原创函数与导数解答题的一次实践

2024-05-14 14:38张君李武学杨永清肖皓月
中学数学·高中版 2024年4期
关键词:通性通法高考题

张君 李武学 杨永清 肖皓月

1 题目

2 命题过程

3 试题分析以及思维导图

4 测试结果及分析

4.1 测试对象

为调查本题编制质量,难度设置是否适宜,是否具有良好的区分度,将本题编为“高三数学周练8”中的第21题,对本校高三学生其中一平台53人,二平台48人,共101人进行了书面测试.此次书面测试共发放101份,收回101份,回收率100%.

5 命题体会与反思

5.1 命题体会

本次命题的考查范围是函数与导数,难度相当于高考中的同类题.高考题年年都在变,但基本的东西其实是没有变的.比如,不出偏题怪题,考通性通法,考主干知识,以教材为基础,不少试题来源于教材而又高于教材,等等.所以,在平时模拟考试的试题命制中,也必须体现这些特点,这样才能与高考题保持一致,也才符合新课标的精神.因此,我们确定了这次命题的一些标准:(1)知识上不超出教材的内容,要求上不超出新课标,避免用高等数学知识才能求解的情况;(2)考查学生必备知识的掌握情况,是否达到了灵活运用的程度;(3)考查学生通性通法的掌握情况,是否达到了需要时信手拈来的程度;(4)考查学生的观察发现能力,以及对函数表达式特征的敏感性;(5)考查学生的创新思维能力,特别是从新颖的角度去思考的能力.解题方法都是通性通法,但又必须有足够的灵活性甚至有所创新才能走到最后;可以从多个角度入手,但都有足够的难度,需要很强的思维能力才能解完.

5.2 命题反思

从第(2)问的几种解法可以看出,尽管这类题变化多端,解法繁多,但还是有一些规律的,而且是有迹可循.一方面通性通法是根本,必须熟练掌握,做到运用自如.比如,第(1)问中证明不等式的放缩法就是一种很常用的方法.第(2)问的几种方法都是围绕极值点展开的,这也是利用导数解题的常用方法.解题过程中多次用到先猜想再求证或否定的思路,这是数学上典型的合情推理与逻辑推理的完美结合.再如,第(2)问的四种方法都用到了用特殊值来否定某些情况,这实际上就是通过举出f(x)≥0的反例来解决问题.特别是方法二中对于0<a<1这种情况,先根据前面的解题过程,猜想这种情况无解,再通过取特殊值g(1)=ea-a-e+1<0很轻松地就解决了問题.另一方面敏锐的观察发现能力常常能起到决定性的作用,要善于发现函数式中隐藏的有用的特点,然后以此为出发点找到解决问题的巧妙方法.比如方法一中从第(1)问的结论发现当a=1时f(x)min=0,恰好符合f(x)≥0的条件,进而想到以a作为主元研究函数的单调性,很快发现了a≥1时都成立.方法三中发现了若ax0-ln x0=0,则eax0-ln x0-(ax0-ln x0)=1<e-1,不合题意,

进而想到方程ax-ln x=0无实数根,也即a=ln xx无实数根,这样就把a的取值范围缩小了许多,极大地

降低了后面讨论的难度.方法四中注意到

当x趋近于0时

ax-ln x趋向于+∞,因而想到可以用初等的方法否定D(-∞,x0]的情况,进而确定只有D[1,+∞)的情况,即ax-ln x≥1,极大地简化了解题过程.其实,在同类高考题中,通常也隐藏有一些可以利用的特殊点,它们往往成为解题的突破口.比如,2022年新高考Ⅰ卷第22题第(2)问中 “直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点”这个条件,就隐藏了“方程x-ln x=b的两根和ex-x=b的两根恰有一根相同”,也就是这一根是方程x-ln x=ex-x的唯一解,发现这一点对解题过程会带来突破性的进展.

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