等.这些问题都是数学专家、数学教师等智慧的结晶以及劳动成果的展示.

例1（2024届山东省济南市高三上学期开学摸底考试·16）若函数f（x）=|（1－x2）（x2+ax+b）|－c（c≠0）的图象关于直线x=－2对称，且f（x）有且仅有4个零点，则a+b+c的值为＿＿＿＿.

（答案：39.）

以上高考模拟题改编自2013年高考数学全国新课标Ⅰ卷中的试题，在高考真题的基础上进一步构造绝对值的问题场景，同时引入第三个参数变量，并巧妙融入函数的零点，进而借助三个参数变量的和式的值来创设与应用.

链接高考（2013年新课标Ⅰ卷理科·16）若函数f（x）=（1－x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=－2对称，则f（x）的最大值为＿＿＿＿.（答案：16.）

以一道高考真题的熟悉场景，巧妙与其他相关的函数知识加以交汇，从“双变量”的函数应用问题改编成以上“三变量”的函数综合问题，很好实现对数学“四基”的把握情况与数学能力的全面考查，是一道非常不错的改编题，值得很好深入研究、细细品鉴.

当然，基于原问题，还可以从不同思维视角与研究层面加以进一步的改编，实现变式应用与拓展.

变式1若函数f（x）=|（1－x2）（x2+ax+b）|－c的图象关于直线x=－2对称，且f（x）有且仅有4个零点，则a+b+c的值为＿＿＿＿.（答案：23或39.）

变式2若函数f（x）=|（1－x2）（x2+ax+b）|－c的图象关于直线x=－2对称，且f（x）有且仅有7个零點，则a+b+c的值为＿＿＿＿.（答案：32.）

变式3若函数f（x）=（a2－x2）（x2+bx+c）（a≠0，c>0）的图象关于直线x=－2对称，则1a2+1b+1c的最小值为＿＿＿＿.

答案：38.

借助问题的合理改编，回归数学本质，立足数学基础，巧妙引领并指导数学教学与学习，进而充分体现数学基础知识、数学思想方法以及数学能力等方面的有机联系.而此数学命题的改编，也充分说明教学与学习离不开数学教材与课程标准要求，考查知识、方法与能力的试题都源于教材（往年高考真题）意料之外，植于教材（往年高考真题）情理之中，高于教材（往年高考真题）能力之上.

2创新包装

对考生的数学基础知识、数学思想方法和数学能力等方面的考查，往往是基于数学试题来达到目的.而在具体数学命题时，有时对核心考点的考查是直接展示，而有时对核心考点的考查是通过创新包装来实现的.

而对于创新包装的数学试题，就要全面剖析题设条件，挖掘题目的条件与内涵，直击核心考点的本质，撕开创新的“包装”外表，直达核心知识，进而利用相关的数学知识来分析与应用，得以分析与解决问题.

例2〔2023届河南省TOP二十名校高三猜题大联考（二）〕在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，G是△ABC的重心，若BG·AG=0，则cosC的取值范围是（）.

A.63，1

B.0，45

C.45，63

D.45，1

解析：依题，设D为AB边上的中点，如图1所示.由BG·AG=0，可得AG⊥BG，

利用直角三角形的性质，可得DG=12AB=12c.

又△ABC的重心为G，结合三角形的重心性质，可得CD=3DG=32c.

由CD=12（CA+CB），即2CD=CA+CB，可得4CD2=CA2+CB2+2CA·CB，即9c2=b2+a2+2abcosC.

利用余弦定理，可得c2=b2+a2－2abcosC，则有b2+a2+2abcosC=9b2+9a2－18abcosC，

整理可得cosC=25ab+ba>0，则C为锐角.

又由余弦定理，可得c2=b2+a2－2abcosC=b2+a2－2×25（b2+a2）=15（b2+a2），即a2+b2=5c2.

因为△ABC为锐角三角形，所以cosA>0，cosB>0，则有b2+c2>a2，a2+c2>b2，亦即5b2+a2+b2>5a2，5a2+a2+b2>5b2，

解得63

构造双勾函数f（x）=x+1x（其中x>0），则函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.

而63

点评：该题以三角形为载体，结合三角形的基本性质以及平面向量的数量积等创设，包装创新新颖，而实质是考查解三角形与函数的应用等.如何从创新包装场景上逐步展开，合理构建涉及三角形内角的函数值的表达式，进而借助函数的基本性质来分析相应的取值范围问题.与创新包装形式来设置命题，交汇融合知识，进而开拓数学品质，巩固数学“四基”与创新应用.

借助创新形式或创新包装的一些数学试题，融入更多的创新意识与创新应用，有时还增加相应的阅读理解等方面的知识，令人耳目一新，更能考查考生的综合能力.

3巧妙构建

源于应用情境的构建、问题背景的创设等是数学命题的一个重要设置模式，综合数学建模与数学应用，展示数学学习过程中，对数学问题的了解与认识、处理与解决等过程中经常用到的一种技巧与方法.

特别是一些基于数学文化、现实生活等应用场景创设问题，要从问题场景中合理且巧妙构建对应的数学知识，利用数学的语言（包括数学定义与数学公式等）来表达，进而结合相关的数学知识来分析与解决对应的数学问题.

例3古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，約公元前417—公元前369年）利用如图2所示的直角三角形构造无理数2，3，5……已知AB=BC=CD=1，AB⊥BC，AC⊥CD.

（1）求cos∠DAB的值；答案：23－66.

（2）证明：AD·BC+AB·CD≥BD·AC.（略）

点评：基于数学文化的应用场景，借助数学建模，巧妙构建解三角形问题，是解决该问题的关键所在.在解决此类涉及数学文化、现实生活等应用场景问题时，正确阅读理解，挖掘问题内涵，构建数学模型，开拓数学思维，综合数学知识，进而处理应用等.

巧妙创设或构建数学模型，要加以合理引导与知识过渡.在这一过程中，合理引导考生建立起与问题相吻合的数学模型，综合数学概念的掌握、数学知识的理解以及数学模型的应用来达到目的，实现考核与区分的目的.

在实际数学命题时，命题有法，又无定法，不是一成不变的.而在实际教学与学习过程中，不断提高数学试题的命题水平是数学教师与教研员所追求的目标之一，需要在日常教学与解题研究过程中不断积累各方面的素材，开拓知识面，理解更多的知识，构筑一个更宽广的知识基础，同时用心琢磨高考真题、教材例题（或习题）、模考试题等相应好题的命制思路，不停反思，不断实践，不断修改，不断反馈，逐步提升.