透析试题结构 探寻思维路径

沈敏辉 马飞

摘 要：数学结构化教学摆脱了教材中的单元划分，将数学知识以网络连接，让学生对知识有整体性的认识和结构性的认知，进而形成完整的知识体系.文章通过对一道中考试题的结构透析，分析其条件结论，将其与勾股定理、全等三角形等知识连接，建构起整体的知识体系，形成网络框架.

关键词：试题结构；思维路径；解法探究；思考

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）08-0043-03

中考压轴题通常以结构化数学知识为载体，具有结构优美、解法多样等典型特征，所以一直以来都是教师研究的主要对象.本文以2021年嘉兴市中考数学第9题为例，对其进行结构类型分析、解法探究和反思内化，供读者参考.

1 试题呈现

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE.F，G分别是BC和DE的中点，连接AG，FG.当AG=FG时，线段DE长为（）.

2 结构分析

2.1 条件分析

由∠BAC=90°，AB=AC=5可知△ABC是等腰直角三角形，并且可求得相关角度和边长.由AD=2可得到CD=3.因为F，G分别是BC和DE的中点，由中点和直角三角形，可联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即AG=DG=GE.由中点和等腰直角三角形，可联想到等腰三角形“三线合一”性质，连接AF，进而得到AF⊥BC.由条件AG=FG可以考虑AG=DG=GE=GE，进而得到A，D，E，F在以点G为圆心圆上.

2.2 结论分析

一方面，因为A，D，E，F在以点G为圆心的圆上，∠BAC=90°，所以DE是此圆的直径.根据已知条件可构造全等三角形，从而得出各条线段的长度，然后计算线段DE的长度.在构造全等三角形的基础上，可以引入“一线三等角”模型.另一方面，根據图形特征，可以通过设未知数构造方程的方式，将DE的长度表示出来.另外，可考虑建立直角坐标系，利用两点之间的距离公式，设未知数构造方程，从而解得DE的长度.

3 解法探究

思路1 本题是一道选择题，故可考虑将四个选项一一代入，观察得到的结论和条件是否矛盾.

思路2 在直角三角形中，可以通过设未知数的方式将DE表示出来，遇到这类问题通常利用题中的等量关系联立方程，求出未知数.

思路3 若学生观察到本题可以分离成多个直角三角形，存在多条线段相等，则通过添加辅助线的方式，构造全等三角形.

思路4 根据等腰直角△DEF角度的特殊性，可以采用构造“一线三等角”的基本图形.根据图形的局部特征也可以构造相似三角形，利用相似比求解.

思路5 基于△ABC是等腰直角三角形，可以A点为原点，AB为x轴正方向，AC为y轴正方向建立坐标系，把题目中的等量关系表示出来.

解法8 如图9，以A点为原点，以直线AB为x轴、直线AC为y轴，建立平面直角从标系.设AE=

4 解题思考

4.1 筛选试题，包含主干知识

教师在进行中考专题复习时，应该精心挑选涵盖主干知识、具备多种解法途径的典型例题，带领学生一起对这些试题进行深度探究，运用综合知识和数学方法解决问题，总结类型和反思内化.把典型试题当作发展学生核心素养的有效载体，能全面提高学生符号意识、几何直观、空间观念等核心素养［1］.

4.2 分析试题结构，寻找多种解法

在解题过程中，学生之所以出现困难，有一大部分原因是学生没有进行细致的结构分析.分析题目的结构时，要将题目条件逐一进行适当转化，并标注在图形上，相关重要线段的长可以用未知数代替，可以用此未知数表示出与其相关的其他线段的长度，实现代数与几何的数形结合.

4.3 反思内化，提高核心素养

解题完成后，笔者带领学生进行解法反思.裴光亚老师说过：“教学生解题，就是教学生猜想，洞察出最后的结果.”学生表示，建立直角坐标系，通过设未知数的方式能够较快求出结果.最后，学生总结得出了解决线段长度问题的基本思路.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.