用理性精神让数学与物理适度融合

吴保玉

在新课程、新教材、新高考的“三新”背景下，“注重在数学知识网络的交汇处设计试题”，已经成为近年新课标高考数学试题的创新特色之一，更是深度契合高考数学命题的基本指导思想.特别地，对数学与物理这两个跨学科适度融合方面的尝试与创新，成为众多跨学科适度融合方面最为典型的一类基本考点，备受各方关注.

1 借助函数模型阐述物理现象问题

例1 如图1，某炮兵从地平面A处发射一枚炮弹至地平面的另一处B，假设炮弹的初始速度为v0，发射方向与地平面所成角为α 0<α< π 2  ，根据物理知识可知，在不计空气阻力的情况下，炮弹飞行过程中的水平距离x=（v0cos α）t，竖直距离y=（v0sin α）t－ 1 2 gt2，其中t为炮弹的飞行时间，g为重力加速度，对于给定的初始速度v0，要使炮弹落地点的水平距离AB最大，则发射角α应为（  ）.

A. π 6

B. π 4

C. π 3

D. 5π 12

分析：物理现象与物理知识以数学公式的方式给出，剖析当炮弹再次落地时竖直距离yB=0，即表示出对应的时间，代入水平距离的公式，利用三角恒等变换公式加以变形与化简，结合三角函数的图象与性质来确定相应的最值，从而得以解决物理现象.

解析：依题意由yB=（v0sin α）t－ 1 2 gt2=0，解得t= 2v0sin α g ，

此时对应的xB=（v0cos α）t=（v0cos α）· 2v0sin α g = v20sin 2α g ≤ v20 g ，

当且仅当sin 2α=1，即2α= π 2 ，亦即α= π 4 时，等号成立，此时炮弹落地点的水平距离AB最大，最大值为 v20 g .

故选：B.

点评：根据物理现象与物理知识的背景，通过数学公式的巧妙设置，结合函数与方程的应用、三角函数及其应用等来解决与物理知识相关的应用问题，依托物理场景，应用数学知识.破解的关键是结合数学公式与运算，以及数学的相关知识来转化与应用.

2 依托物理背景构建数学模型问题

例2 宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学.2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为3×108 m/s，1阿秒等于10－18 s.现有一条50 cm的线段，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截＿＿＿＿次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离.（参考数据：lg 5≈0.70，lg 3≈0.48.）（  ）.

A.30

B.31

C.32

D.33

分析：依据物理应用中的光速与阿秒的概念，通过挖掘问题内涵，引入对应的参数并建立对应的函数关系式，通过不等式的构建，以及解不等式的应用与对数运算等，借助数学方法来分析与求解，进而得以解决物理背景下的应用问题.

解析：设一条50 cm的线段经过x次截取后剩余的长度为y cm，

则

y=50× 1－ 1 2  x=50×  1 2  x，x∈N*.

由题意可得y<3×10－18×108×102，即为50×  1 2  x<3×10－18×108×102，

整理可得2x> 1 6 ×1010，

兩边取常用对数，可得x> lg 1010 6  lg 2 = 10－lg 6 lg 2 = 9+lg 5－lg 3 1－lg 5 ≈ 9+0.70－0.48 1－0.70 ≈30.7，

则x的最小值为31.故选：B.

点评：此类与物理背景相关的问题，关键在于阅读题设条件，挖掘问题的内涵与本质，依托数学概念与知识来合理构建与之对应的数学模型，通过数学模型的处理和转化，进而解决与之对应的物理应用问题.

3 利用物理性质解决解析几何问题

例3 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.过抛物线C：y2=4x上的点P（不是原点）作C的切线l，过坐标原点O作OQ⊥l，垂足为Q，直线PF（F为抛物线的焦点）与直线OQ交于点T，点A（0，2），则|TA|的取值范围是＿＿＿＿.

分析：通过问题分析，该题是轨迹问题，涉及物理学科中的光学性质背景.对于此类问题，题目暗示较为明显，应当优先考虑光学性质背景下的几何特征，从圆锥曲线的基本定义入手，回归平面解析几何的平面几何本质，通过几何法来分析与解决问题.

解析：作出示意图如图2所示，l为切线.

由抛物线C：y2=4x，可得抛物线C的焦点F（1，0），

自F出发的光线FP经点P反射后的反射光线为PH，设l在点P处的法线为PN，

根据光线的反射定律可知，∠FPN=∠HPN.

因为OQ⊥l，PN⊥l，所以PN∥OQ.设直线OQ与直线PH交于点M，

则知

∠FPN=∠FTO，∠QMP=∠HPN.

又PH平行于x轴，可得∠QMP=∠FOT，所以∠FTO=∠FOT，则有|FT|=|OF|=1，

则知点T的轨迹是以点F为圆心，1为半径的圆.

又|FA|= 5 ，所以|TA|的取值范围是[ 5 －1， 5 +1].

点评：通过物理性质来抽象出数学本质，进而抓住平面解析几何问题中的几何本质，以“形”的视角切入，从平面几何直观图形入手加以分析，综合平面几何的基本性质来推理与分析.依托平面几何图形的直观性，利用数形结合来处理，成为解决平面解析几何中一个的思维方法.

4 借助数学工具优化物理决策问题

例4 法国数学家傅里叶用三角函数诠释美妙音乐，代表任何周期性声音和震动的函数表达式都是形如y=Asin ωx的简单正弦型函数之和，这些正弦型函数各项的频率是最低频率的正整数倍（频率是指单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量），其中频率最低的一项所代表的声音称为第一泛音，第二泛音的频率是第一泛音的2倍，第三泛音的频率是第一泛音的3倍……例如，某小提琴演奏时发出声音对应的震动模型可以用如下函数表达：y=0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 000πt+0.015sin 3 000πt（其中自变量t表示时间），每一项从左至右依次称为第一泛音、第二泛音、第三泛音.若一个复合音的数学模型是函数f（x）=sin x+ 1 2 sin ωx（x∈R）（从左至右依次为第一泛音、第二泛音），给出下列结论：

①f（x）的一个周期为3π；

②f（x）的图象关于直线x=2π对称；

③f（x）的极小值为－ 3 3  4 ；

④f（x）在区间[0，2π]上有2个零点.

其中正确结论的个数有（  ）.（A）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

分析：根据题设中的阅读材料，通过物理与数学的交汇，利用阅读材料中的信息来确定对应函数的频率，进而得以确定变量ω的值，结合对应的数学模型，对相应的结论加以逐一分析，即可合理判断与决策.

点评：此题以物理中的震动与频率相关的知识入手，以生活实际为问题背景，利用泛音的设置来创設数学模型，利用三角函数来解决与之相关的判断与决策问题.此类综合应用问题巧妙将物理与数学学科加以融合，将对应的知识加以转化与应用，使得问题极具创新意识与应用意识，有利于学科素养的培养，从而有效联系知识与实际.

此类涉及数学与物理这两个跨学科适度融合方面的创新与应用问题，往往是依托物理背景，通过材料阅读，挖掘题目内涵，化物理问题为数学问题，经常是通过数学概念、定义、公式的应用来建立起与之对应的数学模型，从而转化为相关的数学问题，利用数学知识来分析与求解，进而达到破解物理及其应用问题的目的.也就是说，依靠思维能力对感性材料进行抽象概括、分析综合，以形成概念、判断或推理的理性认识活动并用以寻找问题的本质，这也正是理性精神的体现.

因此，在日常数学教学与学习中，应重视数学教材、学科基础与知识基础等，合理进行不同学科知识之间的联系，构建学科之间的适度融合，用理性精神去追求真理，实事求是.另外，还要强调理性精神在数学基本技能与基本方法的训练过程中的重要作用，通过对所学的数学知识有一个系统的认识，为知识交汇、学科融合的应用与问题解决奠定基础.

课题信息：江苏省教育科学“十四五”规划重点课题“厚植理性精神的高中数学跨学科教学研究”，立项编号为B/2022/03/204.