迈向深度学习，优化复习效益

胡正波

“一题多解”是高中数学课堂教学与学习中比较常用的一种基本手段，更是高考复习中非常有效的一种教学方式.借助“一题多解”，可以有效引领复习，夯实“四基”，进而全面克服学生解题中的思维定势，有效发散数学的灵动思维，培养学生思维的灵活性与创新性，这对复习备考是非常有益的.而借助“一题多解”，能更加充分体现学生对整体知识的理解掌握情况，以及更加灵活的应用能力，也能更加有效地提升学生的“四能”，达到高效复习的最佳效益.

1 梳理整合知识，构建知识体系

借助“一题多解”策略进行高考复习与教学分析，往往可以将不同知识体系中的知识点加以合理整合，构建不同知识点之间的联系，使知识点之间“点连成线、织成面、构成体”，从而构建一个更加和谐、完整的数学知识网络体系，对于知识的全面理解与掌握，以及知识的灵活应用更加有效，从而提升数学关键能力.

例1 〔光大教育2023届高三综合能力测试（三）数学试卷·19〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c= 3 a．

（1）若bcos C= 3 ，csin B=3，求A；

（2）若b=4，求△ABC面积的最大值．

解析：（1）利用正弦定理 b sin B = c sin C ，可得csin B=bsin C=3，又bcos C= 3 ，所以tanC= 3 .

结合C∈（0，π），可得C= π 3 .

由c= 3 a，结合正弦定理有sin C= 3 sin A，从而可得sin A= 1 2 .

又c= 3 a>a，可得C>A，所以A= π 6 .

（2）解法1（二次函数法）：设a=x>0，则c= 3 a= 3 x.结合三角形的几何性质，可得

2（ 3 －1）

利用余弦定理，有cos C= a2+b2－c2 2ab = 8－x2 4x .

结合同角三角函数基本关系式，有

sin C= 1－cos 2C =  －x4+32x2－64  4x .

所以，可以得到△ABC面积S= 1 2 absin C= 1 2  －x4+32x2－64 = 1 2  －（x2－16）2+192 ，则当x2=16，即x=4时，△ABC面积的最大，且最大值为 1 2  192 =4 3 ．

解法2（坐标法）：以AC所在直线为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy，则A（－2，0），C（2，0）.

设B（x，y），由c= 3 a，可得c2=3a2，则（x+2）2+y2=3[（x－2）2+y2]，整理并化简，可得

（x－4）2+y2=12（y≠0）.

所以|y|≤2 3 .因此△ABC面積S= 1 2 b|y|≤ 1 2 ×4×2 3 =4 3 ，即△ABC面积的最大值为4 3 ．

感悟反思：在同一数学问题中渗透多个知识点是高考命题的基本指导思想，而解题时利用不同的知识点来求解，也是必然所在．解法1中通过二次函数知识来处理，解法2中通过解析几何中的坐标知识来处理，利用各自不同的数学知识点加以切入与应用，优化解题过程，合理梳理并整合数学知识，提高课堂效益．

2 发散数学思维，培养创新意识

借助“一题多解”策略进行高考复习与教学分析，可开阔学生的眼界，形成知识的融会贯通，培养学生良好的思维品质，特别对于数学思维的变通性、灵活性、多样性与创新性等可以起到非常好的拓宽与应用效果，真正培育学生的创新意识与创新应用．

例2 〔福建省泉州市2023届高中毕业班质量监测（三）数学试卷·8〕已知向量[WTHX]a，b，c中，|a|=1，且满足b·c=0，a·b=1，a·c=－1，则|b+c|的最小值为（  ）.

A．1

B． 2

C．2

D．4

解法1：几何意义法.

设向量a=OA ，[WTHX]b=OB ，c=OC ，OD =－OA .

依题意并结合向量数量积的几何意义，有AB⊥OA，DC⊥DO，OB⊥OC，如图1所示.

而|b+c|=|b－c|=|OB －OC |=|CB |，数形直观可知，|CB |为夹在两平行直线AB与CD间的线段长.

数形结合可知，当BC⊥AB时，|CB |取到最小值2，则|[WTHX]b+c|的最小值为2.故选择：C．

解法2：坐标法.

在平面直角坐标系xOy中，设向量a=（1，0），b=（x1，y1），c=（x2，y2），如图2所示，

因为a·b=1，a·c=－1，b·c=0，

所以x1=1，x2=－1，x1x2+y1y2=0，即y1y2=1.

又b+c=（x1+x2，y1+y2），所以可得

b+c|= （x1+x2）2+（y1+y2）2 = y21+y22+12+（-1）2 ≥ 2y1y2+2 =2，当且仅当y1=y2=1或y1=y2=－1时，等号成立，则|b+c|的最小值为2.故选择：C．

感悟反思：波利亚曾说过，掌握数学就是意味着善于解题．抓住问题的内涵与实质，从不同数学思维视角来切入与展开，是“一题多解”策略与应用的关键．解法1从几何思维切入，回归平面向量“形”的几何特征，从数形结合视角进行直观想象，解决起来更加直观简捷；解法2从代数思维切入，根据平面向量的“数”的结构属性，通过平面直角坐标系的构建，合理引入平面向量的坐标，利用平面向量中的相关要素，转化为涉及坐标的函数、方程或不等式等，进而从代数视角来数学运算与逻辑推理．

3 提升变形能力，培育逻辑推理

借助“一题多解”策略进行高考复习与教学分析，关注对问题的深入挖掘、深度学习与研究，对数学变形能力和推理有着较高的要求，结合不同的变形方向与纵深思维，展开不同的逻辑推理与解题应用，这对于逻辑推理素养的形成是非常有效的，也对推理能力的提升有很大的帮助.

例3 （2023届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试卷·8）在数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn，若对任意正整数n，有Sn+1=－3an+1+an+3，且满足Sn+an>（－1）na，则实数a的取值范围是（  ）.

A． －1， 3 2

B． －1， 5 2

C． －2， 5 2

D．（－2，3）

解法1：整体构建法.

令bn=Sn+an，则bn+1=Sn+1+an+1.由

Sn+1=－3an+1+an+3，可得Sn+1=－2an+1－（Sn+1－Sn）+an+3，即2（Sn+1+an+1）=（Sn+an）+3，所以2bn+1=bn+3，即2（bn+1－3）=bn－3.

所以数列{bn－3}是以b1－3=S1+a1－3=－1为首项，为公比的等比数列，

则bn－3=－ 1 2n－1 ，即bn=3－ 1 2n－1 .

依題意知bn>（－1）na，则知对任意正整数k，都有－b2k－1

所以－b1

解法2：分层构建法（这里从略，可扫码阅读）

感悟反思：根据数列的递推关系式来分析，利用对应数列的构建来求解相应的数列通项公式是解决问题的关键，也是最重要的一个环节．解法1利用整体构建相关的数列来变形，解法2利用分层构建相关的数列来变形，进而利用对应数列的转化来分析与解决问题．在处理数列相关问题中，要挖掘问题本质，根据题设条件或所求结论加以合理变形与转化，通过概念、性质、公式等的应用，优化解题，提升效益．

其实，借助“一题多解”合理引领并指导高考数学复习以及针对性的复习备考，对教师自身的能力与水平提出了更高的要求，需要教师进行集体备课，整合团队的力量，更加有效地研究教材、考纲、考题等，进而有针对性地制定更加行之有效的教学目标，合理精选精编教学中的素材与典例，多学习、多思考、多研究、多探寻，平时要勤于实践和反思，在深度理解与深度学习的基础上开展教学与复习；同时要注意教师之间、备课组等的协同合作．

课题信息：2020年河南省教育科学“十四五”规划课题“高效‘6+1模式在高中数学课堂的应用研究”，课题编号为2020YB1433.