例谈“方差”模型在求解数学竞赛题中的妙用

倪伟

数据方差公式是统计中的重要公式，除了用于判断数据的波动程度的大小外，在解决数学问题时具有极其广泛的运用价值.对于数学中的其它一些问题，若能根据特点，巧妙应用或构造“方差”模型来求解，则思路清晰、明快简捷，常常会有出其不意的解题之效.本文从竞赛视角谈谈“方差”模型在数学解题中的妙用.

例1（2023年全国高中数学联赛浙江预赛第7题改编）已知a，b，c∈R，且a+b+c=a2+b2+c2=3，则（a-1）2023+（b-1）2023+（c-1）2023= .

解析：将a，b，c看作一组数据，则平均数x=a+b+c3=1.所以由方差公式变形，得S2=13（a2+b2+c2）-3×（a+b+c3）2=13×（3-3×12）=0.

故由S2=0，得a=b=c=1.从而（a-1）2023+（b-1）2023+（c-1）2023=0.

例2（2021年全国高中数学联赛广西预赛第2题）已知xy+yz+zx=1，其中x，y，z均为正数，则3xy+1+3yz+1+3zx+1的整数部分为 .

解析：因为xy+yz+zx=1，x，y，z均为正数，所以（3xy+1）+（3yz+1）+（3zx+1）=6，所以（3xy+1）2+（3yz+1）2+（3zx+1）2=6.将3xy+1，3yz+1，3zx+1看作一组数据，则平均数x=3xy+1+3yz+1+3zx+13所以由方差公式的变形，得S2=13（3xy+1）2+（3yz+1）2+（3zx+1）2-3×3xy+1+3yz+1+3zx+132=136-133xy+1+3yz+1+3zx+12. 因为S2≥0，所以6-13（3xy+1+3yz+1+3zx+1）2≥0，所以（3xy+1+3yz+1+3zx+1）2≤18，所以3xy+1+3yz+1+3zx+1≤32，因为4＜32＜5，故3xy+1+3yz+1+3zx+1的整数部分为4.

例3解方程：4（x+y-1+z-2）=x+y+z+9.

解析：因为4（x+y-1+z-2）=x+y+z+9，所以（x）2+（y-1）2+（z-2）2=4（x+y-1+z-2）-12，所以x+y-1+z-2）=（x）2+（y-1）2+（z-2）24.将x，y-1，z-2看作一组数据，则平均数x=x+y-1+z-23，所以由方差公式的变形，得S2=13（x）2+（y-1）2+（z-2）2-3×x+y-1+z-232

=134（x+y-1+z-2）-12-13（x+y-1+z-2）2=19（x+y-1+z-2）2-12（x+y-1+z-2）+36=-19（x+y-1+z-2-6）2.因为S2≥0，所以-19（x+y-1+z-2-6）2≥0，即（x+y-1+z-2-6）2≤0，当且仅当x=y-1=z-2时取到等号.又由非负数性得（x+y-1+z-2-6）2≥0，从而有（x+y-1+z-2+-6）2=0，即x+y-1+z-2=6.由x+y-1+z-2=6，x=y-1=z-2，得x+y-1+z-2=2，解得x=4，y=5，z=6.

例5（1988年四川高中数学联赛第12题）已知实数x1，x2，…，xn，满足x1+x2+…+xn=a（a>0），且x12+x22+…+xn2=a2n-1（n≥2，n∈N），求证：0≤xi≤2an（i=1，2，…，n）.

证明：由x1+x2+…+xn=a，得x2+…+xn=a-x1.由x12+x22+…+xn2=a2n-1，得x22+…+xn2=a2n-1-x12.将x2，…，xn看作一组数据，则平均数x=x2+…+xnn-1=a-x1n-1，所以由方差公式的变形，得S2=1n-1（x22+…+xn2）-（n-1）×（a-x1n-1）2=1n-1a2n-1-x12-（a-x1）2n-1=-nx12+2ax（n-1）2.因为S2≥0，所以-nx12+2ax1（n-1）2≥0，即nx12-2ax1≤0，解得0≤x1≤2an.同理可证0≤xi≤2an（i=1，2，…，n）.

例6（2011年全国高中数学联赛一试B卷第9题）已知实数x，y，z满足x≥y≥z，x+y+z=1，x2+y2+z2=3，求实数x的取值范围.

解析：由x+y+z=1，得y+z=1-x；由x2+y2+z2=3，得y2+z2=3-x2.

将y，z看作一组数据，则平均数x=y+z2，所以由方差公式的变形，得S2=12（x2+y2）-2×（y+z2）2=123-x2-12（1-x）2=12（3-x2-12+x-12x2）=-118（3x2-2x-5）.

因为S2≥0，所以-118（3x2-2x-5）≥0，即3x2-2x-5≤0，解得-1≤x≤53.

同理可得解得-1≤z≤53.若z≥0，则1=x+y+z≤3x，3=x2+y2+z2≤3x2，解得x≥1，此时等号不能成立；

若-1≤z＜0，则x+y=1-z>1.当y<0时，则x>1；当y≥0时，则2x2≥x2+y2=3-z2≥2，所以x≥1，当且仅当x=1，y=1，z=-1时，等号成立.故实数x的取值范围为［1，53］.

例7（2022年全国高中数学联赛江西预赛第4题）若x，y，z∈R+，满足xy+yz+zx=1，则函数f（x，y，z）=xy+5+yz+5+zx+5的最大值是 .

解析：因为xy+yz+zx=1，所以xy+5+yz+5+zx+5=xy+yz+zx+15=16，即（xy+5）2+（yz+5）2+（zx+5）2=16.将xy+5，yz+5，zx+5看作一组数据，则平均数x=xy+5+yz+5+zx+53.

所以由方差公式的变形，得S2=13（xy+5）2+（yz+5）2+（zx+5）2-3 ×xy+5+yz+5+zx+532=1316-13（xy+5+yz+5+zx+5）2.因为S2≥0，所以1316-13（xy+5+yz+5+zx+5）2≥0，所以16-13（xy+5+yz+5+zx+5）2≥0，所以（xy+5+yz+5+zx+5）2≤48，所以xy+5+yz+5+zx+5≤43.故函數f（x，y，z）=xy+5+yz+5+zx+5的最大值是43.

从上述例子可以看出，对于问题中含有“一组数据的平均数及它们的平方和”的一类竞赛题，通过构造“方差模型”求解，思路清晰、方便快捷，有着出人意料的解题效果，因此重视对“方差模型”解题应用的发掘和研究实属必要.这对于培养学生的创新意识和探索精神，启迪学生思维和开拓学生视野也颇有裨益.