深度学习理念下高中数学课例评析

姜宝松

深度学习强调课堂教学要面向学生的认知，其重要特征是联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用。抓住数学内容内在联系和本质，凸显问题研究过程，促进学生思维进阶，从而引导学生实现深度学习。本文以《平面与平面垂直》公开课为例，阐述深度学习理念的应用。

一、从现实进入数学

师：我们知道两个平面的位置关系：平行和相交（课件给出图形）。两个平面平行的判定和性质都已经学习。今天让我们一起来探究两个平面相交的情形。现实生活中，堤坝侧面和水平面，打开的笔记本电脑等，都呈现出两个平面相交的情况，并且都给我们有角度的感觉。数学家把两个平面相交所成角的情形，抽象出来，定义为二面角。

点评：由两个平面的位置关系，开门见山引出平面与平面的相交情形。通过现实生活中三个情形，引入二面角的概念。在深度学习理念下，复演知识的发生历程，学生通过数学观察和抽象，体会从现实抽象到数学知识的历程，在定义的学习中培养空间想象能力。

二、由旧识类比新知

师：既然二面角是一个角，如何度量它的大小？之前我们学过哪些角？

生：平面上的角，异面直线所成角，直线与平面所成角。

师：平面的角可以直接度量大小。异面直线所成角，如何定义？

生：通过平移，变成相交的直线。

生：变成相交的直线，所成的锐角或直角。

师：非常好！直线与平面所成角呢？

生：找到射影，直线与射影所成角即为线面角。

师：不错。异面直线所成角和直线与平面所成角的定义中，我们发现，空间的角是通过“平面化”，转化为平面角来定义的。那么二面角如何“平面化”……

点评：通过问题串设置，梳理已经学习的角。温故知新，类比所学的角，建立起二面角的平面角概念，从而使各种角的概念结构化，构建了关于空间角的知识体系。空间角的定义其本质是进行“平面化”，学生在此过程中体会到解决空间问题的降维思想。给出二面角的平面角定义后，教师与学生一起探究、辨析定义的合理性，学生在构建新概念的同时，培养学生批判性思维。回到现实环节，在打开的证书中寻找二面角的平面角，学生“即学即用”，建立起实际生活与数学的桥梁，学生再次体会到定义的合理性。

三、用问题深化理解

例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角D1-AB-D的大小？

分析引导，棱是？观察图形中，二面角的平面角是？接着练习，展示学生解答情况，请学生讲解。

师：总结作出二面角的平面角的方法，在棱上一点作出两条与棱垂直的直线；如果已知一个面的垂线，作一条，连一条；作棱的垂面。

点评：二面角的平面角，其本质是棱的一个垂面与两个半平面的交线所成的角，是空间的角降维到平面上。其作图和证明过程是完成线面垂直关系的论证，体现数学的转化思想。求解二面角的平面角是一个难点，利用几何法解决时，常用“猜想—证明—求解”的思路，这也是我們探究和解决数学问题的常用路径。

四、巧探究启发思维

师：根据对二面角的平面角的学习，二面角的取值范围是？（展示打开的证书）

生：0°～180°。

师：0°是什么情形？

生：两个半平面重合。

师：180°是什么情形？

生：一个平面。

师：二面角的取值范围是闭区间，在此过程中，有一个特殊情况，90°。按两个平面互相垂直的定义，要先作出二面角的平面角，证明是直角。能否简化？类比在证明两个平面平行时，（指向天花板和地面），我们是利用一个平面内有两条交线平行另一个平面。证明两个平面垂直，能否一样转化为线面关系呢？

探究活动1：每个同学拿出一支笔与桌面成垂直状态，拿书本完全贴近笔，书本与桌面什么位置关系？旋转（左右）书本，两个平面是什么位置关系？

探究活动2：建筑工人在检查砌墙是否与地面垂直时，用铅垂线靠近墙面。

点评：在二面角的平面角习题中，平面与平面垂直判定定理的探究与证明中，研究数学空间问题的思路不断重现，学生不断体会由猜想到证明的研究问题路径，充分体会到数学的转化思想，学生的思维得到进阶发展，体现出了深度学习的理念。

五、精应用掌握原理

例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面BDA1⊥平面ACC1 A1。

例3：AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C点是圆周上不同于A、B的一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。

……

点评：例题由学生自主完成，通过复杂问题的解决，提高学生空间想象和推理论证能力。平面与平面的垂直，抓住线面垂直的关键，学生体会到问题解决中转化的思想。从知识迁移到应用，学生体会到数学的严谨性，从猜想到证明，体悟到解决数学问题的一般方法。在现实场景中寻找平面与平面的垂直关系，学生用数学的眼光去观察世界，体验到数学在现实生活中的实际应用和存在。

六、妙总结提升感悟

师：本节课我们的定理和问题解决，都是通过观察、猜想、证明来完成的。这也是我们研究数学问题的常用路径。再观察我们的教室，是不是很多面面垂直关系？有没有一种透过现象看到本质的感觉？ 这就是数学的魅力！

点评：通过总结，梳理本节课主要所学知识，对知识和方法进行反思构建，更好地形成学科知识体系。本课所涉及的降维思想、类比思想、转化思想是数学中常见的思想，教师的补充，让学生在经验上明悟，在学科思想上升华。观察、探究、猜想、证明这是数学学科和人类科学发展史上常用的方法，在本节课从始至终得到连续体现，让深度教学的思想得到完美诠释。

七、结语

课堂教学的巧妙设计，引发学生进行主动学习，学生在问题驱动、活动与检验中进入到深度学习，从而对知识进行自主建构和思维进阶。课堂中充分培养了高中数学的关键能力，落实了直观想象和逻辑推理的素养提升，学生经历了数学内部的逻辑发展，经历了数学到现实的外部拓展，贯彻了新课标中对学科育人目标，诠释了新课标中的学科育人价值。

责任编辑  韦英哲