大观念统领下的三角函数单元教学探究

庞美名

(安徽省淮北市实验高级中学,安徽 淮北 235000)

单元教学是教师将同根同源的对象、内容整合到一起,放在一起研究,形成具有知识整体性、思想一致性、方法延续性的学习单元,是将课程标准、教材落实到课堂教学的桥梁.下面以人教A版高中数学新教材第五章《三角函数》为例,对单元教学思路进行探讨.

1 着眼全局,树立观念

1.1 数学发展的视角:与时俱进的函数思想

三角学源于生活,因观天测地的实际需求在古希腊的定量几何中诞生,主要是确定方向,计算距离.17世纪以前,三角学主打计算,是常量数学的主要内容.

由于微积分、解析几何的发展,变量数学在数学中渐渐变得举足轻重,三角学随即失宠.随着无穷极数的引入,三角函数又借着东风,开启了新起点.18世纪中叶,欧拉(Euler)定义三角函数为线段的比,三角函数逐渐有了图形.19世纪开始,解析几何一统天下,主流的函数思想如日中天.计算机的发明,导致三角函数表的制作易如反掌,三角公式风光不再,三角恒能变形逐渐退出充当配角.三角函数顺应潮流,与时俱进,与主流接轨,放下静态的三角,披上动态的函数的外衣,潜入各个领域,特别是自然及生活中的振动和波动.在现代数学中,三角函数要用主流的函数眼光看待.

1.2 课程标准视角:谋局布线的运动思想

三角函数具有周期性,是周而复始的运动变化规律的数学刻画.为了表现这一特殊属性,教材在编撰时也做了刻意安排.第一,章头图抛砖引玉.从数学发展史来看,三角函数起源于圆周运动,章头图“月相变化”跟天体运动有关,天体是周期性的转动,是匀速旋转,可以抽象为点在圆上绕着圆心做匀速旋转运动,旋转一周后相对于起点的位置周而复始.第二,预备知识埋下伏笔.旋转运动的本质是位置变化,从哪开始动即起始位置,运动到哪儿即终止位置,在动的过程中怎样旋转即旋转方向和旋转大小.为此,教材先将“角”扩充到“任意角”.

1.3 教材视角:优化重构的建模思想

普通高中数学教科书2004版(下简称“旧教材”)和2019版(下简称“新教材”)对比分析可以得出几点认识:

章节位置有变.《三角函数》和《三角恒等变换》由旧教材的两章合为新教材的同一章.教材内容有变.在新教材中删除了三角函数线,增加了生活和物理中需要三角函数模型解决的问题,对数学建模的偏爱不言而喻.内容顺序前后不同.“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”,“三角恒等变换”旧教材中顺序不同,新教材按函数“背景——概念——图象与性质——应用”这一路径,用相似的路径研究不同的数学对象,让学生感受“对象在变,方法不变”.不断累积考虑问题的经验,慢慢形成自己的思维逻辑线.

基于上面分析,“三角函数是刻画周而复始现象的一类最典型的周期函数模型”这一单元大观念,在主流函数思想之下成功落地.

1.4 思维视角:全面呈现的数学思想

太阳的东升西落,水车的循环转动,都可以抽象成圆周运动.利用此模型,在坐标系中利用单位圆给出三角函数定义,这体现了数形结合的思想.另外,利用单位圆上角的终边的对称和旋转,推导了诱导公式,借助三角函数线画正弦函数和正切函数的图象、利用三角函数图象研究性质、利用向量推导两角之差的余弦公式等等,都体现了数与形的结合.转化与化归思想也是三角函数单元教学中体现的重要思想.如诱导公式在化简求值中体现了“负化正,大化小,最后化到锐角上”的化归思想,再求y=Asin(ωx+φ)的性质如单调性,周期性,对应方程的根的问题时,把ωx+φ看作整体,此类函数可转化为正弦函数的性质求解,起到了化繁为简的作用.在给值求值的求解中“拆角凑角变换”“切化弦”等技巧也体现了这种化归思想.另外,分类讨论、函数与方程的思想在本单元中也进行了充分的挖掘和应用,这些全面呈现的数学思想对培养学生的核心素养有着至关重要的作用.

2 整体架构,指向素养

2.1 一章引言呈现概貌

引言是学生学习本章的灯塔.本章引言有三段话:第一段,列举出了生活和其他学科中“五花八门”的周期现象,表明三角函数学习的必要性;第二段,表述了学生已研究过了一些特殊的函数,有了一些研究经验,表明了学习本章的路径;第三段以问题单刀直入地指出要学什么,引出正文.这三段话告诉我们教材编者的意图,要用一脉相承的思想去引导学生怎么去研究一个新对象.

2.2 一条逻辑线指引教学

通过回顾已学的具体函数,表明本章的学习路径:背景——概念——图象与性质——函数的应用.

第5.1节是背景也是铺垫;第5.2节是概念;第5.3节是由概念推出的一般性质,特殊角和任意角之间的运算;第5.4节是借助定义和运算探讨三角函数的图像和性质;第5.5节是任意角和任意角之间的运算,疏通了已学三角公式之间的关系,为三角函数的模型的应用给予了有力的运算支持,它也是5.3节的后续;第5.6节y=Asin(ωx+φ)的图象能由y=sinx通过变换而来,也是5.4节图象的后续;第5.7节是三角函数的应用.在整个学习的过程中蕴含个别到整体的思想,遵循了循序渐进,阶梯式上升的原则[1].

2.3 一个单位圆串联内容

人类刚接触天体运动时,就认为它的运行轨道是圆.圆是源头,有丰富的对称性.因此以单位圆来主导研究过程,不仅是延续历史,还能凸显本质,化繁为简,取得事半功倍的效果.概念的抽象过程直接针对单位圆中角与点坐标的对应关系展开,并顺理成章地在单位圆中定义、研究三角函数,诱导公式利用它是轴对称又是原点对称图形直观探求得到,两角差的余弦公式利用它的旋转不变性推导.图象性质研究完之后,又回到生活中去刻画圆周运动.单位圆在各小节知识间搭起了桥,打通各小节知识的“脉”,将各节串联成一体,以形助数,以数论形.

2.4 一类函数模型推动素养

生活中“周期性”有许多背景:水车、摩天轮、潮起潮落、钟摆等.已学过的函数没有办法描述这种现象,利用古代筒车研究匀速圆周运动,装水筒距水面的高度与时间的函数关系式借题给出,再有已学的y=sinx的性质探讨,同时抛出问题y=Asin(ωx+φ)的图象可以用变换的方法研究.借助学生熟知的摩天轮,启发学生懂得类比,模仿去做研究.在最后一节研究了与其他学科关联的问题以及生活中的问题,让学生感受到三角函数是一种重要的应用工具.

三角函数是特殊的函数,在生活中实际应用价值很高,在构建活动中的价值也高.任意角的定义和弧度制的引入视为研究三角函数模型做准备工作,概念的形成,主要培养学生的抽象素养;性质的研究阶段,单位圆的对称性来搭桥,简单明了,直观想象素养在无形中得以培养;在应用阶段,主要培养抽象和建模素养.

2.5 一种整体换元法贯穿教学

在用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象以及研究它的性质时,把ωx+φ看作一个整体,令t=ωx+φ,从而把问题转化为正弦函数y=sint的图象和性质.在“拆角凑角变换”中,把已知角看做整体,要求的角用已知角来表示,也体现了换元的思想.还有在由Cα-β推导Cα+β时用-β换β,在推导和差化积公式时令x=α+β,y=α-β等等,这些都采用了整体换元法.所以整体换元法贯穿整个三角函数单元教学,换元法的使用,清晰地呈现了已知和未知的关系,使学生快速找到解题的突破口,在学习中形成连续的思维方法,使新知的内容更系统,条理更清晰.

3 精准设计,落实课堂

3.1 通盘感知,因材分解

单元教学中以主题为纽带,给数学教学带来了活力和张力.为了增加可操作性,在保证知识连贯的条件下,可以突破课时约束,重新划分组织教学,因“材”分解成小单元进行教学.以《三角函数》单元为例,以内容为“材”,就按教材的顺序进行分解;以方法为“材”可分解为“换元法在三角函数中的应用”“单位圆中的三角运算”“三角函数性质在单位圆中的应用”;以素为“材”可以分解为“三角函数定义中的数学抽象素养”“三角函数应用中的数学建模素养”“诱导公式中逻辑推理素养”等[2].

不同的设计者有不同的思路,下面从立足章引言,以大观念来组织分解单元内容进行探讨.基于前面分析的本章单元大观念,在教学落地时可以让子观念去引领,相应的单元内容与之对应.

(1)圆周运动可以借助角来刻画.单元内容:任意角和弧度制.

(2)周期性变化现象可以借助三角函数模型刻画.单元内容:三角函数的概念、诱导公式、三角函数的图象和性质、三角恒等变换、函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.

(3)三角函数模型是解决周期问题的工具.单元内容:三角函数的应用.

3.2 聚焦课时,教学相融

课堂教学是触发学习和学会学习的平台,而课时教学设计是关键抓手.因此,教师要理解教材,关注学情,以单元整体观为指导,精准定位课时目标,深谋远虑地设计课时教学流程.

课时知识之间体现关联性.在章节起始课、中间课时、章末复习课中尽量以最核心的知识和方法为载体,体现关联性.

课时方法之间突出层次性.起始课总揽全章,解决“为何学”问题;中间课解决“怎样学”,引领学生亲历思考、探索,直面问题的本质,获得学习经验;复习课解决“构建网络”“形成思想”等任务.

课时前后之间承上启下性.课时设计时设计一些恰当的呼应点和一些“恰时恰点的问题”,让学生在知识发生发展的过程中有参与感、成就感.

为使核心素养真正落地,教师要重过程、轻结果地设计课时教学.引导学生主动探究,旧中生新,无中生有,由学会到会学,教与学相融,产生奇妙的交集,让数学教学成为有思想的教学[3].

4 结束语

“不谋全局者,不足谋一域”,只有从数学本质出发,深入挖掘教材,立足引言,在观念统领下,精心设计单元教学的各个环节,疏通知识的“经络”,落实到课堂,让学生在潜移默化中素养自得.