教材寻法 巧解真题

陶勇胜

圆锥曲线问题是考查学生的数学运算和逻辑推理核心素养的重要抓手之一，在近几年高考及各地模拟考试中，此类问题因在求解过程中含多个变量，往往具有较大且复杂的运算量，让学生束手无策、望而生畏，是学生解题过程中的一个“痛”点.对于高考中的这一热点和难点，如果能根据已知条件，选择合适的直线参数方程，将会使得解题过程更为简洁、高效.本文先介绍直线参数方程的相关概念，再以2023年圆锥曲线高考题为例，运用直线参数方程对其进行探究，回归教材寻求突破之法.

1.直线参数方程的相关概念

如图1，若直线l经过点P0x0，y0，斜率为k，则直线l的点斜式方程为y－y0=kx－x0，其中k=tanα（α为直线的

倾斜角，α≠π2）.若将k=tanα代入点斜式方程，得到y－y0=sinαcosαx－x0，即x－x0cosα=y－y0sinα，设上式的比值为t，整理后得到直线l的参数方程x=x0+tcosα

y=y0+tsinα （t为参数），当α=π2时，上式也成立.其中，直线参数方程中t是指在直线上过定点P0x0，y0与直线上任意一点Px，y构成的有向线段P0P的数量，t的绝对值t就是点P0与点Px，y之间的距离.当点P在点P0上方时，t＞0；当点P在点P0下方时，t＜0.

一般地，若过定点P0x0，y0直线l与二次曲线相交于P1、P2两点，P1，P2对应参数分别为t1，t2，则根据参数方程中的t几何意义，有以下性质：

（1）P1P2=t1－t2，P0P+P1P=t1+t2，P0P+P1P=t1+t2；

（2）若P0在线段P1P2内，则t1t2＜0且PP1PP2=－t1t2；若P0在线段P1P2外，则t1t2＞0且PP1PP2=t1t2；

（3）P1P2的中点P的对应参数值tP=t1+t22，若P0是线段P1P2的中点，则t1+t2=0，反之亦然；

（4）若点P分线段P1P2所成的比为λ，则点P对应的参数值tP=t1+λt21+λ.

根据上述性质，当直线与圆锥曲线相交时，灵活运用参数t的几何意义，可优化解题过程、减少计算量.需要特别注意的是，由于直线的倾斜角α的范围为0，π，因此经过点P0x0，y0，倾斜角为α的“標准形式”的参数方程x=x0+at，

y=y0+bt 需满足三个条件：①－1＜a≤1；②0≤b≤1；③a2+b2=1.

2.直线参数方程在圆锥曲线中的应用

例1（2023年全国数学理科甲卷第20题）已知直线x－2y+1=0与抛物线C：y2=2px（p＞0），交于A，B两点，AB=415.（1）求p；（2）

设F为C的焦点，M，N为C上两点，MF·NF=0，求ΔMNF面积的最小值.

解：（1）易得p=2.

（2）如图2，设直线MF的参数方程为x=1+tcosα，

y=tsinα （t为参数），点M，N对应参数分别为t1，t2，则M（1+t1cosα，t1sinα），N（1－t2sinα，t2cosα），因为点M在抛物线y2=4x上，所以sin2α·t21－4cosα·t1－4=0，解得t1=21－cosα，同理t2=21+sinα，根据参数t的几何意义，MF=t1，NF=t2，从而ΔMNF面积S=12t1t2=21－cosα1+sinα.由基本不等式，（1－cosα）（1+sinα）≤2+sinα－cosα22=2+2sinα－π424=3+222，当且仅当sinα－π4=1，即α=3π4时取得最大值，所以S=21－cosα1+sinα≥43+22=12－82.

点评：该题推陈出新，以求三角形的面积为背景，融合函数、不等式和圆锥曲线性质等知识，主要存在两个难点：①合理引入参数；②用其表示三角形的面积.与引入点参或线参等方法相比，根据参数t的几何意义可以直接得到三角形两条直角边MF与NF的表达式，从而巧妙化解本题的难点——三角形的面积的表示问题.

例2（2023年全国Ⅰ卷第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0，12的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．

解：（1）易得W的方程为y=x2+14.

（2）如图3，不失一般性，将W向下平移14个单位，设Ax0，x20，直线AB的参数方程为x=x0+tcosα，

y=x20+tsinα

（t为参数），点A，B对应参数分别为t1，t2，将直线AB的方程代入W的方程y=x2中，得到cos2α·t2+2x0cosα－sinα·t=0，则t2=sinα－2x0cosαcos2α，且判别式Δ=2x0cosα－sinα2＞0，即2x0≠tanα，根据参数t的几何意义，AB=t1－t2=sinα－2x0cosαcos2α.因为ABCD是矩形，所以直线AD的倾斜角为α+π2，故AD=cosα+2x0sinαsin2α，且2x0≠tanα+π2，即2x0≠－1tanα，从而矩形ABCD的周长L=2AB+AD=2sinα－2x0cosαcos2α+cosα+2x0sinαsin2α（＊），由于上述（＊）式分子和分母都为非负数，所以当2x0=tanα或2x0=－1tanα时，L取得最小值.当2x0=tanα时，L=2sin2αcosα=2cosα－cos3α≥2239=33，同理当2x0=－1tanα时，L=1sinαcos2α≥33.

又因为2x0≠tanα且2x0≠－1tanα，所以L＞33.

点评：该题设计巧妙、新颖，以一个边长变化的矩形“搭”在抛物线上为载体，考查矩形在滑动过程中求矩形周长的最值问题，需要学生有一定的动态思维能力，又需要在变化过程中找到不变量的逻辑推理能力.本题选择合适的直线参数方程，利用上述中的性质（1），简洁地得到矩形两边的边长，进而得到矩形周长L的表达式，突破本题的难点.由于（＊）式中各项均为正，周长L的最小值只有当分子为零时取得，整个解题过程简洁、高效，避免了繁杂的运算.

例3（2023年全国数学理科乙卷第20题）已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率为53，曲线C过点A－2，0.（1）求曲线C的方程；（2）过点－2，3的直线交曲线C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：MN的中点为定点.

解：（1）易得曲线C的方程为x24+y29=1.

（2）如图4，设直线PQ的参数方程为x=－2+tcosα，

y=3+tsinα

（t为参数），点P，Q对应参数分别为t1，t2，则P－2+t1cosα，3+t1sinα，Q－2+t2cosα，3+t2sinα.将直线PQ的方程代入椭圆C的方程中，得到5cos2α+4t2+64sinα－6cosα·t+36=0，故t1+t2=66cosα－4sinα5cos2α+4，t1t2=365cos2α+4.因为A－2，0，P－2+t1cosα，3+t1sinα，所以直线AP的方程为y=3+t1sinαt1cosαx+2，令x=0，则yM=6+2t1sinαt1cosα，同理yN=6+2t2sinαt2cosα，所以线段MN中点的纵坐标yM+yN2=1cosα·3+t1sinαt1+3+t2sinαt2=1cosα·2sinα+3t1+t2t1t2=3，故MN的中点为定点0，3.

点评：该题以“若kAM+kAN为定值，则直线MN过定点”的定点问题为背景，其背景熟悉、表达简练、切入口宽.本题的关键点是由直线AP、AQ的方程得到点M、N的坐标.设直线PQ的参数方程后，便捷得到点P、Q的坐标，再结合点A的坐标，得到直线AP、AQ的方程，突破本题的关键点.显然，除了解决圆锥曲线中与长度有关的问题，直线的参数方程对于解决定点问题仍是一种十分高效的方法.实际上，此题与2022年全国数学理科乙卷第20题背景相似，也可以用直线的参数方程求解，读者可以进行尝试.

例4（2023年全国Ⅱ卷第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为－25，0，离心率为5.（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点－4，0的直线与C的左支交于M，N两点，点M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.

解：（1）易得C的方程为x24－y216=1.

（2）如图5，设直线MN的参数方程为x=－4+tcosα，

y=tsinα （t为参数），点M，N对应参数分别为t1，t2，则M（－4+t1cosα，t1sinα），N（－4+t2cosα，t2sinα）.将直线MN的方程代入双曲线C的方程中，得4cos2α－sin2α·t2－32cosα·t+48=0，故t1+t2=32cosα4cos2α－sin2α①，t1t2=484cos2α－sin2α②，由①÷②可得cosα=3t1+t22t1t2（＊）.又因A1（－2，0），M（－4+t1cosα，t1sinα），所以直线A1M的方程为y=t1sinαt1cosα－2x+2，同理，直线A2N的方程为y=t2sinαt2cosα－6x－2，联立直线A1M和A2N的方程并将（＊）式代入，得到（2t2－6t1）x=－4t1t2cosα+4t2+12t1=6t1－2t2，解得x=－1，故点P在定直线x=－1上.

点评：该题考查直线与双曲线的位置关系，可以从多个角度理解直线MN，点M、N可以看成直线MA1、NA2与双曲线的交点，也可以看成直线MN与双曲线的交点，即选择直线MN的初始参变量不同，将导致解题过程的运算量大小不同.本题把点M、N看成直线MN与双曲线的交点，巧设直线MN的参数方程，整个解题过程中始终将t作为初始参变量，大大减少了运算量.与例3相比，例4出现了非对称韦达结构，常将sinα或cosα用t1、t2表示，转化为关于t1、t2的一次式进行化简运算，体现了转化和化归的数学思想.

3.教学启示

3.1深究教材，为教学活动多元化奠定基础

直线的参数方程这一部分内容在新人教A版教材中以“探索与发现”的形式出现，似乎在高考中直接考查并不多，故在平时教学中容易忽视，但高三复习时，教师应充分挖掘新教材的思想，渗透新教材的方法，利用直线的参数方程开展多元化的教学活动，引导学生多题一解，拓宽学生的解题思路，在提高解题正确率的同时有助于学生摆脱解题惯性，培养学生的创新思维.

3.2寻法教材，为破解高考真题提供良策

从近几年圆锥曲线的高考试题来看，基于教材中的数学思想和方法为出发点的命制试题不在少数，教材是教师和学生学习知识的共同载体，也是高考命题的重要依据，命题专家根据教材挖掘有价值的材料，进行命題设计，能起到良好的导向作用，教师可与学生一起在教材中“寻法”，通过教材寻求破解方法，帮助学生实现“迁移数学知识、类比解题方法，从具体的教学情境中抽象出共性、方法和体系”［1］，突破机械式“刷题”，使得“减负增效”落到实处.

3.3回归教材，为落实依标施教精准定位

章建跃博士认为：“回归教材、依标施教是高考命题改革的大势所趋，教材是从课标到教学的桥梁纽带，教学中注重用好教材，切实做到依标施教”［2］.如果教师脱离教材教学，一味追求教辅上的“二级结论”，热衷“秒杀大招”，将导致学生在知识和方法迁移上捉襟见肘，遇到新的面孔，不能套路化，不会思考，长期以往，师生苦教苦学，教学效果甚微.唯有在课堂中注重教材中的通性通法，帮助学生在教师指导下，超越具体特技、特法深入到思维层面，注重学习的迁移运用和问题解决，在相似的情境中能够做到“举一反三”，才能使得学生真正成为学习的主人.

3.4立足教材，为试题命制和解题教学把握方向

试题命制和解题教学都是教师在教学活动中不可缺少的重要技能，从教材中的数学思想和方法研究出发的试题命制和解题教学，既能帮助教师把握命题逻辑的正确性，确保命题试题的广度和深度，也能帮助教师从不同角度对高考试题引申、类比和拓展，把高考试题价值最大化，还能帮助教师能从数学的本质出发，呈现知识的生成过程，使得复习备考真正做到“精准高效”.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2018；

［2］章建跃.高考命题严格“依标”，教学该怎么办［J］.中小学数学，2023（07）：129-129.