研读高考试卷的三个层次

江民杰

摘要：研读高考试卷，就是以课标的理念、思想、要求来研读；研读试题，不仅要研读试题的解法，还要研读问题产生的情境，追寻试题的命题背景及思维轨迹，挖掘试题所潜藏的教育资源，引领学生高观点认识试题，认清数学试题的大背景，掌握研究方法，学会在大背景下思考问题，拓展思维.

关键词：初读（读点、读线）;再读（读面、读体、读脉）;三读（读情境、读背景）

一份高考试卷，就像一轮月亮.

1层次一：初读如漫步中散心观月

初读高考试卷，就如漫步中散心观月.研读试卷，首先关注的是题型、分值，压轴题所涉及的内容，难度大不大？题目如何求解？一份试卷读完，也只是似曾相识，这就是初读.

初读，就是读取题目的外部，获取相关信息，形成初步认识.

1.1读点

读点就是研读出试卷所涉及的知识（核心知识点）、技能及通性通法，感悟所涉及的“通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想”.

1.2读线

高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程.研读高考数学试卷，应该围绕这四条主线，读出新课程背景下考试评价是如何围绕这四条主线展开的.

例1（2022年新高考Ⅰ卷518）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

对于第（1）问，有两种思路.

思路1：利用三角形内角关系处理（利用倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形内角和定理即可得出角B，过程略）.

思路2：结合同构，利用函数单调性处理.

解法如下：

由于cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=cosπ2－2B1+sinπ2－2B，令f（x）=cosx1+sinx，则f（A）=fπ2－2B.

利用函数f（x）在-[SX（]π[]2[SX）]，[SX（]π[]2[SX）]上单调递减，结合角A，B的范围，得到A=[SX（]π[]2[SX）]-2B，进而求得A=B=[SX（]π[]6[SX）].

对于第（2）问，也有两种思路.

思路1：利用正（余）弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论（过程略）.

思路2：构造图形，利用余弦定理、基本不等式即可得出结论.

解：由C－B=π2，如图1，构造△ABC，令∠BCM=∠B，BC=a，AC=b，BM=m，则∠ACM=∠ACB－∠B=π2，所以b2=（c－m）2－m2，cos2B=cos∠CMA=mc－m.

在△BMC中，由余弦定理，得

a2=2m2+2m2·mc－m.

故a2+b2c2=1+4·m2c2－2·mc1－mc.

令1－mc=t∈（0，1），则有1+4·m2c2－2·m2c1－mc=－5+4t+2t

≥42－5，当且仅当t=22时，等号成立.

经过研读，发现本题涉及的知识点有倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、基本不等式、函数单调性等；涉及教材四条主线中的三条主线，如：函数、几何与代数、数学建模.

初读试卷，就是要围绕四条主线，理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系，提炼出解决一类问题的数学方法，领悟其中的数学思想，初步建立网状的知识结构；能够用图形探索解决问题的思路，形成数形结合思想.

2层次二：再读如庭院中驻心赏月

再读高考试卷，如站在庭院中，抬头仰望，明月当空，一览无余，驻心赏月.随着研读的深入，对试卷的理解才能愈发深刻，进入第二层次，这就是再读.

再读，就是对读取的信息进行深加工.如，考什么（试题的布局、内容、结构）？怎么考（主干知识重点考）？试题命制的风格及走向？

2.1读面

四条主线，线线相交，或点线（知识点与主线）布排，形成试题的布局、结构，这就是面.数学高考卷加强对主干内容的考查，强调学科知识的系统性，为此，需要读面，强化对试卷的整体认识.

读面，就是研读出试卷所考查的主干知识，各知识模块所占分值比例，各知识点的组合方式，考查方式，等等.近年来数学试卷在选择题、填空题、解答题等不同题型中都加强了对主干知识的考查，意在增强学生對主干知识深层次的认识和理解，引导学生更好地感悟数学本质.

2.2读体

读体，就是读出层次.高考试卷有较好的区分度，同一份试卷，同一道试题，能够分层考查不同的学生.对同一道试题，我们要读出不同的解法，读出思维层次的高低.

例2（2023新高考Ⅰ卷520）设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=n2+nan，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和.若{bn}为等差数列，且S99－T99=99，求d.

思路1：直接利用等差数列通项公式、求和公式，通过解方程求解，但运算量大.该方法属于第一层次.

思路2：由bn=n2+nan=n（n+1）an，数列{an}，{bn}均为等差数列，又等差数列{an}的公差为d（d>1），故设an=dn或an=d（n+1），结合求和公式，分类讨论求解.

思路2充分挖掘条件，抓住等差数列通项公式的特征求解，运算量减小，该方法层次较高.

2.3读脉

“脉”是指试题命制的走向.研读高考试题，要研究命题走向，关注近年来一类问题的命题方向，即从历年试题到新近试题的近迁移，再到大概念的远迁移.

对于同构问题，近年来，高考题中主要有三种类型的同构题型.

题型1：结构相同（近）要同构.如2020年全国卷Ⅰ理科第12题.

题型2：“指对”跨界寻同构.如2022年新高考Ⅰ卷第22题第二问.

题型3：从无到有凑结构.

有些题目涉及的式子并不像以上提到的和（差）型或者积（商）型一样明显，而是将原先左右同构的格式隐藏了起来，此类题型大大提升了解题难度，但通过对比发现，可以适当配凑，实现原先的同构格式.

例3（2020新高考Ⅰ卷第22题第二问）已知函数f（x）=aex－1－lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范围.

分析：f（x）=aex－1－lnx+lna=elna+x－1－lnx+lna≥1等价于elna+x－1+lna+x－1≥lnx+x=elnx+lnx.令g（x）=ex+x，則上述不等式等价于g（lna+x－1）≥g（lnx）.又g（x）为增函数，所以lna+x－1≥lnx，即lna≥lnx－x+1.令h（x）=lnx－x+1，易求得h（x）max=h（1）=0，所以lna≥0，即a≥1.故a的取值范围是[1，+∞）.

同构的本质就是函数单调性的应用.近年来，同构的内容涉及面广，如式的运算、大小比较、函数零点、不等式（等式）的证明、求参数的取值范围等，而且题目的综合性逐步增强（2020年的大小比较到2022年的函数零点），同构的技术含量也在增多，要求学生具有较强的观察、运算和分析能力.同构思想突破常规思路，为解题带来了新的思路、新的方法、新的视野.

3层次三：三读如水面上净心玩月

三读高考试卷，我们对试题的认识（题目的解法、题目的源头）逐步通透，认识通透了，指导学生时方可得心应手，如天上一个月亮，水中一个月亮，我们可以出神入化地玩月.三读，就是要读出命题人设置试题的意图与解题人对试题认识上的差异，只有找到差异，反思自己，才能找出方向，明确目标，这就是三读.

三读，就是要读出试题的情境（题目怎么处理），读出试题命制时的思维轨迹及背景（题目怎么来）；三读，就是对题目的处理做到出神入化，能解题知背景.

3.1读情境

情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境.

研读数学试题，要能在问题情境中，把握研究对象的数学特征，抓住其数学本质，形成解决问题的思路，其关键在于阅读.

读懂试题情境必须突破题意阅读关，捕捉题中的关键信息；对信息加工，得到数据所提供的知识和规律，运用数学语言，清晰、准确地表达数学论证和数学建模的过程和结果；通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象；能够合理地运用数学语言和思维进行跨学科的表达与交流，这是高考数学命题的一个重要着力点.

例4（2022新高考Ⅰ卷第19题第二问）如图2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22.

设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

解读情景：直三棱柱ABC-A1B1C1中，由题目所给条件分析出AB=BC=AA1=2，进一步得到该直三棱柱就是由正方体分解而来，因此可在正方体的情境下处理问题.其过程如下：

解析：构造正方体ABCN-A1B1C1N1，如图3所示，二面角A-BD-C转化为平面ABC1N1与平面BCN1A1所成角或其补角.由AB1⊥平面A1BC，可知向量B1A

为平面A1BCN1的法向量.由正方体ABCN-A1B1C1N1知B1C⊥BC1，B1C⊥AB，所以B1C⊥平面ABC1N1，则B1C为平面ABC1N1的法向量.又因为△AB1C是正三角形，所以〈B1A，B1C〉=π3，二面角A-BD-C的平面角为π3.故二面角A-BD-C的正弦值为32.

分析各条件间的关联，将直三棱柱ABC-A1B1C1置于正方体中，其过程就是数学建模，在正方体的情境下处理，解题过程变得简单.

能在复杂情境中，理出问题产生的数学情境，进而优化解题过程，这应该是我们三读试题的追求之一.

3.2读背景

背景是指命制试题时产生问题的大背景及命题人的思维轨迹.研读高考试题，面对学生，我们不仅仅是指导学生解题，还要追寻数学试题的命题背景及思维轨迹，挖掘试题所潜藏的教育资源，引领学生高观点认识试题，认清数学试题的大背景，掌握研究方法，学会在大背景下思考问题，拓展思维.

例5（2021新高考Ⅰ卷第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（－17，0），F2（17，0），|MF1|－|MF2|=2，点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

背景初析：设圆锥曲线C：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0，过点P（x0，y0）的直线l，m的倾斜角分别为α，β，其斜率分别为k1，k2，直线l，m分别与圆锥曲线C交于A，B与C，D，则

（1）|PA|·|PB||PC|·|PD|=Acos2β+Bsin2βAcos2α+Bsin2α；

（2）若|PA|·|PB||PC|·|PD|=1，则α=π－β，倾斜角互补，即k1+k2=0，此时A，B，C，D四点共圆.

证明：略.

设直线l的方程x=x0+tcosα，y=y0+tsinα（t为参数），将其代入曲线C：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0，得

（Acos2α+Bsin2α）t2+（2Ax0cosα+2By0sinα+Dcosα+Esinα）t+Ax20+By20+Dx0+Ey0+F=0.

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则有

t1t2=Ax20+By20+Dx0+Ey0+FAcos2α+Bsin2α，

即|PA|·|PB|=|t1t2|=[JB（|]Ax20+By20+Dx0+Ey0+FAcos2α+Bsin2α[JB）|].

同理，有

|PC|·|PD|=[JB（|]Ax20+By20+Dx0+Ey0+FAcos2β+Bsin2β[JB）|].

所以，有

|PA|·|PB||PC|·|PD|=Acos2β+Bsin2βAcos2α+Bsin2α.[JY]①

當曲线C表示圆，则①相应于为圆的割线定理，即|PA|·|PB||PC|·|PD|=1；

当曲线C不表示圆，若A，B，C，D四点共圆，从而|PA|·|PB||PC|·|PD|=1，即Acos2β+Bsin2βAcos2α+Bsin2α=1，进而推得α=π－β，此时k1+k2=0.

四点共圆背景再析：根据上述结论的推导过程，结合平面几何知识，可发现圆锥曲线以下性质.

性质1：设直线AB，CD的斜率存在且不等于0，若AB，CD是圆锥曲线的两条相交弦，交点为P，则

（1）两弦AB，CD的倾斜角互补的充要条件是A，B，C，D四点共圆；

（2）两弦AB，CD的倾斜角互补的充要条件是|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

性质2：设直线AB，CD，AD，BC的斜率存在且不等于0，若AB，CD是圆锥曲线的两条相交弦，且AB，CD的倾斜角互补，则AD，BC的倾斜角也互补.

性质3：设A，B，C是圆锥曲线上的三点，且直线BC的斜率存在，若AB，AC的斜率互为相反数（倾斜角互补），则直线BC的斜率与曲线在点A处的切线斜率互为相反数.

以此背景的试题，如2022年新高考Ⅰ卷第21题.

读试题背景，更多的是读出知识背景（高等数学背景）或命制背景，仅用于明确问题处理方向，而问题的处理只能在中学数学的范围内解决.作为数学教师，对试题背景应该有深刻的认识，认清数学试题的大背景，教会学生在大背景下思考问题.

三读高考试题，就是从课标的理念、思想、要求来研读，并在此基础上把握教学，这种处理，就是站在与高考命题专家思想相通的平台上，这样教育教学将变得更有效、更得力、更自如.我们从观月到赏月，再到玩月，随着研读的深入，对试题的认识逐渐出神入化，这既需要较强的专业知识，更需要对教育的情怀！