一元二次方程的应用研究

邵立兵

［摘 要］一元二次方程是反映现实世界数量关系的数学模型，它的应用体现了一元二次方程作为数学模型的价值。文章结合几个例题，探讨一元二次方程的实际应用，旨在拓宽学生的思维路径，提升学生应用一元二次方程解决实际问题的能力。

［关键词］一元二次方程；应用；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0015-03

一元二次方程是初中数学的重要内容，对于一元二次方程，学生需要掌握概念、一般形式、四种解法、根的判别式、根与系数关系和应用等。一元二次方程是反映现实世界数量关系的数学模型，它的应用体现了一元二次方程作为数学模型的价值。应用一元二次方程可以解决数字问题、商品销售问题、增长率问题、图形面积问题、传播问题、循环问题和动态几何问题等。下面笔者结合例题对一元二次方程的应用进行分析探讨。

一、应用一元二次方程解决数字问题

数字问题，要用各个数位上的数字表示多位数，如一个四位数，个位、十位、百位与千位上的数字分别是[a]、[b]、[c]、[d]，则这个四位数可以表示为[1000d+100c+10b+a]，即表示一个多位数，可用各个数位上的数字分别乘以相应的计数单位再相加。

［例1］有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数。

分析：设个位上的数字为[x]，则十位上的数字为[8-x]，根据十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数就得1855，列一元二次方程，解这个一元二次方程可求得这个两位数。

解：设原来个位上的数字为[x]，则十位上的数字为[8-x]，由题意得[10×（8-x）+x10x+8-x=1855]，整理得[-81x2+648x-1215=0]，[x2-8x+15=0]，[（x-3）（x-5）=0]，解得[x1=3]，[x2=5]，所以原来十位上的数字为5或3，所以这个两位数是53或35。

评注：两位数十位上的数字与个位上的数字对调后，乘以10的数字就是原两位数个位上的数字，不用乘以10的数字是原两位数十位上的数字。在解方程的过程中，要先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑用何种解法去解。

二、应用一元二次方程解决商品销售问题

商品销售问题中常利用“每件利润×件数=总利润”建立方程求解，“每件利润=售价-进价”，件数通常是随售价变化而变化的量，表现为一次函数关系，语言表述为“售价每降低多少元，销售量会增加多少件”，此时需要求出售价每降低1元，销售量增加了多少件。

［例2］当前，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段。小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量[y]（件）与销售单价[x]（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：

[销售单价[x]（元） 20 25 30 销售量[y]（件） 200 150 100 ]

（1）求[y]与[x]之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能减少库存，应将销售单价定为多少元？

分析：（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）利用（1）的结论，得每天的销售量为[-10x+400]，利用“利润=售价-进价”，得每件利润为[（x-10）]元，利用“每件利润×件数=总利润”列方程求解。

解：（1）设商品每天的销售量[y]（件）与销售单价[x]（元）满足一次函数关系[y=kx+b]，根据题意可得[20k+b=200，25k+b=150，]解得[k=-10，b=400，]故[y]与[x]之间的函数关系式为[y=-10x+400]。

（2）根据题意可得[（-10x+400）（x-10）=2160]，整理得[x2-50x+616=0]，[（x-28）（x-22）=0]，解得[x1=28]（不合题意，舍去），[x2=22]，应将销售单价定为22元。

评注：本题有了第（1）小题的铺垫，求每天的销售量就比较容易，因为第（1）小题得到了每天销售量与销售单价之间的关系为[y=-10x+400]，也就是銷售单价定为[x]元，则每天的销售量为[-10x+400]。本题有一个隐含条件，即“尽可能减少库存”，也就是说，每天的销售量要尽可能地多，对应的销售单价也要尽可能地低。

三、应用一元二次方程解决增长率问题

增长率问题中，如果每次增长率均为[x]，基数为[a]，则第一次增长后为[a（1+x）]，第二次增长后为[a（1+x）（1+x）=a（1+x）2]，第三次增长后为[a（1+x）2（1+x）=a（1+x）3]，以此类推，每次增长都是在前一次结果的基础上增长[x]，所以每次都是把前一次的结果看作整体“1”，增长率为[x]，故依次乘以[（1+x）]。

［例3］2023年6月16日晚，辽宁省第十四届运动会开幕式在抚顺市国家3A级风景区月牙岛生态公园举行，创造了绝美的抚顺精彩，留下了深刻的抚顺记忆。很多健步走爱好者把月牙岛生态公园作为他们新的运动打卡地。他们利用手机的“微信运动”来记录每天在月牙岛生态公园运动的步数。杨老师第一天利用“微信运动”跟随动感音乐记录了自己在月牙岛生态公园走了10000步，假设平均每步长是0.5米，他第二天通过增加步数和提高平均步长的方式增加运动量，第二天走了6600米，其中运动步数的增长率是平均步长增长率的2倍，请你帮助计算一下杨老师平均步长的增长率是多少。

分析：设杨老师平均步长的增长率是[x]，则运动步数的增长率是[2x]，根据杨老师第二天走了6600米，可列出关于[x]的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论。

解：设杨老师平均步长的增长率是[x]，则运动步数的增长率是[2x]，根据题意得[10000（1+2x）×0.5（1+x）=6600]，整理得[x2+1.5x-0.16=0]，[（x-0.1）（x+1.6）=0]，解得[x1=0.1=10%]，[x2=-1.6]（不符合题意，舍去）。杨老师平均步长的增长率是10%。

评注：此题隐含了一个等量关系，即“步数×步长=步行里程”，此题就是据此列的一元二次方程。这里值得注意的是，有两个增长率，步数的增长率与步長增长率，它们并不相同，而是存在倍数关系，设出了步长的增长率，就可以得步数的增长率，然后两个增长率分别加上1后乘以相应的基数，在方程中两个单位“1”代表的不一样，第一个单位“1”代表10000，第二个单位“1”代表0.5。

四、应用一元二次方程解决图形面积问题

在图形面积问题中，常利用图形面积公式建立方程，如矩形面积=长×宽，平行四边形面积=底×高，[三角形面积=12×底×高]，[圆的面积=πR2]等，当列一元二次方程解图形面积问题时，方程的解有两个，不一定都符合题意，需要根据题意进行取舍。

［例4］某扶贫单位为了增加贫困户的经济收入，购买了39 m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15 m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图1）。（1）若所建的矩形养鸡场面积为120 m2，求鸡场的长[AB]和宽[BC]；（2）该扶贫单位想要建一个130 m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由。

分析：（1）设[BC=x m]，则可表示出长[AB=（39-3x）m]，由“矩形面积=长×宽”列一元二次方程，解方程即可。（2）设[BC=x m]，则可表示出长[AB=（39-3x）m]，由“矩形面积=长×宽”列一元二次方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合题意，即可作出判断。

解：（1）设[BC=x m]，则[AB=（39-3x）m]，由题意得：[x（39-3x）=120]，整理得：[x2-13x+40=0]，解得：[x1=5]，[x2=8]。当[x=5]时，[39-3x=24>15]，不符合题意；当[x=8]时，[39-3x=15]，符合题意。鸡场的长[AB]和宽[BC]分别为15 m与8 m。

（2）设[BC=x m]，则[AB=（39-3x）m]，由题意得：[x（39-3x）=130]，整理得：[3x2-39x+130=0]，[Δ=（-39）2-4×3×130=1521-1560<0]，方程无实数解，所以这个想法不能实现。

评注：本题的第（1）小题的两个结果虽然都是正数，但仍需要讨论，经过计算邻边的长发现有一个不符合题意。第（2）小题虽然根据题意列出了一元二次方程，但是却没有实数解，所以也不符合实际情况，这里进一步验证了方程与实际问题还是有一定距离的，能列方程不一定有解，有解不一定都符合题意。

五、应用一元二次方程解决传播问题

在传播问题中，要分清原来感染的人数与新增的人数，若每个人每轮可感染[a]个人，则第一轮过后，新增[a]个人，共有[（1+a）]个人，第二轮过后新增[（1+a）a]个人，共有[1+a+（1+a）a]个人感染，以此类推。

［例5］春季流感暴发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感。（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）经过三轮传染后共有多少人患了流感？

分析：（1）设每轮传染中平均一个人传染了[x]人，则第一轮传染后共有[（1+x）]个人患了流感，第二轮传染后共有[1+x+x（x+1）]个人患了流感，根据“经过两轮传染后共有81人患了流感”列方程求解；（2）根据（1）数据进行计算即可。

解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了[x]人；根据题意得[1+x+x（x+1）=81]，整理得[x2+2x-80=0]，[（x-8）（x+10）=0]，解得[x1=8]，[x2=-10]（舍去）。故每轮传染中平均一个人传染了8人。

（2）[81×8+81=729]（人），经过三轮传染后共有729人患了流感。

评注：在传播的过程中，第一个人在每次传播过程中都会传染[x]个人，前面已经感染的人，在后面传播过程中都会每轮传染[x]个人，这是新增感染人数的算法，共有多少人感染，它包括前面已感染的与新增感染的。

六、应用一元二次方程解决动态几何问题

在动态几何问题中，需要用含运动时间[t]的代数式表示线段的长，用线段之间的关系建立方程，或者根据图形的面积建立方程，在此过程中，需要运用“[时间×速度=路程]”求动点运动的路程长，用总线段长减去运动路程长等于剩余路程长。

［例6］如图2所示，在矩形[ABCD]中，[AB=10] cm，[AD=8] cm，点[P]从点[A]出发沿[AB]以2 cm/s的速度向终点[B]运动，同时点[Q]从点[B]出发沿[BC]以1 cm/s的速度向终点[C]运动，它们到达终点后停止运动。（1）几秒后，点[P]、[D]的距离是点[P]、[Q]的距离的2倍？（2）是否存在时间[t]使得[△DPQ]的面积是22 cm2？若存在，请求出[t]，若不存在，请说明理由。

分析：（1）设[t]秒后点[P]、[D]的距离是点[P]、[Q]距离的2倍，则[PD2=4PQ2]，分两种情况讨论：①当[0

解：（1）设[t]秒后点[P]、[D]的距离是点[P]、[Q]距离的2倍，∴[PD=2PQ]，∵四边形[ABCD]是矩形，∴[∠A=∠B=90°]，∴[PD2=AP2+AD2 ]，[PQ2=BP2+BQ2]，∵[PD2=4PQ2]。①当[0

（2）不存在，理由如下。设[t]秒后[△DPQ]的面积是22 cm2，当[0≤t≤5]时，∵[S△DPQ=S四边形ABCD-S△ADP-S△BQP-S△DCQ]。∴[12×8×2t+12（10-2t）·t+12（8-t）×10=80-22]，整理得[t2-8 t+18=0]，∵[Δ=（-8）2-4×1×18=-8<0]，∴该方程无解。∴当[0≤t≤5]时，不存在时间[t] 使得[△DPQ]的面积是22 cm2；当[5

综上所述，不存在时间[t] 使得[△DPQ]的面积是22 cm2。

评注：在上述问题中，因为动点在运动过程中，[△DPQ]表现为两种不同的状态，所以要分两种情况讨论，每种情况下所求的方程并不一样，所以在运动过程中，找出分界点很重要，它体现了分类讨论的数学思想。

结合以上列举的实例，笔者提供了解决每一种类型题目的解题思路与基本方法，旨在让学生能够掌握相关解题方法并运用一元二次方程解决一些实际问题。

［   参   考   文   献   ］

［1］  何晓明.“程”风破浪：带你玩转一元二次方程的应用［J］.初中生学习指导，2023（9）：20-23.

［2］  张晓锐.一元二次方程的概念理解与实际应用［J］.数理化学习（初中版），2021（12）：36-37.

［3］  王永琼.一元二次方程的实际应用常见问题举例［J］.现代中学生（初中版），2021（合刊4）：9-10，12.

（责任编辑 黄桂坚）