经历推理过程，培养代数推理能力

蔡杨琴

摘要：将推理能力的培养任务交给几何是不当的，教师应充分挖掘代数中的推理素材，让学生经历推理的过程，以培养学生的代数推理能力.文章以一节“等式的基本性质的应用”的研究课为例进行了一次尝试，让学生感受推理过程，积累推理经验，提升核心素养.

关键词：代数推理；等式的基本性质；课堂教学

作为数学基本思维方式之一，推理对于人们的学习与生活具有十分重要的意义和价值.《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出将推理能力的发展贯穿于整个数学学习过程之中.这就需要教师将发展学生的推理能力置于首位.然而我们在实际教学中可以发现，学生推理能力的发展并未贯穿学生数学学习的始终，一些教师在几何教学中常常加以渗透和培养，但对代数推理却知之甚少，更不要说贯穿于代数教学的始终.笔者多番查阅资料，认为代数推理就是解决代数问题时的推理方法，而初中代数推理就是将代数式变形为特定目标或用代数的方法予以证明.简言之，代数推理就是由已知推理出一个关系或结果，又或是对关系或结果进行证明或说理的过程.因此，在代数教学中，教师要不失时机地对学生渗透代数推理，让学生真切感受到推理的过程，积累代数推理经验，提升自身的核心素养［1］.在课堂教学中如何让学生深刻感受抽象的代数推理过程呢？笔者以一节“等式的基本性质的应用”的研究课为例进行了尝试.

1 教学过程

问题1  试着回忆并描述等式的基本性质.

追问：你能以符号的形式予以表示吗？用符号表示有何好处？

说明：通过问题引导学生回顾“等式的基本性质”，并以符号的形式表示，这样的新课导入是一般性导入方式.此时若教师直入新课，自然无法让导入环节达到预期效果.因此，在追问“能否以符号形式予以表示”之后，教师不妨顺势追问“有何好处”，让学生体会多种形式表示数学知识的方法，切实感悟到“一些概念或法则需要符号来参与运算”的事实.

问题2  已知2x－3y=6，你会用含有x的代數式表示y吗？

变式  已知S=（a+b）h2，你会用含S，a，h的代数式表示b吗？

说明：课本上并没有变式给定等式的类似例题或习题，那么笔者此处设计此题的目的是什么呢？一方面是为了给学生创造运用等式基本性质进行推理的机会，尽管教材中还没有出现问题2中所示的含有两个字母的等式，对于学生而言也具有较大的难度，不过由于“算理”相同，且变形的思路与依据相同，因而学生的推理是有一定依据且具有价值的；另一方面，这样的推理过程可以为后续解二元一次方程组打下基础.显然，高质量的教学并非对某个知识点的理解和掌握，很多时候是新旧知识的联通，让数学学习在关联中变成具有意义.

问题3  若a=b，你能用等式的性质证明2a+13=2b+13吗？

变式  若2a=3b+c，试证明4a－2c3=2b.

说明：借助等式的基本性质，由简到繁地根据已知等式证明新等式，是推理的过程.在之前学习一元一次方程的解法时，学生在一步又一步变形之后得到的新等式是最简洁的，但在解决问题3时，学生会发现越变形越复杂，进而认为自身的设想存在问题，甚至是错误的.事实上，还是有一部分学生会由2a+13=2b+13的变形开始，最终得到a=b；也会由4a－2c3=2b的变形开始，最终得出2a=3b+c.

问题4  如图1，用“●”“█”及“▲”代表3种不同物体，且前2个天平是平衡的状态.现需在第3个天平的“？”处放置几个“█”才能使得天平也平衡？为什么？

说明：以生活情境问题引领学生深入推理，让学生饶有兴趣地投入到探索和推理中去，不亦乐乎.在解决这一问题时，学生在了解题意后首先应想到用字母来表示“●”“█”及“▲”的质量，这是推理成功的第一步.当学生以a，b，c分别表示“●”“█”“▲”

的质量时，就是实现了实际问题数学化，也就是将问题4提炼为“已知2a=b+c，a+b=c，试求出a+c与多少个b相等？”提炼出问题后，自然是借助等式的基本性质变形两个等式，并获得a，b，c中的两个量的关系.进一步地，自然是求解a+c.此求解过程中，涉及多个要素，如一般化、表征、计算、论证等，对学生代数推理能力的发展大有裨益.学生一步步探究时，虽心存疑惑，但能够充分体会推理对于数学问题的力量，发展了代数推理能力.

2 教学反思

2.1 课堂内学生代数推理表现如何？

事实上，在本节课中，学生的代数推理表现并不乐观，他们常常不清楚从哪里开始推理、推理到哪里终结.例如，在解决问题3时，一些学生会错误地认为由2a+13=2b+13的变形开始，最终得到a=b就是本题的推理过程.究其根源在于这样的题目在教学中出现的次数少之又少，一般情况下，题目的结构都是“已知x+5=2，试求x值”之类，尽管题目呈现的是“解方程x+5=2”这样的形式，但学生依旧会思维定式地错误理解.

除此之外，学生在表述代数推理时也存在一些问题，大抵是由于教材中并未呈现例题范式.倘若教师想要让学有余力的学生“跳一跳摘果子”，以实现低阶思维朝着高阶思维的转化，可以尝试创造性地改编或整合例题，为学生的深度学习提供助力.

2.2 需要为学生代数推理的基本表达提供示范吗？

纵观整节课学生的表现不难看出，学生不管是在理解代数推理层面，又或是语言形式或书面陈述都表现出一定的困惑.事实上，推理与语言是密不可分的，一般来说，推理的语言形式常常是一些因果关系的复句或句群，例如“因为……所以……”“之所以……是因为”“因此”“由此可见”等.

这就需要教师在日常教学中把握住示范时机时时训练，逐步促进学生代数推理表达体系的发展和完善.例如，解决问题3时，教师则可以不失时机地渗透“分析法”，也就是“倒推思考法”——这里想要证明2a+13=2b+13，只需说明2a+1=2b+1；要说明2a+1=2b+1，只需说明2a=2b；要说明2a=2b，只需说明a=b.此时教师若能以示意图的方式加以辅助，并及时板书不失为提供示范、深化理解的好方法.

当然，若学生在具体探究中表现出对“含有两个字母等式的变形”的困惑或迷茫，教师还可以用“含有一个字母等式的变形”为学生提供推理上的帮助，如“已知2a+3=5，说明a=1”或“已知a=－2，试说明2a+1=－3”.试想，长此以往，学生如何不能真正意义上掌握代数推理的方法？

2.3 是否需要适度拓展利于代数推理能力发展的课本例题或习题？

事实上，教材编写者并没有在教材中刻意为学生代数推理能力的发展设置对应题目.倘若教师能适度延伸，对一些学有余力的学优生而言自然是十分有利的.因此，教师可以从数学教学本身的连续性、一致性出发，从七年级学生开始，挖掘课本例题或习题中的代数推理能力发展的因素，抓住时机强化培养，从而为后续的学习作足准备.在本课的教学中，问题2与问题4就是为后续教学作铺垫.

3 结束语

将推理能力的培养任务交给几何是不当的，教师应充分挖掘代数中的推理素材，让学生经历代数推理的过程，以培养学生的推理能力［2］.首先，教师需充分预设，以学生易于接受的方式引导学生推理，并为学生提供充足的推理时空，循序渐进地促进学生推理能力的落地生根；其次，需要创设多样化的活动让学生经历数学探索的过程，体验代数推理的本质，自然而然地促进学生推理能力的发展；再次，教师还需适时为学生提供代数表达的推理示范，让学生真正掌握代数推理的方法，加深对代数推理的领会.当然，例题或习题的有效拓展实际上有利于学生代数推理能力的发展.虽然对初中生来说代数推理具有一定难度，但日积月累后，就能将其真正融入自身的关键能力之中，提升学习力，真正实现数学核心素养的发展.

参考文献：

［1］李其踊.初中数学核心素养之推理能力培养［J］.新课程（中学版），2017（8）：181.

［2］刘光辉.综合与实践：推理能力和应用意识双提升——“编码”教学设计与意图［J］.小学数学教师，2018（10）：55-58.